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TODA MEDIÇÃO ESTÁ SUJEITA A ERROS, DEVIDO À RAZÕES DE ORDEM PRÁTICA E TEÓRICA. A origem dos erros podem estar na modelagem, nas circunstâncias e métodos.

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1 TODA MEDIÇÃO ESTÁ SUJEITA A ERROS, DEVIDO À RAZÕES DE ORDEM PRÁTICA E TEÓRICA. A origem dos erros podem estar na modelagem, nas circunstâncias e métodos de medida, nas propriedades dos dispositivos de medição e nas perturbações externas.

2 Será abordada a seguir a primeira, das 4 etapas envolvidas no processo de medição: 1. A definição do que vai ser medido (mensurando) ETAPAS DA MEDIÇÃO A tarefa do engenheiro numa medição, não se resume a apenas etapa de ler a indicação do instrumento de medida. Nesta etapa a tarefa é elaborar o modelo (?) do mensurando. As demais já foram abordadas anteriormente : 2. A definição do critério para realizar a medição (escolha da escala). 3. A leitura do valor indicado (valor de posição na escala). 4. A interpretação do resultado.

3 DEFINIÇÃO DO MENSURANDO Medições podem ser adequadamente realizadas e interpretadas somente quando o mensurando, for exatamente definido. Definição consiste em uma cuidadosa descrição das propriedades características essenciais do fenômeno em teste e na seleção dos parâmetros de interesse. A escolha das propriedades características e dos parâmetros e a descrição dos mesmos com um certo formalismo é a denominado de modelagem.

4 NÃO EXISTE MEDIÇÃO SEM MODELAGEM A PREPARAÇÃO DA MEDIÇÃO PRESSUPÕE A EXISTÊNCIA DE UM MODELO PRELIMINAR DO FENÔMENO

5 MODELOS Existem três tipos principais de modelos : Modelo conceitual; Modelo físico; Modelo matemático. Na engenharia os modelos matemáticos são os mais importante.

6 o nível de nosso conhecimento, relacionado ao fenômeno real, é claramente declarado e expresso. Um resistor é modelado como uma resistência, sendo enfatizado o fato de a corrente elétrica fluir através dele irá provocar uma queda de tensão, proporcional à corrente,. desprezados o ruído térmico produzido, a indutância própria e a capacitância parasita e a variação da resistência com a temperatura. USO DO MODELO Componente real Modelo conceitual (simplificado) resistor Pelo uso do modelo parte da realidade pode ser descrita, enfatizando os aspectos de maior interesse. o fenômeno pode ser simplificado, sem afetar a sua essência, para possibilitar uma análise quantitativa mais simples. Modelo matemático

7 RESULTADO DA MEDIÇÃO O resultado de uma medição é um valor estimado do mensurando. ele somente é completo quando vêm acompanhado da incerteza associada ( ISO: International Organization for Standardization ). resultado (*valor estimado, incerteza) *A média é a melhor estimativa do mensurando

8 RESULTADO DA MEDIÇÃO O resultado da medição depende de: Erros de medição, causados pelas incertezas de medição e, causados pelas inexatidão na avaliação e processamento dos dados de medição. Erros de modelagem devido à dedução incorreta e/ou inexata dos parâmetros obtidos a- priori, devido à simplificação do fenômeno a ser medido. –O erro de modelagem é, em muitos casos, o fator limitante para que se estabeleça a exatidão da medição. Seria incongruente determinar com alta exatidão os parâmetros de um modelo mal elaborado ou muito simples.

9 É determinado com base em observações obtidas sob condições de repetitividade. variações no valor indicado no instrumento são causados pela inconstância das grandezas influenciantes. Grandezas influenciantes são variáveis aleatórias –variável que assume valores numéricos associados com resultados aleatórios de um experimento, onde um (e somente um) valor numérico é atribuído para cada ponto amostral RESULTADO DA MEDIÇÃO o modelo matemático que transforma o conjunto de observações repetidas no resultado da medição, tem extrema importância Deveria incluir grandezas que exercem influencia e que, porém não são exatamente conhecidas. essa falta de conhecimento também contribui para a incerteza da medição.

10 MODELO MATEMÁTICO Em muitos casos, o mensurando Y não é medido diretamente, mas é determinado somente a partir de outras grandezas X 1, X 2, X 3, …,X N, através da relação: Y=f(X 1, X 2,…., X N ) A função f expressa, não simplesmente uma lei física mas um processo de medição e, em particular, ela deve conter todas as grandezas que contribuem de maneira significativa para a incerteza do resultado da medição.

