PROGRAMAÇÃO LINEAR 17 DE SETEMBRO DE 2008. 1. Definição 2. Aplicações 3. Problema Ilustrativo 3.1 Enunciado 3.2 Dados Físicos e Econômicos 3.3 Modelo.

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1 PROGRAMAÇÃO LINEAR 17 DE SETEMBRO DE 2008

2 1. Definição 2. Aplicações 3. Problema Ilustrativo 3.1 Enunciado 3.2 Dados Físicos e Econômicos 3.3 Modelo Matemático 3.4 Balanço de Informação e Varáveis de Projeto 3.5 Critério e Função Objetivo 3.6 Restrições 3.7 Região Viável 3.8 Resolução 3.9 Algoritmo SIMPLEX (conjuntos ativos) 3.10 Algoritmo Karmarkar (ponto interior)

3 1. DEFINIÇÃO

4 todas as Restrições são lineares a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n  b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n  b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n  b m a Função Objetivo é linear F(x) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n O Problema de Programação Linear é um tipo especial de problema de otimização em que

5 2. APLICAÇÕES etc... planejamento de produção industrial transportes: rodoviário, ferroviário, fluvial, marítimo, aéreo logística produção e distribuição de energia militar

6 3. PROBLEMA ILUSTRATIVO Planejamento da Produção de uma Refinaria (adaptado de Edgar & Himmelblau, pg. 254)

7 A partir de cada um deles, pode-se produzir: - gasolina (G) - querosene (Q) - óleo combustível (C) - óleo residual (R). Uma refinaria pode receber dois tipos de óleo cru: O 1 e O 2. - a partir de cada óleo, quanto a refinaria deve produzir de - gasolina (x 31, x 32 ) - querosene (x 41, x 42 ) - óleo combustível (x 51, x 52 ) - óleo residual (x 61, x 62 ) Determinar - quantos barris/dia (b/d) a refinaria deve adquirir de cada óleo cru (x 1, x 2 ). 3.1 ENUNCIADO

8 Para se resolver este problema, é preciso conhecer: Preço de cada óleo cru Custo do processamento Perfil de produção: quanto se pode produzir de gasolina, querosene, óleo combustível e óleo residual a partir de cada óleo cru. Preços de venda dos produtos Limites de produção

9 Processamento do Óleo O 1 : - preço do óleo: p 1 = 24 $/b - custo de processamento: c 1 = 0,50 $/b - perfil de produção: gasolina 80%, querosene 5%, óleo combustível 10% e óleo residual 5%. Processamento do Óleo O 2 : - preço do óleo: p 2 = 15 $/b - custo de processamento: c 2 = 1,0 $/b - perfil de produção: gasolina 44%, querosene 10%, óleo combustível 35% e óleo residual 10%. Preço de venda dos produtos p 3 = 36 $/b (gasolina) p 4 = 24 $/b (querosene) p 5 = 21 $/b (óleo combustível) p 6 = 10 $/b (óleo residual) Produção máxima de cada produto x 3max = 24.000 b/d (x 3 = x 31 + x 32 ) x 4max = 2.000 b/d (x 4 = x 41 + x 42 ) x 5max = 6.000 b/d (x 5 = x 51 + x 52 ) 3.2 DADOS FÍSICOS E ECONÔMICOS

10 0,80 b 3 /b 1 0,05 b 4 /b 1 0,10 b 5 /b 1 0,05 b 6 /b 1 C 1 = 0,50 $/b C 2 = 1 $/b 0,44 b 3 /b 2 0,10 b 4 /b 2 0,36 b 5 /b 2 0,10 b 6 /b 2 x 32 x 42 x 52 x 62 x 31 x 41 x 51 x 61 G Q C R p 2 = 15 ($/b) p 1 = 24 ($/b) x 1 (b/d) x 2 (b/d) CRÚS x 3 (b/d) x 4 (b/d) x 5 (b/d) x 6 (b/d) PRODUTOS p 3 = 36($/b); x 3max = 24.000(b/d) p 4 = 24($/b); x 4max = 2.000(b/d) p 5 = 21($/d); x 5max = 6.000(b/d) p 6 =10($/b) O1O1 O2O2 Dados resumidos em Fluxograma

