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1 Sistemas Não-lineares 2006 Prof. Daniel J. Pagano Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Departamento de Automação e Sistemas-

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1 1 Sistemas Não-lineares 2006 Prof. Daniel J. Pagano Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Departamento de Automação e Sistemas- DAS

2 2 Objetivos do curso Introduzir os conceitos básicos dos sistemas não lineares. Apresentar as principais técnicas de análise e projeto de controladores para sistemas não lineares. Colocar ao aluno frente à problemática de controle considerando as não linearidades presentes nas aplicações práticas. Introduzir os princípios básicos relacionados com o controle Não Linear de processos assim como as principais ferramentas de análise e projeto.

3 3 Programação do curso Análise de Sistemas Não-lineares 1.Sistemas dinâmicos não-lineares. Modelagem matemática e principais não linearidades em sistemas de controle (saturação, zona morta, histerese, etc). Representação por variáveis de estado. Espaço de estados (plano de fase). 2.Análise qualitativa de sistemas dinâmicos. Atratores: equilíbrios, ciclos limites e comportamento aperiódico. Teorema da linearização. Noção de Bifurcações. 3.Sistemas lineares com restrições na ação de controle. Anti- windup. Métodos aproximados de análise: método da função descritiva.

4 4 Programação do curso (cont.) Controle de Sistemas Não-lineares 4.Métodos de síntese de controladores de sistemas não lineares: linearização por realimentação, estrutura variável (modos deslizantes). Aplicações em eletrônica de potência. Exemplos.

5 5 Avaliação lista de exercícios trabalho Prova

6 6 Bibliografia [1] L.H.A Monteiro. Sistemas Dinâmicos Não lineares. Ed. Livraria da Física. 2da Edição * [2] Nonlinear Systems, Khalil, Prentice-Hall, 3rd edition ** [3] Castrucci, P. e R. Curti. Sistemas Não Lineares. Vol. 2. Editora Edgard Blucher, [4] Slotine, J.J. and W. Li. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, [5] Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, Capítulo 8, 2 nd Edition, Prentice-Hall, *, ** livros recomendados.

7 7 Revisão Sistemas Lineares Definição: um sistema é linear se Principio de superposição S u(t) y(t)=S(u) Representação por equações diferenciais ordinárias (EDO) Ex. equação de 2 da ordem

8 8 Representação por Função de Transferência(FT) Representação por Variáveis de estado Trans. de Laplace Definindo Revisão Sistemas Lineares

9 9 Representação por Variáveis de estado onde Forma geral: Revisão Sistemas Lineares

10 10 Diagrama de Espaço de Estados Revisão Sistemas Lineares

11 11 Conceito de Pólos / Autovalores Plano complexo S Pólos = raízes da equação característica Polinômio Denominador de G(s) zeros = raízes do Polinômio numerador de G(s) ESTABILIDADEPólos de G(s) σ jωjω Estabilidade Revisão Sistemas Lineares

12 12 Conceito de autovalores (a-valores) da matriz A a-valores de A definem a estabilidade do sistema Determinação dos a-valores de A Exemplo: onde Revisão Sistemas Lineares

13 13 a-valores de A σ jωjω Implica que Estabilidade Sistema instável Sistema estável Caso especial a ser estudado Revisão Sistemas Lineares

14 14 Noção de Equilíbrio Sistemas Lineares Derivadas iguais a zero 1 único equilíbrio global estável ou instável Não Existe outro comportamento dinâmico Revisão Sistemas Lineares

15 15 Seja o sistema Revisão Sistemas Lineares 1 único equilíbrio Estabilidade do equilíbrio Solução da equação Exemplo: caso unidimensional onde A matriz de dimensão n x n

16 16 Revisão Sistemas Lineares Solução da equação Exemplo: caso bidimensional (plano) A de dimensão 2x2 1 único equilíbrioEstabilidade do equilíbrioSe entãoé Estável

17 17 Revisão Sistemas Lineares a-valores complexos conjugados a-valores reais - mesmo sinal Nó estávelNó instável Foco estável Foco instável

18 18 Revisão Sistemas Lineares a-valores reais - sinais opostos a-valores imaginários puros Centro Ponto de sela (instável) Observação: Sistemas lineares não podem apresentar oscilações isoladas, comportamentos periódicos assinto- ticamente estáveis

19 19 Sistema não linear Sistema Autônomo f(x) não depende de t explicitamente 1. Sistemas Não-Lineares Exemplo: Solução: x(t) que satisfaz à Equação diferencial e à condição inicial x 0 Condição inicial Ideal: obter expressões analíticas da solução - informação quantitativa Realidade: na maioria dos casos não é possível conformarmos com obter uma informação qualitativa

20 20 1 único Equilíbrio (estável ou instável) 1. Sistemas Não-Lineares Sistemas Lineares Sistemas Não Lineares - Múltiplos Equilíbrios - Oscilações periódicas (ciclos limites) - Atratores estranhos (caóticos)

21 21 Pendulo simples 1. Sistemas Não-Lineares θ L Diagrama de Espaço de Estados equilíbrios

22 22 Oscilador de Van der Pol 1. Sistemas Não-Lineares Equilíbrio (foco instável) Ciclo limite Estável

23 23 Atrator de Rossler 1. Sistemas Não-Lineares

24 24 2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Exemplo: Equação logística 1) Equilíbrios 2) Estabilidade dos equilíbrios (classificação) Para X(t) 1 0 t

25 25 Linearização: se df(x)/dx 0 então as soluções do sistema não linear nas proximidades (LOCALMENTE) do equilíbrio, comportam-se como as do sistema Linear Desprezar termos de ordem superior Desenvolvimento serie de Taylor Aproximação linear Aproximação linear válida 2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