11 Se os dados indicam que a função f (X 1,…X N ) não modelam o mensurando no grau de exatidão requerido, grandezas adicionais devem ser incluídas. O conjunto das grandezas X 1, X 2,…,X N, pode ser categorizado como aquelas cujos valores e incertezas são: diretamente determinados na medição corrente. obtidos de uma única observação, observações repetidas, julgamentos baseados na experiência, etc. obtidos a-priori de fontes externas, tais como as associadas a padrões de medição calibrados, dados de livros, etc. MODELO MATEMÁTICO

12 Um valor esperado do mensurando Y, representado por y, é obtido da equação anterior usando valores esperados x 1, x 2, …,x N respectivamente para as grandezas de entrada X 1, X 2, X 3, …,X N. O valor esperado – (Y) - é dado por: y= (Y) = (X 1, X 2, …,X N ) =f(x 1, x 2, …., x N ) Não é possível obter o valor (verdadeiro) de Y porque não é possível realizar uma medição perfeita. O desvio-padrão associado ao resultado da medição é denominado incerteza-padrão e representada por u p (y).

13 Média de amostra (x) É a soma dos valores que a variável aleatória apresenta, dividido pelo tamanho da amostra (N). VALOR ESPERADO E MÉDIA Valor Esperado ( x} ) ou média de população ( ) Para N n,F i p i, onde n é o tamanho da população e p i é a probabilidade de ocorrência do valor x i. Variáveis discretas Variáveis contínuas

14 CASO EXEMPLO -1 A altura de uma pessoa foi determinada e o valor indicado no medidor com as características dadas abaixo foi de L m. Escreva o modelo matemático para a medição. Dados: Comprimento total da escala do medidor = L p Resolução da escala = L r, Correção do valor indicado = Ls Resolução do problema: Escala do medidor Existem duas grandezas envolvidas na medição:Medição é a ação de atribuir um valor do padrão ao valor da grandeza que está sendo medida (mensurando). ??? ??? A grandeza a ser medida (mensurando) A grandeza com a qual fazer comparação (padrão - aqui representado pelo medidor)

15 CASO EXEMPLO -1 Julgamento sobre a qualidade da ação ( atribuição do valor do padrão ao mensurando ) –Comparação (adequação do medidor para realizar a medição): Sempre irá permanecer alguma incerteza acerca da igualdade do valor a ser medido com o valor indicado na escala do medidor (incerteza de comparação) L x – grandeza que está sendo medida L im – valor da grandeza indicado na escala do medidor L r – desvio possível, mas desconhecido, resultante de imperfeições na comparação. –Calibração (comparação com o padrão da unidade de medida): Sempre irá haver alguma incerteza sobre o quanto o valor indicado na escala de um medidor específico representa o padrão da unidade de medida utilizada - em relação às unidades do L im – valor da grandeza indicado na escala do medidor L m – valor ideal da grandeza para a qual a indicação na escala é relacionada. L m – desvio possível, mas desconhecido, resultante de imperfeições na calibração escala do medidor.

16 CASO EXEMPLO - 1 Resposta: Modelo da avaliação: Comentários adicionais Em função do grau de exatidão requerido para a medida, um outro medidor, i.e. – de maior classe de exatidão - poderia ter de ser utilizado. Conseqüentemente, a contribuição de outras grandezas de entrada -por exemplo, temperatura - poderia ter de ser considerada, tornando o modelo mais complexo.

17 MODELO MATEMÁTICO Cada valor esperado E(Xi)=x i e sua incerteza associada u(x i ) são obtidas de uma distribuição de valores possíveis das grandezas de entrada X i. incertezas padrão do tipo-A (u pA (xi) obtidas com base em leis de distribuição estatística. incertezas padrão do tipo-B (u pB (xi) encontradas em leis de distribuição a-priori. Deve ser reconhecido que em ambos os casos as distribuições são modelos que são usados para representar o estado do conhecimento.

