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1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM DUAS DIMENSÕES
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2 Aplicação do Método da Transformada de Fourier Quando o problema envolve condições de contorno periódicas, como é o caso do apresentado pela estrutura de interesse, podemos aplicar o método da Transformada de Fourier. http://www.sbfisica.org.br/bjp/files/v26_337.pdf O sistema de interesse é composto por um gás de elétrons bidimensional confinado na interface da heteroestrutura AlGaAs/GaAs, no topo da qual há um sistema periódico de gates. Quando uma tensão negativa é aplicada aos gates, as regiões na interface abaixo delas são depletadas e os fios quânticos são formados.
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3 Para o sistema periódico, o próximo passo é calcular Para usarmos o método da transformada de Fourier vamos primeiramente definir as transformadas direta e inversa. Eq. ( 1 ) Eq. ( 2 ) Eq. ( 3 )
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4 Substituindo a Eq.(3) na Eq. (1) ficamos com Eq. ( 4 ) e substituindo a Eq. (2) na Eq. (4) Eq. ( 5 ) Como (x) é uma função de onda de um sistema periódico, então podemos usar o teorema de Bloch, que afirma que a autofunção da equação de Schrödinger para um potencial periódico é o produto de uma onda plana por uma função u(x), que tem a mesma periodicidade do potencial. Eq. ( 6 )
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5 Substituindo a Eq. (6) na Eq. (5) e reorganizando os termos Eq. ( 7 ) Comparando o final à direita da Eq. (7) com a Eq. (2) podemos escrever O próximo passo é aplicar o operador Eq. ( 8 )
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6 Geralmente, para qualquer operador temos Assim sendo, vamos escrever
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7 Substituindo o resultado anterior na Eq.(8) Reescrevemos a Eq. (9) Eq. ( 9 ) Eq.( 10 ) Eq.( 11 )
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8 Se substituirmos agora a Eq.(10) na Eq. (11) Substituindo Eq.( 12 ) Ficamos com
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9 E rearranjando os termos resulta Este termo (delta) cria a condição e resulta
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11 A forma obtida para a equação acima é mais conveniente computacionalmente. Para obtermos a (x,y,t+dt) basta multiplicarmos a (x,y,t+dt) por
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