26 26 Exemplo Para Solução x 0 t Equilíbrio t 0 =1/x 0 Não podemos estudar o equilíbrio a partir do sistema linearizado Como 2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

27 27 Exemplo Matriz da linearização (Jacobiano) Equilíbrios Não posso concluir nada Nó assintoticamente estável Ponto de sela (instável) 2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

28 28 Caso Geral Jacobiano Sistema linearizado 2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos

29 29 1. Sistema Pendulo simples 2. Sistema Oscilador 2. Análise qualitativa de sistemas dinâmicos Tarefa 1: determinar os equilíbrios dos seguintes sistemas e classificá-los segundo a sua estabilidade 3. Sistema (pag. 267 do livro do Monteiro) com

30 30 Principais funções (estáticas) não lineares na engenharia Saturação Relê Quantizador Histerese Zona morta 3. Método da Função Descritiva Necessidade de ter um método prático embora aproximado para a detecção de ciclos limites

31 31 Φ u(t) y(t)= Φ (u) Coeficientes de Fourier Serie de Fourier 3. Método da Função Descritiva

32 32 Se consideramos somente a aproximação de 1 ra ordem (componente fundamental) da serie de Fourier Se Φ(u) é uma função impar Φ(-u) = -Φ(u)A k =0 k=1 Ou na aprox. de 1 ra ordem Em geral C 0 =0

33 33 Qual é a relação entre os sinais u(t) e y(t) ? A relação de amplitudes dos sinais de entrada e de saída é denominada de função descritiva de Φ(u) Ganho Não Linear equivalente

34 34 Exemplo 1: Determinar a função descritiva da não linearidade liga- desliga (relê) M - M u y 0 a N(a) 0

35 35 Exemplo 2: Determinar a função descritiva da Saturação M - M u y 0 M/h a N(a) 0 h

36 36 Detecção de ciclos limites y(t) r(t) e(t) u a (t) + P(s) N(a) Φ u(t) C(s)

37 37 Detecção de ciclos limites A interseção entre permite obter de um possível ciclo limite G(jω) -1/N(a) G(0) ω=0 ω oo Condição

38 38 Exemplos Exemplo 1: Sistema com saturação Umax=1 Umin= -1

39 39 Exemplo 2: Sistema com saturação Umax=0.4 Umin= -0.4

40 40 Exemplo 3: Sistema com saturaçãoUmax=1 Umin= -1

41 41 Exemplo 2: Sistema com saturação Exemplo 3: Sistema com saturação

42 42 Exemplo 4: Sistema com saturação Umax=0.1 Umin= -0.1

43 43 Exemplo 4: Sistema com saturação

44 44 Exemplo 4: Sistema com Filtro

45 45 Exemplo 5: Sistema com servo válvula y(t) r(t) e(t) (X 3 ) 2 + G(s)Φ u(t) C(s) 1/s Servo válvula X3X3 X3X3 (X 3 ) 2 Característica válvula

46 46 Equilíbrios

47 47 Ramo equilíbrios estáveis Colapso do Ciclo limite estável com o equilíbrio instável Espaço de estados Ciclo limite estável Ramo equilíbrios instáveis

48 48 4. Método de Lyapunov

49 49 5. Controle de Sistemas Não Lineares Métodos de síntese de controladores de sistemas não lineares: - linearização por realimentação - estrutura variável (modos deslizantes)

50 50 8. Aplicações em eletrônica de potência Circuitos de Eletrônica de potencia são sistemas não lineares - Interruptores (Mosfet, IGBT, tiristores, etc.) - Diodos -Topologia do circuito - Cargas Devem ser modelados por equações de estado Controle não linear + apropriado

51 51 Fluxograma de modelagem e projeto

52 52 Modelagem do conversor Boost

53 53 Definindo Modelo Instantâneo Boost Modelo por variáveis de estado Boost com

54 54 Equilíbrios X2X2 X1X1 0 0 E = cte B A para R=200 para R=40 X 2A =X 2B X 1B X 1A

55 55 A curva de equilíbrios do sistema (Boost) depende de R, E Todos os possíveis pontos de equilíbrio estão sobre essa curva Dinâmica para q=0 e q=1

56 56 MODELO PELA MÉDIA (AVERAGED) DO BOOST Razão cíclica média Valor médio da tensão de saída Valor médio da corrente no indutor onde q(t) é periódica de período T

57 57 Modelo por valores médios Sob certas condições: V 0 (t) e i L (t) (valores instantâneos) não se desviem significativamente dos valores médio no intervalo [ t - T, T ]

58 58 Modelo por valores médios

59 59 Equilíbrios para o Modelo por valores médios Observação 0 < d(t) < 1 Limitação (restrição) sobre a ação de controle Razão cíclica média

60 60 Controle do Boost a) Diretrizes para o projeto de controladores em Eletrônica de Potência Funcionamento do dispositivo Considerações sobre o modo de condução Considerações sobre ruído audível Condições de operação Flutuações nas fontes de alimentação Perturbações de carga Especificações de desempenho Regime permanente / Regime transitório / Robustez Limitações sobre as variáveis de controle Saturação / Limitação de taxa / Natureza das variáveis

61 61 Controle do Boost b) Características intrínsecas que influenciam o controle q 1 0 Natureza discreta das variáveis de controle Saturação do controle

62 62 Controle do Boost c) O problema da rejeição de perturbação Variação de R Variação de E Objetivos de controle: Manter tensão regulada – ação integral Reduzir comportamento transitório

63 63 Controle do boost

64 64 Controle do Boost

65 65 Controle do Boost

66 66 Controle do Boost


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