11 Modelo Matemático ? Balanço de Informação ? Variáveis de Projeto ? Critério ? Função Objetivo ? Restrições ? Região Viável ? Como em qualquer problema de Análise de Processos

12 Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 Combustível: 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 Residual : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 6 Balanços de Massa 0,80 b 3 /b 1 0,05 b 4 /b 1 0,10 b 5 /b 1 0,05 b 6 /b 1 C 1 = 0,50 $/b C 2 = 1 $/b 0,44 b 3 /b 2 0,10 b 4 /b 2 0,36 b 5 /b 2 0,10 b 6 /b 2 x 32 x 42 x 52 x 62 x 31 x 41 x 51 x 61 G Q C R p 2 = 15 ($/b) p 1 = 24 ($/b) x 1 (b/d) x 2 (b/d) PRODUTOS CRÚS x 3 (b/d) x 4 (b/d) x 5 (b/d) x 6 (b/d) p 3 = 36($/b); x 3max = 24.000(b/d) p 4 = 24($/b); x 4max = 2.000(b/d) p 5 = 21($/d); x 5max = 6.000(b/d) p 6 =10($/b) O1O1 O2O2 3.3 MODELO MATEMÁTICO

13 Balanço de Informação G = V – N = 6 – 4  G = 2 Variáveis de Projeto: x 1 e x 2 0,80 b 3 /b 1 0,05 b 4 /b 1 0,10 b 5 /b 1 0,05 b 6 /b 1 C 1 = 0,50 $/b C 2 = 1 $/b 0,44 b 3 /b 2 0,10 b 4 /b 2 0,36 b 5 /b 2 0,10 b 6 /b 2 x 32 x 42 x 52 x 62 x 31 x 41 x 51 x 61 G Q C R p 2 = 15 ($/b) p 1 = 24 ($/b) x 1 (b/d) x 2 (b/d) PRODUTOS CRÚS x 3 (b/d) x 4 (b/d) x 5 (b/d) x 6 (b/d) p 3 = 36($/b); x 3max = 24.000(b/d) p 4 = 24($/b); x 4max = 2.000(b/d) p 5 = 21($/d); x 5max = 6.000(b/d) p 6 =10($/b) O1O1 O2O2 3.4 BALANÇO DE INFORMAÇÃO E VARIÁVEIS DE PROJETO Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 Combustível: 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 Residual : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 6 Balanços de Massa

14 Receita (R): 36 x 3 + 24 x 4 + 21 x 5 + 10 x 6 Custos de MatPrim (CMP) : 24 x 1 + 15 x 2 Custos Processamento (CP): 0,50 x 1 + x 2 Função Objetivo L = R – CMP - CP L = 36 x 3 + 24 x 4 + 21 x 5 + 10 x 6 - 24 x 1 - 15 x 2 - 0,50 x 1 - x 2 0,80 b 3 /b 1 0,05 b 4 /b 1 0,10 b 5 /b 1 0,05 b 6 /b 1 C 1 = 0,50 $/b C 2 = 1 $/b 0,44 b 3 /b 2 0,10 b 4 /b 2 0,36 b 5 /b 2 0,10 b 6 /b 2 x 32 x 42 x 52 x 62 x 31 x 41 x 51 x 61 G Q C R p 2 = 15 ($/b) p 1 = 24 ($/b) x 1 (b/d) x 2 (b/d) PRODUTOS CRÚS x 3 (b/d) x 4 (b/d) x 5 (b/d) x 6 (b/d) p 3 = 36($/b); x 3max = 24.000(b/d) p 4 = 24($/b); x 4max = 2.000(b/d) p 5 = 21($/d); x 5max = 6.000(b/d) p 6 =10($/b) O1O1 O2O2 3.5 CRITÉRIO E FUNÇÃO OBJETIVO Critério Maximização do Lucro

