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Circuitos Digitais CIC - UnB Soma de Produtos Soma de produtos é uma forma padrão de representação de funções Booleanas constituida pela aplicação da operação.

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Apresentação em tema: "Circuitos Digitais CIC - UnB Soma de Produtos Soma de produtos é uma forma padrão de representação de funções Booleanas constituida pela aplicação da operação."— Transcrição da apresentação:

1 Circuitos Digitais CIC - UnB Soma de Produtos Soma de produtos é uma forma padrão de representação de funções Booleanas constituida pela aplicação da operação lógica OU sobre um conjunto de termos formados pela operação E: Z = AB AC DF Termo produto Soma de produtos 2 níveis lógicos

2 Circuitos Digitais CIC - UnB Produto de Somas O produto de somas é outra forma padrão de representação de funções Booleanas caracterizada pela aplicação da operação E sobre um conjunto de operações OU sobre as entradas 2 níveis lógicos Z = (A B)(A C)(D F) Termo soma Produto de Somas

3 Circuitos Digitais CIC - UnB Mintermos Um mintermo é um termo produto que vale 1 em apenas um ponto do domínio de uma função Booleana É definido por um produto (AND) onde cada variável aparece apenas uma vez, direta ou complementada F = ABC C B A Mintermo ABC

4 Circuitos Digitais CIC - UnB Maxtermos Um maxtermo é um termo soma que vale 0 (zero) em apenas um ponto do domínio da função É determinado por uma disjunção (OR) onde cada variável aparece apenas uma vez, direta ou complementada F C B A Maxtermo (A B C)

5 Circuitos Digitais CIC - UnB Formas Canônicas Uma tabela verdade é uma assinatura que identifica unívocamente uma função Booleana Espressões Booleanas diferentes podem representar uma mesma função Booleana F = A C F = A B A B C F = A B C B C) C Tabela VerdadeEspressões Booleanas

6 Circuitos Digitais CIC - UnB Formas Canônicas Dois Níveis Formas Canônicas são representações (assinaturas) únicas de funções Booleanas –Ex: uma soma de produtos é uma forma canônica F = A' B C A B' C' A B' C A B C' A B C F' = A' B' C' A' B' C A' B C' OR de 1s

7 Circuitos Digitais CIC - UnB Formas Canônicas Dois Níveis Formas Canônicas são representações (assinaturas) únicas de funções Booleanas –Ex: produto de somas é outra forma canônica F = (A B C) (A B C) (A B C) F' = (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) (A B C) AND de 0s

8 Circuitos Digitais CIC - UnB Formas Canônicas Dois Níveis Notação para soma de mintermos: –F(A,B,C) = (1, 3, 5, 7) = m 1 m 3 m 5 m 7 = A B C A B' C' A B C A B C Notação para produto de maxtermos: –F(A,B,C) = (0, 2, 4, 6) = M 0 ·M 2 ·M 4 ·M 6 = (A B C) (A B C) (A B C) (A B C)

9 Circuitos Digitais CIC - UnB Simplificação de Soma de Mintermos Usando métodos algébricos: –F(A,B,C) = (3,4,5,6,7) = m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 = A' B C A B' C' A B' C A B C' A B C = A B' (C C') A' B C A B (C' C) = A B' A' B C A B = A (B' B) A' B C = A A' B C = A B C Implementação

10 Circuitos Digitais CIC - UnB Mintermos x Maxtermos É possível obter um produto de maxtermos a partir de uma soma de mintermos e vice-versa aplicando De Morgan sobre o complemento da função –F(A,B,C) = (1, 2, 3, 5, 7) = A B C A B C A B C A B C F (A,B,C) = (0, 4, 6) = A B C A B C A B C F (A,B,C) = (F (A,B,C) ) = (A B C A B C A B C) = (A B C)(A B C)(A B C) = (1, 3, 7)

11 Circuitos Digitais CIC - UnB Funções Incompletas São funções para as quais algumas combinações de valores das entradas nunca ocorrem –Ex: acionador de display de 7 segmentos para dígitos BCD A B C D S X X X X X X 4 entradas -> 16 combinações apenas 10 utilizadas 6 combinações nunca ocorrem são denominadas irrelevantes (dont cares) podem ser utilizadas para simplificar a lógica

