Opções - Avaliação Prof. Antonio Lopo Martinez Opções Financeiras - 2

Apresentação em tema: "Opções - Avaliação Prof. Antonio Lopo Martinez Opções Financeiras - 2"— Transcrição da apresentação:

1 Opções - Avaliação Prof. Antonio Lopo Martinez Opções Financeiras - 2
Prof. Lopo Martinez

2 Valores das Opções Valor intrínseco - ganho que pode ser realizado se a opção for exercida imediatamente: Call: preço do ativo - preço de exercício S0 - X Put: preço de exercício - preço do ativo Valor do Tempo: diferença entre o preço da opção e o seu valor intrínseco.

3 Valores das Opções Valor da Opção de Compra: Preço da ação aumenta
Preço da ação cai Preço aumenta substancialmente mais provável exercício da opção. Desembolso de X no futuro e PV(X) hoje Dessa forma, valor = S0 – PV(X)

4 Determinantes de Valores de Opções de Compra
Se Variável Aumentar Valor da Call Preço da Ação S Aumenta Preço de exercício X Diminui Volatilidade Prazo ate vencimento T Taxa de juros Pagamento de dividendos

5 Valores das Opções: Call
Valor da Opção Valor da Call Valor Intrínseco Valor do Tempo X Preço da ação

6 Modelo (árvore) Binomial
Opções Financeiras - 2 Modelo (árvore) Binomial Prof. Lopo Martinez

7 Valor a + b c d V e Tempo f - g

8 a Valor b + c d e f V g Tempo -

9 Valor a + b c d V e Tempo f - g

10 Valor a + b c d V e Tempo f - g

11 Modelo Binomial f = preço da opção S = preço da ação
Opções Financeiras - 2 Modelo Binomial f = preço da opção S = preço da ação Su = preço futuro acima de S, retorno da opção será fu Sd = preço futuro abaixo de S, retorno da opção será fd Prof. Lopo Martinez

12 Opções Financeiras - 2 Modelo Binomial Não envolve as probabilidades de o preço da ação subir ou cair. Não se está avaliando a opção em termos absolutos. Estamos calculando em termos do preço da ação objeto. Probabilidades de oscilações ascendentes ou descendentes futuras já estão incorporadas no preço da ação. Prof. Lopo Martinez

13 Modelo Binomial ... f = e-rT [pfu + (1 - p) fd ] onde: p = erT - d
Retorno da Carteira: Taxa Livre de Riscos f = e-rT [pfu + (1 - p) fd ] onde: p = erT - d u - d

14 Modelo Binomial ... Variável p = probabilidade de uma oscilação ascendente no preço da ação Variável 1-p = probabilidade de uma oscilação descendente pfu + (1 - p) fd = retorno esperado da opção Dessa forma, valor atual da opção é seu valor futuro esperado, descontado à taxa livre de risco.

15 Modelo Binomial ... Delta É a razão de mudança no preço da opção da ação em relação à mudança no preço da ação objeto. É a quantidade de ações que devemos ter para cada opção vendida.

16 Exemplo O preço atual da ação é $20
Opções Financeiras - 2 Exemplo O preço atual da ação é $20 Em 3 meses (0.25 anos) o preço será $22 ou $18 Preço de exercício de uma Call é $21 Call do tipo européia Preço da Ação=$22 (aumento de 10%) Preço da Ação=$20 Preço da Ação=$18 (redução de 10%) Prof. Lopo Martinez

17 Exemplo 1-0 22-18 = 0,25 Su = 22 ƒu = 1 p S ƒ Sd = 18 (1 – p ) ƒd = 0
Opções Financeiras - 2 Exemplo Su = 22 ƒu = 1 p S ƒ Sd = 18 ƒd = 0 (1 – p ) 1-0 22-18 = 0,25 22 x 0,25 – 1 = 18 x 0,25 – 0 4,5 = 4,5 Prof. Lopo Martinez

18 Modelo Binomial ... Retorno da Carteira: Taxa Livre de Riscos

19 Modelo Binomial ...

20 Modelo Binomial

21 Modelo Binomial O preço atual da ação é $20
Opções Financeiras - 2 Modelo Binomial O preço atual da ação é $20 Em 3 meses (0.25 anos) o preço será $22 ou $18 Preço de exercício de uma Call é $21 Call do tipo européia Preço da Ação=$22 (aumento de 10%) Preço da Ação=$20 Preço da Ação=$18 (redução de 10%) Prof. Lopo Martinez