15 Restrições de Igualdade (modelo) Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 Combustível : 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 Residual : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 6 Restrições de Desigualdade Gasolina : x 3  24.000 Querosene : x 4  2.000 Combustível : x 5  6.000 Óleos crus : x 1  0 e x 2  0 0,80 b 3 /b 1 0,05 b 4 /b 1 0,10 b 5 /b 1 0,05 b 6 /b 1 C 1 = 0,50 $/b C 2 = 1 $/b 0,44 b 3 /b 2 0,10 b 4 /b 2 0,36 b 5 /b 2 0,10 b 6 /b 2 x 32 x 42 x 52 x 62 x 31 x 41 x 51 x 61 G Q C R p 2 = 15 ($/b) p 1 = 24 ($/b) x 1 (b/d) x 2 (b/d) PRODUTOS CRÚS x 3 (b/d) x 4 (b/d) x 5 (b/d) x 6 (b/d) p 3 = 36($/b); x 3max = 24.000(b/d) p 4 = 24($/b); x 4max = 2.000(b/d) p 5 = 21($/d); x 5max = 6.000(b/d) p 6 =10($/b) O1O1 O2O2 3.6 RESTRIÇÕES Min f(x) Função Objetivo  x  Variáveis de Projeto s.a.: g(x)  0 Restr. desigualdade h(x) = 0 Restr. igualdade

16 Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo Resulta L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 Combustível : 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 Residual : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 6 L = 36 x 3 + 24 x 4 + 21 x 5 + 10 x 6 - 24 x 1 - 15 x 2 - 0,50 x 1 - x 2

17 max L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 {x 1, x 2 } s.a.: 0,80 x 1 + 0,44 x 2  24.000 0,05 x 1 + 0,10 x 2  2.000 0,10 x 1 + 0,36 x 2  6.000 x 1  0 x 2  0 Enunciado Formal do Problema

18 x 2 = L/10,8 – (8,1/10,8) x 1 (família de retas) Função Objetivo L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 (linear) 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 L=81.000 L=162.000 L=243.000 L=324.000 L=648.000

19 0,80 x 1 + 0,44 x 2  24.000 (gasolina) 0,05 x 1 + 0,10 x 2  2.000 (querosene) 0,10 x 1 + 0,36 x 2  6.000 (combustível) x 1  0 x 2  0 região convexa ! 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E gasolina querosene óleo Qualquer ponto no interior ou sobre a fronteira da Região Viável é uma Solução Viável 3.7 REGIÃO VIÁVEL

20 3.8 RESOLUÇÃO

21 Solução Ótima Solução (D): (26.207, 6.897) (L=286.764) É a solução viável correspondente ao valor máximo do Lucro 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina 81.000 162.000 243.000324.000 Em duas dimensões, a identificação visual da Solução Ótima é imediata.

22 Solução (C): (14.000, 13.000) (L = 637.000) 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina Com outros valores dos parâmetros físicos e econômicos, a inclinação da Função Objetivo seria outra e a solução seria outra. A Solução Ótima se localiza em pelo menos um dos Vértices da Região Viável

23 Como automatizar a busca pelo o vértice ótimo? Busca Exaustiva Método dos Conjuntos Ativos Método do Ponto Interior

24 Métodos da busca exaustiva e dos conjuntos ativos Ignorando os pontos interiores, restringindo a busca à fronteira da região viável e, na fronteira, restringindo a busca aos vértices. 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução: (26.207, 6.897) (L=286.764) 81.000 162.000 243.000 324.000 0 (como???)

