PROGRAMAÇÃO DINÂMICA 27 de maio de 2014 OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS.

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1 PROGRAMAÇÃO DINÂMICA 27 de maio de 2014 OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS

2 Considere um sistema constituido de N estágios em série. O dimensionamento deste sistema é um problema de otimização com G = N graus de liberdade tendo x 1... x N como variáveis de projeto Uma forma de conduzir a otimização consiste um realizar uma busca multivariável por um dos métodos conhecidos (H&J, por exemplo). Uma outra forma consiste em realizar N buscas univariáveis. xoxo x2x2 xNxN x N-1 x N-2 12N x1x1 N -1 PROGRAMAÇÃO DINÂMICA

3 Método criado por Richard Bellman para a otimização de sistemas em estágios. x*ox*o 12NN -1 x1x1 x2x2 xNxN x N-1 x N-2 Aplicações na Engenharia Química baterias de reatores, extratores, torres de destilação, etc...

4 Base do Método PRINCÍPIO DO ÓTIMO “Optimality Principle” (Bellman) "Para que um sistema em estágios em série seja ótimo é necessário que ele seja ótimo de qualquer estágio em diante". x*ox*o 12NN -1 x1ox1o x2ox2o xNoxNo x N-1 o x N-2 o Todo x i está com o seu valor ótimo

5 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W1W1 W2W2 X 1 kgAB/kgAX 2 kgAB/kgA y 1 kgAB/kgAy 2 = kgAB/kgA 3 W3W3 y 3 = kgAB/kgA X 3 kgAB/kgA Exemplo: 3 extratores em série

6 A solução ótima A solução ótima pode ser obtida pelo método analítico, maximizando o Lucro do processo completo. Incorporando as equações ordenadas ao Lucro: L (x o, x 1, x 2, x 3 ) = 4.000 (0,02 – x 3 ) – 25 (0,02 / x 1 – x 1 / x 2 – x 2 / x 3 – 3)  L /  x 1 = 0  x 2 = 50 x 1 2  L /  x 2 = 0  x 3 = x 2 2 / x 1  L /  x 3 = 0  x 1 o = 0,01495  x 2 o = 0,01118  x 3 o = 0,008359 W 1 o = W 2 o = W 3 o = 843,7 L o (x o, x 1, x 2, x 3 ) = 21,3 $/h 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 o = 843,7 kgB/hW 2 o = 843,7 kgB/h x 1 o = 0,015 kgAB/kgA x 2 o = 0,011 kgAB/kgA y 1 = 0,0598 kgAB/kgAy 2 = 0,04472 kgAB/kgA 3 W 3 o = 843,7 kgB/h y 3 = 0,03344 kgAB/kgA x 3 o = 0,0084 kgAB/kgA

7 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 o = 843,7 kgB/hW 2 o = 843,7 kgB/h X 1 o = 0,015 kgAB/kgA x 2 o = 0,011 kgAB/kgA y 1 = 0,0598 kgAB/kgAy 2 = 0,04472 kgAB/kgA 3 W 3 o = 843,7 kgB/h y 3 = 0,03344 kgAB/kgA x 3 o = 0,0084 kgAB/kgA Este sistema é ótimo a partir de qualquer estágio Outra solução: este sistema não é ótimo a partir de estágio algum ! 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB / kgA W 1 = 1.972 kgB/hW 2 = 843,7 kgB/h x 1 = 0,01118 kgAB/kgA x 2 = 0,008359 kgAB/kgA y 1 = 0,04472 kgAB/kgAy 2 = 0,03344 kgAB/kgA 3 W 2 = 391,2 kgB/h y 3 = 0,02891 kgAB/kgA x 3 = 0,007228 kgAB/kgA

8 Solução Ótima: cada Estágio abre mão do seu lucro máximo em favor do lucro máximo do sistema A outra Solução: cada Estágio busca o seu lucro máximo ignorando os Estágios seguintes. 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB / kgA W 1 = 1.972 kgB/hW 2 = 843,7 kgB/h x 1 = 0,01118 kgAB/kgA x 2 = 0,008359 kgAB/kgA y 1 = 0,04472 kgAB/kgAy 2 = 0,03344 kgAB/kgA 3 W 2 = 391,2 kgB/h y 3 = 0,02891 kgAB/kgA x 3 = 0,007228 kgAB/kgA L o' (x o, x 1, x 2, x 3 ) = L 1 o' (x o, x 1 ) + L 2 o' (x 1, x 2 ) + L 3 o' (x 2, x 3 ) = 15,6 + 2,8 + 0,6 = 19 $/h 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 o = 843,7 kgB/hW 2 o = 843,7 kgB/h X 1 o = 0,015 kgAB/kgA x 2 o = 0,011 kgAB/kgA y 1 = 0,0598 kgAB/kgAy 2 = 0,04472 kgAB/kgA 3 W 3 o = 843,7 kgB/h y 3 = 0,03344 kgAB/kgA x 3 o = 0,0084 kgAB/kgA L o (x o, x 1, x 2, x 3 ) = 4.000 (0,02 – x 3 o ) – 25 (0,02 / x 1 o – x 1 o / x 2 o –x 2 o / x 3 o – 3) = 21,3 $/h