22 Exemplo Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a.
Opções Financeiras - 2 Exemplo Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a. Obtemos p da seguinte forma: Su = 22 ƒu = 1 p S ƒ Sd = 18 ƒd = 0 (1 – p ) Prof. Lopo Martinez

23 Calculando o Valor da Call
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Call O Valor da opção é: e–0.12´0.25 [0.6523´ ´0] = 0.633 Su = 22 ƒu = 1 Sd = 18 ƒd = 0 S ƒ 0.6523 0.3477 Prof. Lopo Martinez

24 Valor de uma Call O preço atual da ação é $50
Em 2 meses ( anos) o preço será $53 ou $48 Preço de exercício de uma Call é $49 Call do tipo européia Taxa livre de risco = 10%

25 Exemplo Considerando taxa de juros livre de risco = 10% a.a.
Opções Financeiras - 2 Exemplo Considerando taxa de juros livre de risco = 10% a.a. Obtemos p da seguinte forma: p = erT - d e 0,10x0, ,96 = 0,5681 u - d ,06 - 0,96 Su = 53 ƒu = 4 p S ƒ Sd = 48 ƒd = 0 (1 – p ) Prof. Lopo Martinez

26 Calculando o Valor da Call
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Call O Valor da opção é: e–0.10´ [0.5681´ ´0] = 2,23 Su = 53 ƒu = 4 Sd = 48 ƒd = 0 S ƒ 0.5681 0.4319 Prof. Lopo Martinez

27 Considerando 2 períodos de Tempo
Opções Financeiras - 2 Considerando 2 períodos de Tempo 20 22 18 24.2 19.8 16.2 Cada período é de 3 meses Prof. Lopo Martinez

28 Calculando o Valor da Call
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Call 24.2 3.2 D 22 B 20 1.2823 19.8 0.0 2.0257 A E 18 C 0.0 16.2 0.0 F Valor no ponto B = e–0.12´0.25(0.6523´ ´0) = Valor no ponto A = e–0.12´0.25(0.6523´ ´0) = Prof. Lopo Martinez

29 Exemplo de uma Put O preço atual da ação é $50
Opções Financeiras - 2 Exemplo de uma Put O preço atual da ação é $50 Em 1 ano o preço será $60 ou $40 Preço de exercício da Put é $52 Preço da Ação=$60 (aumento de 20%) Preço da Ação=$50 Preço da Ação=$40 (redução de 20%) Prof. Lopo Martinez

30 Exemplo Considerando taxa de juros livre de risco = 5% a.a.
Opções Financeiras - 2 Exemplo Considerando taxa de juros livre de risco = 5% a.a. Obtemos p da seguinte forma: Su = 60 ƒu = 0 p S ƒ Sd = 40 ƒd = 12 (1 – p ) Prof. Lopo Martinez

31 Calculando o Valor da Put
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Put O Valor da opção é: e–0.05x1 [0.6282x x12] = 4,24 Su = 60 ƒu = 0 Sd = 40 ƒd = 12 S ƒ 0.6282 0.3718 Prof. Lopo Martinez

32 Exemplo de uma Put Preço de exercício da Put é $52 72 60 48 50 1.4147
Opções Financeiras - 2 Exemplo de uma Put Preço de exercício da Put é $52 50 4.1923 60 40 72 48 4 32 20 1.4147 9.4636 A B C D E F Prof. Lopo Martinez

33 Exercícios 1) S0 = $50 ST = $60 ou $42 i = 12% X = $48 n = 6 meses
Qual valor da Call? 2) S0 = $80 ST = $75 ou $85 i = 5% X = $80 n = 4 meses Qual valor da Put?

34 Exercícios 3) S0 = $40 ST = $45 ou $35 i = 8% X = $40 n = 3 meses
Qual valor da Put? 4) S0 = $50 ST = + 6% ou – 5% i = 5% X = $51 n = dois próximos periodos de 3 meses Qual valor da Call?