25 Para tanto, os passos são os seguintes: 1. Restringir a busca à fronteira da região viável 2. Restringir a busca, na fronteira, aos vértices Transformando as restrições de desigualdade em restrições de igualdade Busca exaustiva: examinar todos os vértices das restrições explosão combinatória  Conjuntos Ativos: examinar os vértices da região viável método Simplex 

26 Variável de Folga No método dos conjuntos ativos, pode ser operada com o auxílio do conceito de Transformando as restrições de desigualdade em restrições de igualdade

27 Folga 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E F G H gasolina querosene óleo Exemplo: ponto I (folgas na produção de gasolina, querosene e óleo) f 1 = 11.600 b/d f 2 = 500 b/d f 3 = 1.400 b/d I Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 =12.400 (24.000) Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 = 1.500 (2.000) Combustível: 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 = 4.600 (6.000) Qualquer ponto (x 1, x 2 ) no interior da Região Viável corresponde a uma produção inferior à máxima de cada produto (folga, f i ).

28 Folga 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E F G H gasolina querosene óleo Qualquer ponto (x 1, x 2 ) localizado sobre um restrição corresponde à produção máxima do produto respectivo. f 1 = 9.889 b/d f 2 = 111 b/d f 3 = 0 b/d J 13,9 Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 =14.111 (24.000) Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 = 1.889 (2.000) Combustível : 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 = 6.000 (6.000) Exemplo: ponto J (produção máxima de óleo = 6.000 b/d: f 3 = 0)

29 Folga 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E F G H gasolina querosene óleo Qualquer ponto (x 1, x 2 ) localizado sobre um vértice corresponde à produção máxima dos 2 produtos respectivos. f 1 = 0 b/d f 2 = 0 b/d f 3 = 2.541 b/d Gasolina : 0,80 x 1 + 0,44 x 2 = x 3 =24.000 (24.000) Querosene : 0,05 x 1 + 0,10 x 2 = x 4 = 2.000 (2.000) Combustível : 0,10 x 1 + 0,36 x 2 = x 5 = 3.459 (6.000) Exemplo: ponto D (produção máxima de gasolina e de querosene: f 1 = 0, f 2 = 0)

30 A desejada transformação das restrições de desigualdade em restrições de igualdade é obtida incorporando as folgas às restrições de desigualdade

31 Max L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 {x 1, x 2 } s.a.: 0,80 x 1 + 0,44 x 2  24.000 (gasolina) 0,05 x 1 + 0,10 x 2  2.000 (querosene) 0,10 x 1 + 0,36 x 2  6.000 (combustível) x 1  0 x 2  0 Incorporando as folgas f i às restrições de desigualdade Max L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 {x 1, x 2 } s.a.: 0,80 x 1 + 0,44 x 2 + 0,05 x 1 + 0,10 x 2 + 0,10 x 1 + 0,36 x 2 + x 1  0 x 2  0 f1f1 f2f2 f3f3 = 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível)

32 A qualquer par de valores das variáveis de projeto, corresponde uma solução. Logo, o problema exibe uma infinidade de soluções viáveis. V = 5 : N = 3 : G = 2 !!! As restrições de igualdade formam agora um sistema de equações lineares. 0,80 x 1 + 0,44 x 2 + 0,05 x 1 + 0,10 x 2 + 0,10 x 1 + 0,36 x 2 + f1f1 f2f2 f3f3 = 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível) Mas, agora, todas localizadas na fronteira da região viável

33 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução: (26.207, 6.897) (L=286.764) 81.000 162.000 243.000 324.000 0 Uma solução trivial é: x 1 = 0, x 2 = 0 Corresponde a uma vértice especial: a origem, onde L = 0

34 2. Na fronteira, restringir a busca aos vértices.

