Alguns sistemas multimodais alético-temporais. Samir Bezerra Gorsky CLE-UNICAMP Orientador: Prof. Dr. Walter Carnielli.

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2 Alguns sistemas multimodais alético-temporais. Samir Bezerra Gorsky CLE-UNICAMP Orientador: Prof. Dr. Walter Carnielli

3 Resumo: O presente trabalho visa relacionar o desenvolvimento histórico das lógicas multimodais alético-temporais com as questões referentes aos problemas vinculados aos “futuros contingentes” e à “necessidade do passado”. Questões estas originárias em obras Aristotélicas, Megáricas e Estóicas. Serão analisados resultados sobre sistemas formais modais tais como S4, S4.3, Kt (temporal).

4 Escola de Mágara Fundada por Euclides de Mégara. É uma das “escolas socráticas menores” Relaciona-se com o eleatismo pela doutrina do ser e pelo método erístico. Eubulides (continuador de Euclides): Travou polêmica com Aristóteles. Diodorus Cronus Alexinos (Elenxinos = refultador)

5 Diodorus Cronus Megárico Um jovem contemporâneo de Aristóteles (séc. IV a.C.). Não temos muitas informações sobre sua vida.

6 Roteiro Histórico Apresentação do tema (Aristóteles e Diodorus) Crítica bizantina Abelardo, Tomás de Aquino e Leibiniz (tratamento positivo) Lukasiewicz (Tratamento através da lógica trivalente) Prior e Hintikka (Lógica modal e multimodal)

7 Notação (Prior) Fpserá o caso que p Gpsempre será o caso que p Mp é possível (agora) que p Lpé necessário (agora) que p Np é o caso (agora) que não-p Cpqse p, então q Apq p e/ou q Kpqp e q Epqp sse q

8 Modelo Diodoréio Seja ‘p’ a proposição: ‘uma batalha naval em t 1 ’. (1) Mp em t 0 (2)p em t 1 (3)Lp em t 2 Aristóteles e Diodorus tenderiam a acreditar que: se 2 vale, então vale 1 e 3.

9 Modelo diodoréio CMpMNp (cf. Primeiros Analíticos 22a 12- 17) Seja 2’ = Np em t 1 1 e 2’ são compatíveis Se 1 vale, então 2’ é provável 2’ é incompatível com 3

10 Modelo diodoréio Diodorus identificou ser possível em t 0 com ser atual em t 1 e necessário em t 2. Ser necessário em t 2 significa ser necessário já em t 0 A validade de 2 indica a necessidade de p desde o início (ser necessário em t 2 significa ser necessário já em t 0 ).

11 Modelo Diodoréio A validade de 2’ indica a impossibilidade de p desde o início. Dados 2, 3 e o “non-sequitur” entre impossibilidades e possibilidades teremos a seguinte conclusão: “não existem possibilidades que não serão atualizadas” Este argumento é conhecido como “Argumento Mestre” (The Master Argument).

12 O Argumento Mestre 1. Todas verdades (no passado) são verdades necessárias (no presente). (Premissa) 2. Uma impossibilidade não se segue de uma possibilidade. (Premissa) 3. Se p é verdadeiro agora t(1), ou será verdadeiro t(1+n), então no passado t(0) já era verdadeiro que p seria verdadeiro em t(1) ou em t(1+n). (Premissa)

13 O Argumento Mestre Para mostrar que: se algo não for atualizado, então não será uma possibilidade. Deve-se assumir Np e então concluir NMp. 4. Np é verdadeiro (agora) (premissa para a prova do condicional) 5. “será o caso que Np” é verdadeiro (no passado) (de 3 e 4) 6. “será o caso que Np” é necessariamente verdadeiro (no passado) (de 1 e 5) 7. “será o caso que p” é impossível (no passado) (de 6)

14 O Argumento Mestre 8. Se p (agora), então “será o caso que p” (no passado) é verdadeiro. (de 3) 9. NMp (agora) (de 2,7,8) 10. Se Np, então NMp (agora) (de 4, 9) Uma versão mais informal: Se não vai haver algum determinado evento amanhã (por exemplo uma batalha naval) então a suposição de que vai haver tal evento não é meramente falsa mas impossível.

15 A Batalha Naval (Aristóteles) Aristóteles. De Interpretatione IX (uma lógica com um terceiro valor). Uma tentativa de solucionar um problema relacionado aos futuros contingentes. Proposições devem corresponder a fatos. Eventos situados no futuro possuem uma alternativa real e uma potencial em direções contrárias. A afirmação e a negação correspondentes a essa proposição terão o mesmo caráter. Ambas poderão ser verdadeiras ou ambas poderão ser falsas, porém atualmente não podem possuir nenhum valor de verdade (verdadeiro ou falso).

16 A Batalha Naval Aristóteles Argumenta que não podem valer, ao mesmo tempo, os seguintes casos: a) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é, agora, indeterminado. b) Já é definitivamente verdadeiro ou definitivamente falso que haverá uma batalha naval amanhã.

17 A Batalha Naval Embora nenhuma das partes da disjunção seja, agora, verdadeira ou falsa, o conjunto inteiro desta disjunção (haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã) é desde já definitivamente verdadeiro.