35 Opções Financeiras - 2 Exercício 1 Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a. Obtemos p da seguinte forma: p = erT - d e 0,12x0,5 - 0,84 = 0,6161 u - d 1,2 - 0,84 Su = 60 ƒu = 12 p S ƒ Sd = 42 ƒd = 0 (1 – p ) Prof. Lopo Martinez

36 Calculando o Valor da Call
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Call O Valor da opção é: e–0.12 x 0.5 [ x x 0] = 6,96 Su = 60 ƒu = 12 Sd = 42 ƒd = 0 S ƒ 0.6161 0.3839 Prof. Lopo Martinez

37 Exercício 2 Considerando taxa de juros livre de risco = 5% a.a.
Opções Financeiras - 2 Exercício 2 Considerando taxa de juros livre de risco = 5% a.a. Obtemos p da seguinte forma: Su = 85 ƒu = 0 p S ƒ Sd = 75 ƒd = 5 (1 – p ) Prof. Lopo Martinez

38 Calculando o Valor da Put
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Put O Valor da opção é: e–0.05x0,333 [0.6345x x5] = 1,80 Su = 85 ƒu = 0 Sd = 75 ƒd = 5 S ƒ 0.6345 0.3655 Prof. Lopo Martinez

39 Exercício 3 Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a.
Opções Financeiras - 2 Exercício 3 Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a. Obtemos p da seguinte forma: Su = 45 ƒu = 0 p S ƒ Sd = 35 ƒd = 5 (1 – p ) Prof. Lopo Martinez

40 Calculando o Valor da Put
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Put O Valor da opção é: e–0.08 x 0,25 [0.5808x x5] = 2,06 Su = 85 ƒu = 0 Sd = 75 ƒd = 5 S ƒ 0.5808 Prof. Lopo Martinez

41 Exercício 4 56,18 53 50 50,35 47,5 45,125 Cada período é de 3 meses
Opções Financeiras - 2 Exercício 4 50 53 47,5 56,18 50,35 45,125 Cada período é de 3 meses p = erT - d e 0,25x0,05 - 0,95 = 0,5689 u - d 1,06 - 0,95 Prof. Lopo Martinez

42 Calculando o Valor da Call
Opções Financeiras - 2 Calculando o Valor da Call 56,18 5,18 D 53 B 50,35 0.0 2,91 50 A E 47,5 C 0.0 45,125 0.0 F Valor no ponto B = e–0.25 x 005(0.5689x5, x0) = 2,91 Valor no ponto A = e–0.25 x 005(0.5689´2, ´0) = 1,635 Prof. Lopo Martinez

43 Black-Scholes ... Valor intrínseco de uma call = S0 – PV(X)
Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T] (T1/2) d2 = d1 - (T1/2)

44 Black-Scholes ... onde Co = valor (prêmio) da opção de compra
So = preço atual do ativo-objeto N(d) = probabilidade que um elemento retirado aleatoriamente de uma distribuição normal seja inferior a d. Podemos pensar que N(d) = probabilidades ajustadas pelo risco de que a opção de compra irá vencer “in the money” 0 < N(d) <1,0

45 Black-Scholes ... N(d) -> quanto mais próximo de 1,0, maior a probabilidade da opção ser exercida e, consequentemente, maior seu valor. N(d) -> quanto mais próximo de 0, menor a probabilidade da opção ser exercida e, consequentemente, menor seu valor.

46 Black-Scholes X = preço de exercício
e = , a base do logaritmo natural r = taxa de juros livre de risco (anualizada e composta continuamente) T = prazo de vencimento da opção em anos ln = função logaritmo natural desvio padrão anualizado da taxa de retorno do ativo-objeto

47 Calculando N(d)

48 Exemplo de uma Call N (0.43)* = 0.666; e N (0.18)* = 0.571
So = R$100 X = R$95 r = 0,10 T = 0,25 (trimestre) = 0,50 d1 = [ln(100/95)+(0.10+(052/2)).0.25]/(05.251/2) = 0.43 d2 = ((5.251/2) = 0.18 N (0.43)* = 0.666; e N (0.18)* = 0.571 *Tabela de distribuição normal cumulativa

49 Valor da Call Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
Co = 100 X e- (.10 x .25) X .571 Co = 13.70

50 Exemplo 2 So = R$52 X = R$50 r = 12% T = 0,25 (trimestre) = 0,30

51 Exemplo 2 d1 = [ln(52/50)+(0.12+(032/2)).0.25] (0,3x .251/2) = d2 = ((03.251/2) = N (0.5365) = 0,7042; e N (0.3865) = 0,6504

52 Valor da Call Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)
Co = 52 X 0, e- (.12 x .25) X 0,6504 Co = 5,06

53 Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos)
Investidor: compra opção de compra lança opção de venda Ambas com mesmo X e T No vencimento podem ocorrer: ST < X ST > X Pagamento call comprada ST - X Pagamento put lançada -(ST – X) Total ST – X