18 ERRO OU INCERTEZA??!!!!

19 CASO EXEMPLO - 2 Faça uma análise do problema proposto no Caso Exemplo-1 e classifique os componentes de incertezas decorrentes do modelo matemático encontrado. Resolução do problema: L m – média dos valores obtidos por medição da altura da pessoa. A incerteza pode ser obtida por processos estatísticos. u( x 1 =Lm ) = u A Lr - desvio causado pela resolução finita da escala do medidor. Como a resolução já é previamente conhecida, deve-se utilizar uma lei de distribuição também conhecida a priori. u( x 2 = Lr ) = u Br Lm - desvio obtido na calibração do medidor, Portanto, também já conhecida a-priori. u( x 3 = Lm ) = u Bm

20 QUESTÕES DE CONTROLE 1.Considere um caso de uma medição realizada nos terminais de uma tomada de uma residência, visando determinar a tensão da rede elétrica no local. Para essa medição empregou-se um voltímetro digital de 3½ dígitos e classe de exatidão de ±(0,25% leitura+2D). 2.Quem é o mensurando, neste caso? 3.Qual seria o modelo conceitual deste mensurando? 4.Qual o modelo matemático mais simples possível para o mensurando? 5.Escreva um modelo matemático compatível com os dados disponíveis. 6.Com base apenas nos dados da questão-1, responda qual a natureza dos componentes de incerteza. Tipo-A ou Tipo-B? 7.Na forma mostrada na questão-1, a classe de exatidão é composta de dois fatores. Explique o significado de ambos. 8.Se a tensão da rede fosse da ordem de 120 volts, haveria alguma diferença de resultado em termos da incerteza da medição utilizar a escala de 200V ou a de 750 volts CA?

21 FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS

22 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS (V.A.) ω Ω x(ω ) Uma variável aleatória x é uma função que associa a cada ponto da amostra um número (geralmente real) x x: Ω ω x(ω) Domínio Contra-domínio A V.A. x mapeia os pontos de Ω em. Em particular, o espaço de amostras Ω x ={x(ω): ω Ω} é a imagem do espaço de amostras Ω

23 V.A. E FUNÇÃO DE PROBABILIDADE Ω EVENTO A ω 1 ω 2 P(A)=p A={ ω:x(ω)=X } X x(ω 1 ) x(ω 2 ) P(A)=P({ ω:x(ω)=X }) De um modo geral, pode-se interpretar p como a probabilidade da V.A. x assumir o valor X. A relação entre uma V.A.. x e sua função de probabilidade P é dada por:

24 EXERCÍCIO-1 – V.A. Seja Ω ={ ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 }, com as seguintes probabilidades p 1 =P( { ω 1 } ), p 2 =P( { ω 2 } ),..., p 5 =( P{ ω 5 } ), sendo Define-se a V.A. x por: x( ω 1 )=x( ω 3 )=0 x( ω 2 )=x( ω 4 )=1 x( ω 5 ) =2 Determine os eventos relacionados à V.A. x e as suas probabilidades

25 Ω A1 ω 2 ω 4 p= p 1 +p x(ω 2 ) x(ω 4 ) P(Ao)=P({ω 1, ω 3 }) ω 5 ω 1 ω 3 Ao A Ao={ ω:x(ω)=0 }={ ω 1, ω 3 } A1={ ω:x(ω)=1 }={ ω 2, ω 4 } A2={ ω:x(ω)=2 }={ ω 5 } P(Ao)=P({ ω 1, ω 3 } )=p 1 +p 3 p(A1)=P({ ω 2, ω 4 })= p 2 +p 4 P(A2)=P({ ω 5 })= p 5 x(ω 5 ) x(ω 1 ) x(ω 3 ) EXERCÍCIO-1 – V.A.

26 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Relacionada a F(x) existe a função f(x). A relação entre F(x) e f(x) é dada por: f(x) é a função distribuição de probabilidade ou função densidade de probabilidade. As funções de distribuição normal e a uniforme são muito utilizadas na metrologia.

27 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS A figura ao lado mostra as funções de distribuição cumulativa para distribuição normal (esquerda) e uniforme (direita) de variáveis contínuas. Figura-1 Figura-2 Em metrologia variáveis discretas são bastante comuns. A figura ao lado mostra as respectivas densidades de probabilidades

28 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas da tendência-central são tentativas de obter o valor do centro das população e amostras. Incluem: a média, a mediana e a moda. Medidas da dispersão dão idéias da variabilidade, ou espalhamento, dos valores dentro da população (ou amostra). Incluem: a variância, desvio-padrão, faixa (limite superior menos limite inferior), erro-padrão da média ou desvio-padrão da média. Existe uma nomenclatura para população e outra, distinta, para amostras.