35 0,80 x 1 + 0,44 x 2 + 0,05 x 1 + 0,10 x 2 + 0,10 x 1 + 0,36 x 2 + f1f1 f2f2 f3f3 = 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível) 0,68 x 1 – 1,22 f 3 + 0,02 x 1 – 0,78 f 3 + 0,28 x 1 + 2,78 f 3 + f1f1 f2f2 x2x2 = 16.667 (gasolina) = 333 (querosene) = 16.667(combustível) Parte-se do fato de que o sistema de restrições de igualdade pode ser re-escrito sob diversas formas. Forma Original Uma das formas alternativas Com x 1 = 0 e x 2 = 0  vértice A (origem) Com x 1 = 0 e f 3 = 0  vértice B

36 Uma forma de examinar apenas os vértices da região viável consiste em reescrever o sistema sob formas diferentes e atribuir o valor zero às variáveis de projeto correspondentes Portanto...

37 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução: (26.207, 6.897) (L=286.764) 81.000 162.000 243.000 324.000 0 A x1 = 0 x2 = 0 f1 = 24.000 f2 = 2.000 f3 = 6.000 B x1 = 0 x2 = 16.667 f1 = 16.667 f2 = 333 f3 = 0 C x1 = 15.000 x2 = 12.500 f1 = 6.500 f2 = 0 f3 = 0 D x1 = 26.207 x2 = 6.897 f1 = 0 f2 = 0 f3 = 897 E x1 = 30.000 x2 = 0 f1 = 0 f2 = 500 f3 = 3.000 Examinando os valores de x 1, x 2, f 1, f 2 e f 3 em cada vértice

38 A x1 = 0 x2 = 0 f1 = 24.000 f2 = 2.000 f3 = 6.000 B x1 = 0 x2 = 16.667 f1 = 16.667 f2 = 333 f3 = 0 C x1 = 15.000 x2 = 12.500 f1 = 6.500 f2 = 0 f3 = 0 D x1 = 26.207 x2 = 6.897 f1 = 0 f2 = 0 f3 = 897 E x1 = 30.000 x2 = 0 f1 = 0 f2 = 500 f3 = 3.000 O SIMPLEX parte da origem e visita vértices adjacentes na busca da solução ótima, invertendo sucessivamente o papel de 2 variáveis: uma do problema (básica) e uma de projeto (não-básica). Inverter os papéis de duas variáveis, consiste em reescrever o sistema de equações em termos de uma outra base. 3.9 Algoritmo SIMPLEX (Dantzig, 1947)

39 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 b 0,800,4410024.000 0,050,100102.000 0,10,360016.000 8,1010,80000L 0,80 x 1 + 0,44 x 2 + 0,05 x 1 + 0,10 x 2 + 0,10 x 1 + 0,36 x 2 + L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 f1f1 f2f2 f3f3 = 24.000 (gasolina) = 2.000 (querosene) = 6.000(combustível) A mudança de base é executada aplicando o Algoritmo de Gauss-Jordan à Matriz Aumentada (Tableau) do sistema de equações lineares. O Lucro é incluído na matriz para que os seus coeficientes sofram as mesmas transformações e fique expresso automaticamente na nova base.

40 Projeto  Problema Identifica-se a variável de projeto de maior coeficiente positivo na expressão do Lucro (a que mais contribui para o aumento do Lucro). OBS: coeficiente mais negativo no caso de minimização. Problema  Projeto Identifica-se o menor valor positivo de b/a, sendo b o vetor dos termos independentes (coluna da direita) e a o vetor dos coeficientes na coluna da variável de projeto escolhida acima. (corresponde a restrição mais próxima ao aumentar a variável de projeto) Critério para a troca de papéis (PIVOTAMENTO) L(x) = 8,1 x 1 + 10,8 x 2 : x 1 = x 2 = 0  L = 0 aumento em x 2  contribui mais para o aumento de L

