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Resultados de Medições Indiretas. Motivação Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os.

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1 Resultados de Medições Indiretas

2 Motivação Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? b c A = b. c u(A) = ? ± u(b) ± u(c)

3 Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica multiplicando a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência. Determinação da corrente elétrica multiplicando a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência. Considerações Preliminares:

4 O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: Exemplos: A = l. h A = l. h V = d / t V = d / t

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6 Dependência estatística e correlação Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do Dólar. a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do Dólar.

7 Dependência estatística Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar. Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar. A temperatura da água do mar em duas praias próximas. A temperatura da água do mar em duas praias próximas.

8 Correlação direta Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que: Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável.

9 Correlação inversa Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que: Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável.

10 Analogia da Gangorra... A B CABC A e B possuem correlação direta A e C possuem correlação inversa B e C possuem correlação inversa

11 Coeficiente de Correlação sendo (X,Y)o coeficiente de correlação entre X e Y cov(X, Y)a covariância entre X e Y X o desvio padrão da variável aleatória X Y o desvio padrão da variável aleatória Y

12 Estimativa do Coeficiente de Correlação sendo r(X, Y)estimativa do coeficiente de correlação para X e Y x i e y i i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y nnúmero total de pares de pontos das variáveis X e Y

13 Correlação direta e inversa Correlação direta perfeita: Correlação direta perfeita: ρ(X, Y) = +1,00 ρ(X, Y) = +1,00 Correlação inversa perfeita: Correlação inversa perfeita: ρ(X, Y) = -1,00 ρ(X, Y) = -1,00 Ausência total de correlação Ausência total de correlação ρ(X, Y) = 0,00 ρ(X, Y) = 0,00

14 Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias A B C DABCD ABCD A+1+1 B+1+1 C+1+1 D+1+1

15 Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando: Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada. Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.

16 Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se: Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição. Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição.

17 Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)

18 Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analitica ou numericamente

19 Exemplo: Adição de MNC 1 2 m T = m 1 + m 2 m 1 = (1000 ± 6) g m 2 = (2000 ± 8) g u(m T ) = 5 g MNC m T = (3000 ± 10) g u(m 1 ) = 6/2,0 = 3 g u(m 2 ) = 8/2,0 = 4 g U = t. u = 2,0. 5 = 10 g

20 Exemplo: Subtração de MNC m C = m 2 – m 1 m 1 = (1000 ± 6) g m 2 = (2000 ± 8) g u(m C ) = 5 g MNC m C = (1000 ± 10) g 1 2 m C + m 1 = m 2 U = t. u = 2,0. 5 = 10 g

21 Exemplo: Divisão de MNC V R I Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

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23 Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

24 Valor da corrente elétrica: U(I) = 2,000. u(I) U(I) = 2,000. 0, = 0, A I = (0,300 0,006) A I = (300 6) mA

25 Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada: Exemplo: Caso Geral de MNC

26 Medições Realizadas D h Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14 Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm νD = νD = Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm νh = 14

27 Massa Específica D h

28 Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t 14 = 22/2,195 = 10,023 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t 14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm

29 Cálculo da incerteza combinada

30 Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

31 Valor da massa específica: U( ) = 2,195. u( ) U( ) = 2,195. 0, = 0, g/mm 3 = (0, ,00056) g/mm 3

32 Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)

33 Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

34 Medições correlacionadas e não correlacionadas Para múltiplos termos: Para múltiplos termos: AB C D G = A + B + C + DrABCDA+10 B+10 C0 D000

35 Medições correlacionadas e não correlacionadas

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37 Correlação parcial com r(h, α) = -0,5

38 Bibliografia Albertazzi, A., Souza, A. R. FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E INDUSTRIAL. 407p., Editora Manole, Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, 2003 SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES VIM VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA


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