29 Amostra Média= x Variância= s 2 Desvio-padrão= s SIMBOLOGIA População Média= Variância= 2 Desvio-padrão=

30 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DU) Uma distribuição é denominada uniforme ou retangular se no intervalo a que pertence todos os valores possíveis da variável aleatória, a função de distribuição tem valor constante apenas os limites inferiores e superiores do mensurando são conhecidos; a variável de entrada X só existe no intervalo [a X b]; Quando os dados disponíveis são obtidos da experiência ou de outras informações, a lei de distribuição mais usada para descrever o fenômeno é a uniforme ou retangular; Assim Exemplos de distribuição uniforme na metrologia: - classe de exatidão de instrumentos;

31 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME (DU) A expressão analítica para a distribuição uniforme é: E graficamente... abx f(x) Tolerância limite superior Tolerância limite inferior

32 Da definição de variância tem-se: VARIÂNCIA – Distr. Uniforme Quando a distribuição é uniforme 2 S 2. Então: O primeiro termo da expressão acima fornece: O segundo termo é o quadrado da valor esperado Assim, o valor estimado da variância é : Para este caso particular 2 =S 2.

33 INCERTEZA - Distr. Uniforme Da expressão da variância, pode ser obtido o desvio-padrão. U s(x) – está normalmente associado às incertezas obtidas por avaliações do tipo-B De acordo com a nomenclatura do Guia para Expressão da Incerteza de Medições, a incerteza-padrão é numericamente igual ao valor estimado desvio-padrão; Para uma distribuição uniforme, a incerteza-padrão (u s ) pode ser determinada por:

34 HISTOGRAMAS E DISTRIBUIÇÃO LIMITE Dados obtidos por medição são, muitas vezes, apresentados na forma de histogramas (fig.a); Quando o número de medições aumenta, o histograma tende para a distribuição-limite (fig.b) Uma possibilidade é que a população (o universo de todos os dados) apresente uma distribuição normal. a)b)

35 f(x) x O gráfico abaixo mostra a densidade de probabilidade para uma distribuição normal. DISTRIBUIÇÃO NORMAL representa o valor esperado; é o desvio-padrão f(x) indica a ocorrência de qualquer valor de x; A área abaixo da curva no intervalo - x indica a probabilidade de uma medida, sem efeitos sistemáticos, apresentar um valor nessa faixa (distribuição cumulativa).

36 DISTRIBUIÇÃO NORMAL O gráfico abaixo mostra a distribuição-cumulativa a área sob a curva fornece a probabilidade F(x ) de uma medida de x cair entre t desvios-padrão do valor estimado. Nível de confiança Intervalo de confiança

37 A variância de uma variável aleatória é a esperança de seu desvio quadrático em relação a sua esperança. VARIÂNCIA DE POPULAÇÃO A expressão acima fornece o valor da variância de população `Para uma população com n membros a variância é dada por:

38 A expressão anterior da variância não é apropriada quando os dados disponíveis são restritos; Nesses casos, para que se conheça o grau de dispersão (ou variabilidade) dos dados, utiliza-se o valor estimado da variância ou a variância de amostra. VARIÂNCIA DE AMOSTRA Em geral S 2. Para N n, os resultados das 2 expressões convergem.

39 DESVIO-PADRÃO desvio-padrão é uma outra forma de determinar o grau de dispersão (ou variabilidade) de um conjunto de dados; O valor estimado do desvio-padrão ou desvio-padrão de amostra é numericamente igual a raiz quadrada da variância.

40 INCERTEZA-PADRÃO O desvio-padrão da média (ou erro-padrão), representado por x fornece uma medida de quanto a média (x) de uma amostra representa bem a média da população ( ); Para a distribuição normal, o erro-padrão é denominado INCERTEZA PADRÃO do tipo-A.. Assim, o valor de um componente de incerteza do tipo-A é dado pela expressão: O desvio-padrão da população ( ) é, em muitos casos, desconhecido. Nestes casos deve-se usar s(x), o valor estimado do desvio-padrão.

41 SOMA COM CONSTANTE Soma de uma variável aleatória que obedece a distribuição normal, obtida através de medição (com incerteza) com uma constante: Deslocamento no eixo-q (da variável aleatória).