18 Sistemas formais que tratam das questões referentes a futuros contingentes (necessidade do passado) A lógica de três valores A lógica de três valores As lógicas modais As lógicas modais

19 Lukasiewicz O problema de se construir uma lógica verofuncional que nos permita trabalhar com proposições “neutras” como as que encontramos nos trabalhos aristotélicos foi atacado, de forma sistemática, em 1920 por Lukasiewicz. Ele sugeriu que deveríamos considerar as seguintes matrizes:

20 Lukasiewicz ~ 10 ½½ 01&1½011½0 ½½½0 0000

21 1½0 11½0 ½11½ 0111V1½01111 ½1½½ 01½0

22 A partir dessas matrizes (p & q) é equivalente a: ~ (~p v ~q) Podemos ainda definir (p  q): (p  q) & (q  p) p v q não é, entretanto, definido como: ~p  q (no cálculo implicacional porém é definido como: (p  q)  p)

23 Lukasiewicz ~p é definido como: p   Muitas leis do cálculo proposicional deixam de valer de acordo com os significados dos conectivos dados pelas matrizes acima Por exemplo: (~p  p)  p A lei do terceiro excluído: p v ~p (suponha que p = ½) Daí temos uma divergência entre a lógica L3 de Lukasiewicz e o que é sugerido no De Interpretatione.

24 Lukasiewicz A verdade do terceiro excluído é devido ao fato de seus componentes serem contraditórios e não por causa dos seus valores de verdade. Existe portanto um elemento não-verofuncional no tratamento destas proposições. Prior [3] considera que o aparecimento da não- verofuncionalidade em tais proposições é devido a uma confusão com relação à diferenciação das duas seguintes sentenças:

25 Lukasiewicz i) “Haverá ou não haverá uma batalha naval amanhã” é verdadeira de acordo com regras verofuncionais, somente quando pelo menos uma das duas componentes for verdadeira. ii) “Amanhã será o caso da seguinte sentença: há ou não há uma batalha naval”

26 Lukasiewicz A sentença i), apesar de salvar a verofuncionalidade, não possui validade para todos os casos. (considerando o sistema tri- valorado de Lukasiewicz A sentença ii) não é verofuncional dado que o conectivo de disjunção é governado pelo operador não-verofuncional ‘amanhã será o caso...’ (tal operador não aparece no sistema tri-valorado de Lukasiewicz)

27 Problema! Como tratar as proposições futuras em matéria contingente a partir de seus valores de verdade (inclusive o “neutro”: ½ ) e ainda manter as características lógicas básicas como por exemplo a verofuncionalidade?

28 Bivalência X Verofuncionalidade Crisipo e Epicuro admitiam aimplicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo universal. Crisipo aceita o princípio sem restrição e portanto o necessitarismo. Epicuro recusa o determinismo e daí nega a universalidade irrestrita do princípio. (cf. [1] p 173)

29 Bivalência X Verofuncionalidade Podemos considerar duas etapas ordenadas das posições citadas acima. Primeiro: Vale a implicação do princípio de bivalência irrestrito ao necessitarismo lógico? Princípio de bivalência irrestrito  Necessitarismo lógico Segundo: Vale o princípio de bivalência irrestrita?

30 Bivalência X Verofuncionalidade Roman Suszko (1970’s) “there are but two logical values, true and false”. Wójcicki-Lindembaum: Mostra que qualquer lógica tarskiana tem uma semântica multi- valorada. Suszko-daCosta-Scott: mostra que qualquer semântica multivalorada pode ser reduzida a uma semântica bi-valorada. Por que trabalhar com lógicas multivaloradas?

31 Bivalência X Verofuncionalidade Porque precisamos de uma ponte (algumas vezes) entre a bi-valoração e a verofuncionalidade. (de um ponto de vista pragmático). Os resultados redutivos de Suszko são não construtivos. Existe uma maneira de se construir semânticas bi- valoradas para qualquer lógica que tenha uma semântica verofuncional finito-valorada e uma linguagem suficientemente expressiva. É indicada ainda uma maneira de se construir um sistema canônico adequado de seqüentes ou tableaux.

32 Lógicas modais Proposta: Trabalhar o assunto usando lógicas modais e multimodais Proposta: Trabalhar o assunto usando lógicas modais e multimodais Primeiras referências: Hintikka e Prior. Primeiras referências: Hintikka e Prior. Sistemas de interesse: Kt (temporal), S4 e S4.3 (Diodoréio) Sistemas de interesse: Kt (temporal), S4 e S4.3 (Diodoréio)

33 S4 CLpLLp não pertence ao sistema T CLpLLp não pertence ao sistema T Modalidades Iteradas (S4 é um sistema caracterizado pela aplicação iterada de L) Modalidades Iteradas (S4 é um sistema caracterizado pela aplicação iterada de L) CLLpLp é um teorema de T (por substituição em CLpp CLLpLp é um teorema de T (por substituição em CLpp

34 Bibliografia [1] Balthazar Barbosa Filho (UFRGS/CNPq). Aristóteles e o princípio da Bivalência. Analytica, Vol. 9 n 1, 2005. [2] J.-Y. Beziau (ed.). Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo Coniglio e João Marcos. Two's Company: “The Humbug of Many Logical Values” In Logica Universalis pp 169-189. Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland 2005. [3] Arthur Prior. Three-valued and Intuitionist Logic in Formal Logic. Claredon Press, Oxford 2 a ed. 1962.

35 Bibliografia [4] Mondolfo, O pensamento Antigo. Ed mestre jou. São Paulo. 1971.