9 A forma correta de executar as buscas univariáveis levando em conta os estágios a jusante, é através da PROGRAMAÇÃO DINÂMICA

10 De uma forma simplificada, pode-se dizer que a solução por Programação Dinâmica é obtida em duas fases: Fase de Ida Fase de Volta

11 Fase de Ida: o sistema é percorrido no sentido inverso ao do fluxo, do último ao primeiro Estágio. Nesta fase, cada estágio é “consultado” quanto à sua participação na solução ótima, ficando preparado o caminho de volta. 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W1W1 W2W2 X 1 ? kgAB/kgAX 2 ? kgAB/kgA y 1 kgAB/kgAy 2 = kgAB/kgA 3 W3W3 y 3 = kgAB/kgA X 3 ? kgAB/kgA

12 Fase de Volta: o sistema é percorrido no sentido do fluxo, do primeiro para o último Estágio. Nesta fase, a solução ótima vai sendo produzida, de estágio a estágio, utilizando as informações colhidas na Fase de Ida. 12 Q = 10.000 kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W1W1 W2W2 X 1 o kgAB/kgAX 2 o kgAB/kgA y 1 kgAB/kgAy 2 = kgAB/kgA 3 W3W3 y 3 = kgAB/kgA X 3 o kgAB/kgA

13 L (x o, x 1, x 2, x 3 ) = L 1 (x o, x 1 ) + L 2 (x 1, x 2 ) + L 3 (x 2, x 3 ) L 1 (x o, x 1 ) = 105 – 4.000 x 1 – 0,5 / x 1 L 2 (x 1, x 2 ) = 25 + 4.000 x 1 – 4.000 x 2 – 25 x 1 / x 2 L 3 (x 2, x 3 ) = 25 + 4.000 x 2 – 4.000 x 3 – 25 x 2 / x 3 Otimização do Estágio 3 para o valor ótimo de volta ainda desconhecido x 2 # : dL 3 /dx 3 = - 4.000 + 25 x 2 # / x 3 2 = 0 x 3 o = 0,0791  x 2 # L 3 o = 25 + 4.000 x 2 # - 632,46  x 2 # EXEMPLO: 3 extratores em série xo*xo* 1 x1x1 W1W1 y1y1 2 x2x2 W2W2 y2y2 3 x3x3 W3W3 y3y3 Assim, fica garantido que o Estágio 3 será ótimo para qualquer valor de x 2. Explicitando o lucro proporcionado por cada estágio:

14 Otimização dos Estágios 2 + 3 para o valor ótimo de volta ainda desconhecido x 1 # (aproveitando L 3 o ): dL 23 /dx 2 = 25 x 1 # / x 2 2 – (1/2)(632,46 /  x 2 # ) = 0 x 2 o = 0,1843 x 1 # 2/3 L 23 o = 50 + 4.000 x 1 # – 407,2 x 1 # 1/3 xo*xo* 1 x1x1 W1W1 y1y1 2 x2x2 W2W2 y2y2 3 x3x3 W3W3 y3y3 Do passo anterior: x 3 o = 0,0791  x 2 L 3 o = 25 + 4.000 x 2 - 632,46  x 2 L 23 = L 2 (x 1, x 2 ) + L 3 o = [25 + 4.000 x 1 # – 4.000 x 2 – 25 x 1 # / x 2 ] + [25 + 4.000 x 2 - 632,46  x 2 ] L 23 = 50 + 4.000 x 1 # - 25 x 1 # / x 2 – 632,46  x 2 Assim, fica garantido que os Estágios 2 e 3 serão ótimos para qualquer valor de x 1.