42 PRODUTO DE CONSTANTE Produto de uma variável aleatória que obedece a distribuição normal, obtida através de medição por uma constante: Aumento da variabilidade (desvio-padrão) da distribuição.

43 SOMA DE VALORES A soma (ou diferença) é também normalmente distribuída: média u c – incerteza combinada u s – incerteza padrão

44 INCERTEZA COMBINADA - u c A incerteza padrão do valor estimado do mensurando, u c (y), denominada incerteza combinada, é obtida pela combinação apropriada das incertezas do valor estimado das grandezas de entrada; Se todas as grandezas de entrada forem independentes, u c (y) será dada por: u c – incerteza combinada u si – incerteza padrão associada ao fator i. Componentes de incerteza originários de efeitos aleatórios e de correções de efeitos sistemáticos, isto é, incertezas do tipo-A e do tipo-B, devem ser tratados da mesma maneira para cômputo de u c (y). ( Teorema do Limite-Central )

45 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Um grande número de amostras de tamanho n, tiradas de uma população cuja média é e o desvio-padrão é, então a população das médias Xs, serão aproximadamente distribuída, tendo média e desvio- padrão ( n). Quanto maior o número de amostras melhor será a aproximação.

46 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Independente do tipo de variável aleatória considerada aumentando o tamanho da amostra O histograma das médias amostrais se aproxima da distribuição normal. A variabilidade da distribuição diminui.

47 INCERTEZA EXPANDIDA - U Se a incerteza combinada u c (y) não é dominada por um componente de incerteza obtida por avaliação do tipo-A baseada em apenas poucas observações, ou por componente obtido de avaliação do tipo-B, baseada em suposta distribuição retangular, um valor aproximado para a incerteza expandida – U – será : Kp – obtido da distribuição normal, proporciona um intervalo com nível de confiança p.

48 INCERTEZA EXPANDIDA - U Se o mensurando - Y - é uma grandeza única X, que apresenta distribuição normal, tal que Y=X, sendo X estimado pela média aritmética X de n observações repetidas e independentes X k de X, com desvio padrão da média s (X), pode ser dito que: t p( ) – é um valor de t para um dado valor do parâmetro – número de graus de liberdade, tal que a fração p da distribuição t-Student esteja incluída no intervalo –t p( ) a + t p( ).

49 A figura ao lado mostra que a distribuição t-Student tem muitas propriedades que a diferenciam da distribuição normal ou distribuição-z A distribuição possui o mesmo formato de sino, mas reflete a maior variabilidade devido ao menor número de amostras; A forma da curva para a distribuição t-Student é dependente do número de amostras n (n-1) é o número de graus de liberdade. O desvio-padrão é maior do que 1; O aumento do número de amostras faz com que a forma das duas curvas se aproxime. DISTRIBUIÇÃO t-STUDENT A distribuição-normal da figura, indica a freqüência y de ocorrência de qualquer valor da média (x) de uma população onde o desvio- padrão é conhecido.

50 DISTRIBUIÇÃO t-STUDENT A tabela ao lado mostra os valores para o termo t na expressão para o cálculo da incerteza-padrão, em função do número de graus de liberdade (N-1) e do nível de confiança requerido.

51 GRAUS DE LIBERDADE EFETIVOS - eff Se u c (y) é a soma de dois ou mais componentes estimados, a distribuição t-Student não descreve bem a variável aleatória. Porém, a distribuição dessa variável pode ser aproximada por uma distribuição t-Student, com graus de liberdade efetivos eff, dados por: u i - incerteza padrão. i - no. de graus de liberdade. u c - incerteza combinada.

52 INCERTEZA EXPANDIDA - U Da mesma forma que no caso da distribuição t- Student clássica, a incerteza expandida pode ser calculada tomando-se o parâmetro t para eff graus de liberdade efetivos, calculados com base na expressão anterior Em todos os casos de determinação da incerteza expandida (U P ) o Guia (ISO/GUM) sugere U p =U 95%.

53 EXPRESSÃO FINAL DO RESULTADO DA MEDIÇÃO O resultado de um valor obtido através de um processo de medição deve ser expresso da seguinte forma: Na forma de expressar o resultado final da medição, especial atenção deve ser dada ao número de algarismos significativos. São também plenamente válidas as formas: U – incerteza-expandida deve ser relatada com no máximo dois algarismos significativos.


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