12 Circuitos Digitais CIC - UnB Funções Incompletas Funções incompletas mapeiam pontos do domínio da função em 3 valores possíveis: –F(A, B, C, D) { 0, 1, X } Os domínios de pontos onde F vale { 0, 1, X} são denominados, respectivamente, de: F 1 = {m 0, m 2, m 3, m 5, m 6, m 7, m 8, m 9 } F x = {i 10, i 11, i 12, i 13, i 14, i 15 } F 0 = {M 1, M 4 } F pode ser descrita definindo-se dois desses três conjuntos: –F (A, B, C, D) = F 1 F x ou F 1 F 0 ou F 0 F x

13 Circuitos Digitais CIC - UnB Minimização Lógica Dois Níveis Manipulação algébrica: –Difícil determinar a ordem e quais transformações aplicar –Como saber se atingiu-se a melhor solução ? Ferramentas de auxílio: –Não conseguem tratar problemas grandes de forma exata –Baseiam-se em heurísticas e critérios de custo –Resultados bastante bons em lógica dois níveis Métodos manuais apenas para fins didáticos ou funções muito simples

14 Circuitos Digitais CIC - UnB Minimização Lógica Dois Níveis Idéia base: aplicação de distribuição e complemento A(B B) = A Dentro de F 1 : B varia enquanto A não muda Resultado: B é eliminado! F = A B' + A B = A (B' + B) = A G = A' B' + A B' = (A' + A) B' = B' Dentro de G 1 : A varia enquanto B não muda Resultado: A é eliminado!

15 Circuitos Digitais CIC - UnB Cubos O espaço Booleano n-dimencional pode ser visualizado espacialmente Produtos de literais são chamados de cubos Cubo 4 WXYZ Y Z W X XY X Y Cubo 3 XYZ X Y Z Cubo 1 X 01 Cubo 2

16 Circuitos Digitais CIC - UnB Visualização de Cubos Cubo 3 XYZ X Y Z Pontos adjacentes diferem em 1 bit Todos os pontos da função estão dispostos sobre uma face Y e Z variam enquanto X permanece inalterado: Y e Z podem ser eliminados da expressão F(X, Y, Z) = (4,5,6,7) = X

17 Circuitos Digitais CIC - UnB Mapas de Karnaugh Visualização do domínio de uma função na forma matricial Pontos do domínio estão dispostos seguindo o código Gray, pares adjacentes diferem em 1 bit

18 Circuitos Digitais CIC - UnB Adjacências no Mapa de Karnaugh Os elementos nas extremidades das linhas e colunas são também adjacentes

19 Circuitos Digitais CIC - UnB Adjacências no Mapa de Karnaugh O cubo obtido é definido pelas variáveis que não mudam de fase ao longo de seus mintermos B é eliminado A permanece A é eliminado B permanece F = ?

20 Circuitos Digitais CIC - UnB Adjacências no Mapa de Karnaugh O cubo obtido é definido pelas variáveis que não mudam de fase ao longo de seus mintermos B é eliminado A permanece A é eliminado B permanece F = A B AB = A F = A B AB = B F = A B C A B C ABC A B C = A(B(C C) B(C C)) = A

21 Circuitos Digitais CIC - UnB Adjacências no Mapa-K Adjacência nas extremidades das linhas 00 C AB A B 0 1 Adjacência nas extremidades das colunas

22 Circuitos Digitais CIC - UnB Complemento de uma Função F = ? Trocar 0s por 1s

23 Circuitos Digitais CIC - UnB Complemento de uma Função F = A C B C Trocar 0s por 1s

24 Circuitos Digitais CIC - UnB Karnaugh de 4 variáveis F = ?

25 Circuitos Digitais CIC - UnB Karnaugh de 4 variáveis F = C + A' B D + B' D'

26 Circuitos Digitais CIC - UnB Minimização com Irrelevâncias Os pontos irrelevantes podem ser considerados como 1 ou 0 no mapa de Karnaugh São utilizados para formar cubos maiores, simplificando a função 00 C AB x01 x1x0 A B 0 1 Os pontos irrelevantes deste cubo estão sendo computados como 1s Este ponto irrelevante é considerado como 0

27 Circuitos Digitais CIC - UnB Exemplo: comparador de 2 bits 3 funções de 4 variáveis 3 mapas de Karnaugh © R.H. Katz

28 Circuitos Digitais CIC - UnB Exemplo: comparador de 2 bits F1 = ? F2 = ? F3 = ? © R.H. Katz

29 Circuitos Digitais CIC - UnB Exemplo: comparador de 2 bits F1 = A' B' C' D' + A' B C' D + A B C D + A B' C D' F2 = A' B' D + A' C F3 = B C' D' + A C' + A B D' A xnor B xnor C xnor D © R.H. Katz


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