15 xo*xo* 1 x1x1 W1W1 y1y1 2 x2x2 W2W2 y2y2 3 x3x3 W3W3 y3y3 Do passo anterior: x 2 o = 0,1842 x 1 2/3 L 23 o = 50 + 4.000 x 1 – 407,2 x 1 1/3 Otimização dos Estágios 1 + 2 + 3 para a constante x o ( aproveitando L 23 o ): L 123 = L 1 (x o, x 1 ) + L 23 o = [105 – 4.000 x 1 – 0,5 / x 1 ] + [50 + 4.000 x 1 – 407,2 x 1 1/3 ] L 123 = 155 – 0,5/x 1 – 407,2 x 1 1/3 dL 123 /dx 1 = 0,5 / x 1 2 – 135,7 x 1 -2/3 = 0 Retornando, no sentido do fluxo: x 1 o = 0,015 : W 1 o = 843,7 kg/h L 123 o = L o = 21,2 $/a  x 2 o = 0,01842 x 1 2/3 = 0,01118 : W 2 o = 843,7 kg/h x 3 o = 0,07905  x 2 = 0,008365 : W 3 o = 843,7 kg/h

16 DESENVOLVIMENTO LITERAL

17 Primeiro passo: otimiza-se o estágio 3 para um valor hipotético x 2 #. xo*xo* 1 x1x1 W1W1 y1y1 2 x2x2 W2W2 y2y2 3 x3x3 W3W3 y3y3 L (x 1, x 2, x 2 ) = L 1 (x o, x 1 ) + L 2 (x 1, x 2 ) + L 3 (x 2, x 3 ) x2#x2# ETAPA PREPARATÓRIA A função objetivo a maximizar é L 3 (x 2 #, x 3 ) e a variável de projeto é x 3. Busca univariável em x 3. Obtem-se x 3 o (x 2 # ) e L 3 o (x 2 # ), ambos função de x 2 #. L 3 o (x 2 # ) será usado no passo seguinte. x 3 o (x 2 # ) fica agurdando o resultado x 2 o a ser determinado na etapa na volta.

18 xo*xo* 1 x1x1 W1W1 y1y1 2 x2x2 W2W2 y2y2 3 x3x3 W3W3 y3y3 L (x 1, x 2, x 2 ) = L 1 (x o, x 1 ) + L 2 (x 1, x 2 ) + L 3 (x 2, x 3 ) A função objetivo a maximizar é L 23 (x 1 #, x 2, x 3 ) = L 2 (x 1 #, x 2 ) + L 3 (x 2, x 3 ). Porém, para qualquer valor de x 2, já se conhece o valor máximo de L 3. Então, a função objetivo fica: L 23 (x 1 #, x 2 ) = L 2 (x 1 #, x 2 ) + L 3 o (x 2 ) e a variável de projeto fica sendo x 2. Busca univariável em x 2. Obtem-se x 2 o (x 1 # ) e L 23 o (x 1 # ), ambos função de x 1 #. L 23 o (x 1 # ) será usado no passo seguinte. x 2 o (x 1 # ) fica aguardando x 1 o (x 1 # ) a ser determinado na etapa de na volta. x1#x1# ETAPA PREPARATÓRIA Segundo passo: otimizam-se os estágios 2 e 3, em conjunto, para um valor hipotético x 1 #.

19 A função objetivo a maximizar é L 123 (x o, x 1, x 2, x 3 ) = L 1 (x o, x 1 ) + L 2 (x 1, x 2 ) + L 3 (x 2, x 3 ). Porém, para qualquer valor de x 1, já se conhece o valor máximo de L 23. Então, a função objetivo fica: L 123 (x o, x 1 ) = L 1 (x o, x 1 ) + L 23 o (x 1 ) e a variável de projeto fica sendo x 1. Busca univariável em x 1. Obtem-se x 1 o e L 123 o, ambos função de x o. xo*xo* 1 x1x1 W1W1 y1y1 2 x2x2 W2W2 y2y2 3 x3x3 W3W3 y3y3 L (x 1, x 2, x 2 ) = L 1 (x o, x 1 ) + L 2 (x 1, x 2 ) + L 3 (x 2, x 3 ) Quarto passo: regenera-se a solução final voltando com os valores de x 1 o e x 2 o e x 3 o ETAPA PREPARATÓRIA Terceiro passo: otimizam-se os estágios 1, 2 e 3, em conjunto, para o valor fixo x o *.

20 A solução analítica se torna inviável para problemas de grande porte. Os resultados intermediários de L o e x i o são lançados em gráficos ou tabelas. Procedimento numérico alternativo A pré-otimização de cada estágio se dá para um conjunto discreto de valores da variável de entrada. Ver ProgramaçãoDinâmica.xls Os de L o são usados durante a pré-otimização Os de x i o são usados no caminho de volta