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Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais CESET, Limeira Março, 2005.

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2 Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais CESET, Limeira Março, 2005

3 ... da matemática de considerações ambientais Poluição de corpos aquáticos: lagos, represas, rios, estuários, mares costeiros. Poluição do ar: efeitos aerossóis de usinas, de concentrações de indústrias, de centros urbanos. Poluição do solo: lixões, lençóis freáticos, vazamentos em depósitos de produtos tóxicos. Combinações dos anteriores.

4 Matemática e vida: isso combina?... foi assim que começou É para isso que existe o campo da matemática aplicada/aplicável Na escola, hoje, tem até nome: temas transversais! e como acontece?

5 Problema Real Hipóteses de Simplificação Problema Matemático Resolução (aproximada!) do Problema Matemático Validação Matemática da solução Validação Social da solução Processos decisórios

6 Muito trabalho por fazer Estudando modelos prontos, Usando-os em testes e simulações, Modificando/melhorando modelos existentes, Criando modelagens novas: Desafios enormes!... e imediatos

7 Um exemplo desta roda viva: a poluição, ou um acidente... as prefeituras Rios, lagos e Represas.

8 F F V C (n) –d.C (n) A figura é homeomorfa a uma represa qualquer (esta é uma hipótese aceitável?)... Degradação: d o volume da represa: V unidades de volume o fluxo do rio que entra (e sai):F unidades de volume

9 F F V C (n) q (n) –d.C (n) Ainda: além da degradação do poluente, suposta proporcional à quantidade pode haver um aporte semanal: q (n).

10 Avaliar a contaminação Meio homogêneo, Instantaneamente, e tudo regular Progressão Matemática Resolução do Problema Matemático (nem que seja No Excel!) Validação Matemática da solução Validação Social: Essa resposta serve ? Processos decisórios

11 O (na verdade um) modelo: A quantidade de poluente na semana que vem = = a quantidade de poluente desta semana – – a quantidade que sai com o fluxo do rio – – a quantidade que se degrada + + ( se houver) algum aporte semanal.

12 Literalmente, em outras palavras: C ( n+1 ) = = C ( n ) – – F. C ( n ) /V – – d. C ( n ) + + q ( n )

13 ... alguns casos 1.Não há rio F = 0 2.Não há aporte semanal q (n) = 0 3.Não há degradações d = 0

14 1.Não há rio, nem degradação F = 0 e d = 0 C ( n+1 ) = = C ( n ) + + q ( n ) ou seja, C ( n+1 ) = C ( n ) + q ( n ) é uma Progressão Aritmética!

15 Outro caso, q (n) = 0: não há aporte semanal C ( n+1 ) = = C ( n ).( 1 – F/V – d ) ou para = 1 – F/V – d, C ( n+1 ) =.C ( n ) ou seja, é uma Progressão Geométrica

16 Como é uma P.G., Tudo depende da razão, = 1 – F/V – d > 1 C ( n ) cresce, < 1 C ( n ) decresce, e = 1 C ( n ) permanece.

17 Um caso, com V=1e+5, F=5e+2, d= aporte semanal de 10 unidades sem aporte semanal

18 E quando há de tudo acontecendo: aporte, fluxo, degradação etc?... Nem P.Aritm. nem P.Geom., mas uma mistura das duas coisas! Modelagem matemática... E usa-se a equação de diferenças linear de primeira ordem vista antes.

19 O modelo, então, é: C ( n+1 ) = C ( n ) – F. C ( n ) /V – – d. C ( n ) + q ( n ) ou C ( n+1 ) = C ( n ).( 1 – F/V – d ) + + q ( n )

20 Modelo com aporte semanal, com degradação e com fluxo constante. Tempo – em unidades escolhidas contaminantecontaminante

21 Além desta aula, isto serve para alguma coisa? Tentativas: como se comporta o acúmulo de contaminante se o aporte se der semana sim, semana não?... Matlab ou alguma planilha.

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23 E se fosse duas semanas não, a outra semana sim? Em outras palavras, teríamos nessa simulação: C ( n+1 ) = C ( n ) – F. C ( n ) /V – – d. C ( n ) + q ( n ) Sendo q ( n ) = q com n múltiplo de três e q = 0 caso contrário

24 Aporte a cada três semanas

25 Nos ensaios, F<

26 O que temos, então, é um sistema, em que o que sai de um compartimento entra no seguinte: A (n+1) = A (n).(1 – F/V 1 - d 1 ) + q 1 B (n+1) = A (n). F/V 1 + B (n).(1 – F/V 2 - d 2 ) + q 2 C (n+1) = B (n). F/V 2 + C (n).(1 – F/V 3 - d 3 ) + q 3 D (n+1) = C (n). F/V 3 + D (n).(1 – F/V 4 - d 4 ) + q 4 E (n+1) = D (n). F/V 4 + E (n).(1 – F/V 5 - d 5 ) + q 5

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28 E, se em vez de um córrego, fosse um rio de verdade?

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31 Outra possibilidade: um contaminante que demora para começar a degradar-se: 1 semana C ( n+1 ) = C ( n ) – F. C ( n ) /V – – d. C ( n-1 ) + q ( n ) uma equação de diferenças ainda linear de segunda ordem: envolve duas semanas.

32 Uma equação linear de diferenças de segunda ordem O que se pode fazer é testar para ver se a solução geral da PG serve aqui. E serve! Fazendo C n = A. n, e substituindo na equação original, obtem-se: C n = A 1. ( 1 ) n + A 2. ( 2 ) n + q.V/(F+d.V)

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34 Estudo de impacto: por estudar? Efeitos nas dinâmicas de populações Nas possibilidades epidemiológicas E as contribuições para efeitos globais Além da economia!

35 Ainda, poderíamos ter avaliação instantânea dos fenômenos:... daí, teríamos Equações Diferenciais, sistemas de equações diferenciais (ordinárias), com variação no tempo: d.../dt


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