41 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 0,800,4410024.000 0,050,100102.000 0,10,360016.000 8,1010,80000L x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 x2  x2x2  x2 f3  f3f3  f3 Pivô = a 32 = 0,36 Divide-se a linha do pivô pelo pivô. Em seguida: a ij = a ij – a i2 a 3j 0,68 0,001,00 0,282,7816.667100 Ex.: a 11 =0,80 – 0,44 x 0,28 = 0,68 0,36 b/a i2 54.545 20.000 16.667 0,00-1,2216.667

42 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 0,800,4410024.000 0,050,100102.000 0,10,360016.000 8,1010,80000L x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 0,68010-1,2216.667 0,02001-0,28333 0,281002,7816.667 5,10000-30L - 180.000 Com x 1 = f 3 = 0  L = 180.000 x2  x2x2  x2 f3  f3f3  f3 Resultado da eliminação Gaussiana: Ponto B

43 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina 81.000 162.000 243.000 324.000 0 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 0,68010-1,2216.667 0,02001-0,28333 0,281002,7816.667 5,10000-30L - 180.000 Ponto B Com x 1 = f 3 = 0 L = 180.000

44 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 0,68010-1,2216.667 0,02001-0,28333 0,281002,7816.667 5,10000-30L - 180.000 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 001-30,57,256.500 10045-12,515.000 010-12,56,2512.500 000-229,533,75L - 256.500 Com f 2 = f 3 = 0  L = 256.500 x1  x1x1  x1 f2  f2f2  f2 Divide-se a linha do pivô pelo pivô. Em seguida: a ij = a ij – a i1 a 2j b/a i1 24.510 16.650 59.525 Pivô = a 21 = 0,02 0,02

45 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 001-30,57,256.500 10045-12,515.000 010-12,56,2512.500 000-229,533,75L - 256.500 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina 81.000 162.000 243.000 324.000 0 Ponto C Com f 2 = f 3 = 0 L = 256.500

46 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 001-30,57,256.500 10045-12,515.000 010-12,56,2512.500 000-229,533,75L - 256.500 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 000,144,211897 101,72-7,59026.207 01-0,8613,7906.897 00-4,66-87,520L - 286.765 Com f 1 = f 2 = 0  L = 286.765 f3  f3f3  f3 f1  f1f1  f1 Divide-se a linha do pivô pelo pivô.Em seguida: a ij = a ij – a i5 a 1j b/a i5 896,55 -1.200 2.000 Pivô = a 15 = 7,25 7,25

47 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 000,144,211897 101,72-7,59026.207 01-0,8613,7906.897 00-4,66-87,520L - 286.765 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina 81.000 162.000 243.000 324.000 0 Ponto D Com f 1 = f 2 = 0 L = 286.765

48 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 000,144,211897 101,72-7,59026.207 01-0,8613,7906.897 00-4,66-87,520L - 286.765 Ponto D Com f 1 = f 2 = 0 L = 286.765 Nenhuma para entrar  FIM Projeto  Problema Identifica-se a variável de projeto de maior coeficiente POSITIVO na expressão do Lucro (a que mais contribui para o aumento do Lucro)

49 000,144,211 x1x1 897 101,72-7,590 x2x2 26.207 01-0,8613,790 f1f1 =6.897 00-4,66-87,520 f2f2 L - 286.765 f3f3 Ponto D Com f 1 = f 2 = 0 x 1 = 26.207 x 2 = 6.897 f 3 = 897 L = 286.764

50 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina 81.000 162.000 243.000 324.000 0 Solução: Ponto D x 1 = 26.207 x 2 = 6.897 gasolina = 24.000 (f 1 = 0) querosene = 2.000 (f 2 = 0) óleo = 5.103 (f 3 = 897) L = 286.764

51 x1x1 x2x2 f1f1 f2f2 f3f3 000,144,211897 101,72-7,59026.207 01-0,8613,7906.897 00-4,66-87,520L - 286.765 Análise de Sensibilidade Pode ser efetuada através dos valores implícitos (“shadow prices” ou “custos marginais”) dos produtos, que aparecem na última linha do Tableau Final, com sinal trocado. Corresponde aos multiplicadores de Lagrange das restrições ativas.  b L = -  Por ex.: um aumento de 100 b/d de gasolina (restrição ativa f 1 ) implicaria em um aumento de 100 * 4,66 = 466 $/d no lucro da unidade.