54 Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos)
Considere as duas carteiras seguintes: Carteira A: uma call européia + valor presente do preço de exercício em dinheiro Carteira B: uma put européia + o ativo-objeto Ambas valem Máximo(ST , X ) no vencimento das opções. Logo elas devem possuir o mesmo valor hoje: C - P = S0 - X(1+rf)T Desigualdade = Oportunidade de arbitragem

55 Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos)
Carteira 1 Carteira 2 Preço do ativo objeto na data de vencimento P + S0 C + Xe -rT (X-ST)+ST = X ( 0 )+X = X ST < X ( 0 )+ST = ST (ST -X)+X = ST ST > X

56 Oportunidade de Arbitragem
Preço da Ação: $110 Preço da Opção de Compra (n=6, X = $105) $ 17 Preço da Opção de Venda (n=6, X = $105) $ 5 Taxa anual de juros livre de risco (efetiva) 10,25% Juros no período (6 meses) % C - P = S0 - X(1+rf)T = /1,05 12  10

57 Opções - Paridade Put-Call Arbitragem (1)
12  10 Compre a de menor preço e venda a de maior ! Compra ações por $110 Tomar emprestado X (1+rf)T = $100 Compre P por $5 Venda C por $17 Lucro imediato de $2 Qual o valor desta operação na data de vencimento?

58 Opções - Paridade Put-Call Arbitragem (1)
Fluxo em 6 meses Posição Imediato ST < X ST > X Comprar ações - 110 ST Tomar emprestado + 100 -105 Vender call + 17 -(ST –105) Comprar put - 5 105 - ST Total 2

59 Usando a Paridade Put-Call para Obter o Valor da Put
P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So Exemplo (continuação): C = X = 95 S = 100 r = .10 T = .25 P = e -(.10 x .25) - 100 P =

60 Fatores que influenciam o valor das Opções: Call
Fator Efeito no Valor Preço do ativo aumenta Preço de exercício diminui Volatilidade do ativo aumenta Prazo de vencimento aumenta Taxa de juros livre de risco aumenta Taxa de dividendos pagos diminui

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66 Portfolio Insurance

67 Protegendo a Carteira Protective Put
Lucro X Carteira Lucro X + Lucro X Opção de Venda

68 Problemas de Implementação
Encontrar no mercado as Puts sobre o ativo-objeto (carteira); Aproximações “inadequadas” do ativo-objeto, como uma carteira de mercado (ex. IBOVESPA, S&P500, DAX, CAC40, Strait Times, Hang Seng, FTSE, etc.); Prazo de vencimento das Puts x Prazo da Proteção (insurance). Como solucionar os problemas acima?

69 A Protective Put Sintética
Considerando uma carteira de $ Z milhões: calcula-se o “delta” de uma Put teórica, que possui as características desejadas para a proteção; vende-se uma proporção da carteira equivalente ao “delta” da opção (Put); investe-se o valor resultante da venda de parte da carteira em títulos de renda livre de riscos. Falha desta estratégia: o “delta” muda com o preço das ações. Daí implementa-se uma versão dinâmica (dynamic hedging).

70 Calculando o Delta de uma Put
Árvore Binomial: Black & Scholes: Carteira:

71 Protective Put Sintética - Exemplo
Valor atual da carteira (S) = $ 100 milhões Prazo do programa de proteção (T) = 4 anos Retorno mínimo = 0% (Preço de exercício da Put (X) = Valor atual da carteira) Volatilidade (desvio padrão, s) = 25% a.a. Taxa de juros livre de riscos (r) = 5% a.a. Carteira não paga dividendos ou dividendos são reinvestidos

72 Delta

73 Protective Put Sintética - Exemplo
Valor a ser investido em títulos livres de risco = D . S = 0,258x100 = $25,8 milhões Valor da carteira a ser mantido em ações = $100 - $25,8 = $74,2 milhões

74 Protective Put Sintética - Exemplo

75 Protective Put Sintética - Exemplo
Data D-1 Data D O que acontece se todo mercado utilizar o delta-hedging?

76 Protective Put Sintética - Exemplo II
Suponhamos que daqui a 4 anos o valor da carteira pode aumentar 65% ou cair 39%. Qual o valor de uma Put lançada sobre a carteira?

77 Protective Put Sintética - Exemplo II

78 Estabelecendo a Proteção
Ações Bonds

79 Opções - Referências Essentials of Investments; Bodie, Kane and Marcus, 3rd ed. Options, Futures, and Other Derivatives; Hull, 4th ed. Paul Wilmott on Quantitative Finance; Wilmott, 1st ed. Real Options; Antikarov and Copeland, 1st ed.