52 Ou seja, cada b/d produzido de gasolina contribui internamente com 4,66 $/d para o lucro, enquanto que seu preço de venda no mercado externo é de 36 $/b.

53 Métodos do Ponto Interior Restringe a busca aos pontos interiores da região viável. 102030400 10 20 0 x1x1 (1.000 b/d) x2x2 A B C D E óleo querosene gasolina Solução: (26.207, 6.897) (L=286.764) 81.000 162.000 243.000 324.000 0 (como???)

54 3.10 Algoritmo de Karmarkar (1984, Dikin, 1967) max {f(x) = c T x} {x} sujeito a: A x  b x  0 origem  d dpdp drdr  Aplica uma projeção do vetor direção (d =  f = c) no espaço nulo das restrições transformadas em igualdade. A busca segue então na direção projetada até as proximidades de uma restrição, obtendo o ponto x k.

55 e reformulado para que o ponto de partida do próximo estágio esteja eqüidistante de todos os hiperplanos que formam o poliedro (ou seja, o centróide): A x = A DD  1 x = A D x k+1 f(x) = c T DD  1 x = c T D x k+1 resultando no novo problema: max f(x) = c T D x {x} sujeito a: A D x  b x  0 Repetindo o procedimento até a convergência. O problema é então normalizado por: x k+1 = D  1 x, onde D = diag(x k )

56 Algoritmo de Karmarkar Entrada: A, b, c, x 0, critério de parada e  max {f(x) = c T x} {x} sujeito a: A x  b x  0

57 Solução do problema no MATLAB c=[8.1; 10.8]; A=[0.8 0.44 0.05 0.1 0.1 0.36]; b=[24000; 2000; 6000]; lb=zeros(2,1); x0=[0; 0]; % conjuntos ativos: simplex op=optimset('LargeScale','off','Display','final'); [x,S,eflag,out,lambda]=linprog(-c,A,b,[],[],lb,[],x0,op) x = [26206.90; 6896.55] S = -286758.62 out = iterations: 3 algorithm: 'medium-scale: activeset' lambda.ineqlin = [4.66; 87.52; 0.00]

58 Solução do problema no MATLAB c=[8.1; 10.8]; A=[0.8 0.44 0.05 0.1 0.1 0.36]; b=[24000; 2000; 6000]; lb=zeros(2,1); x0=[0; 0]; % ponto interior: S. Mehrotra, 1992 op=optimset('LargeScale','on','Display','iter','MaxIter',100,'TolFun',1e-4); [x,S,eflag,out,lambda]=linprog(-c,A,b,[],[],lb,[],[],op) x = [26206.89; 6896.55] S = -286758.55 out = iterations: 4 algorithm: 'lipsol‘ lambda.ineqlin = [4.66; 87.52; 0.00]

59 PROBLEMA

60 Uma empresa possui duas plantas de alquilados (A1 e A2), cujos produtos são distribuídos a 3 clientes (C1, C2 e C3). C1C2C3 A1256075 A2205085 Custos de Transporte ($/ton) A produção máxima (ton/d) de cada planta é: A1 = 1,6 : A2 = 0,8 A demanda mínima (ton/d) de cada cliente é: C1 = 0,9 : C2 = 0,7 : C3 = 0,3 O custo de produção da planta A1 é de $30/ton até 0,5 ton/d ou de $40/ton acima de 0,5 ton/d. O custo de produção da planta A2 é de $35/ton (qualquer nível). Qual deve ser o esquema de produção e de distribuição da empresa que minimiza o seu custo total ?