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EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 27 de agosto de 2013 Tópicos 1 a 6.

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1 EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 27 de agosto de 2013 Tópicos 1 a 6

2 CONTEXTO DA DISCIPLINA

3 Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos ENGENHARIA DE PROCESSOS Esta disciplina de Otimização em Engenharia Química se desenvolve no contexto da

4 O conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial. É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!! PROJETO

5 ANÁLISESÍNTESE SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA PROJETO (a) escolha de um equipamento para cada tarefa. (b) definição da fluxograma do processo. (a) previsão do desempenho do processo. (b) avaliação do desempenho do processo. Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem:

6 SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub- produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

7 O PROJETO É CARACTERIZADO PELA MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

8 Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

9 Na Síntese, as soluções são fluxogramas Um número finito de soluções viáveis

10 EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Podendo ocorrer uma

11 Modelo 1. Q* (x o * - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q* (x 1 - x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização) Variáveis de Projeto: x 1, x 2 MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE rafinado x 1 kgAB/kg A ? W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato W 1 kg B/h ? Q = kgA/h y 2 kg AB/kg B ? extrato W 2 kg B/h ? Q = kgA/h x 2 kgAB/kgA ? W 2 kg B/h ? rafinado Q* = kgA/h x o * = 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Cada par (x 1,x 2 ) é uma solução fisicamente viável

12 MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Variáveis contínuas: uma infinidade de soluções viáveis Na Análise, as soluções são pares de valores x 1,x 2

13 A multiplicidade de soluções de um problema acarreta o seguinte: Multiplicidade de Soluções Exige a busca da Otimização Solução Ótima através de

14 Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema OTIMIZAÇÃO Ação de buscar a solução ótima de um problema Palavra com dois significados:

15 Fonte da complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química. Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo. Otimização Tecnológica Otimização Estrutural Otimização Numérica O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização

16 COMO RESOLVER? MÉTODOS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL

17 Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Numérico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Busca Orientada por Árvore de Estados P ? ? D+E P+F D,EP,F ?? A+B P+C A,BP,C ?? 1PA BC x ? TD 2 PA BC x ? TA P3D EF x ? DM P F 4 D E x ? ME L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x*

18 P ? ? D+E P+F D,E P,F ?? L x 4 10 ? P3 D E F x Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Numérico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) Solução Ótima: Interesse deste capítulo

19 INÍCIO DO CAPÍTULO

20 O seu contexto, na Engenharia de Processos é na Análise de Processos Este Capítulo trata da OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

21 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

22 Todo problema de Otimização encerra um conflito. A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

23 A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes R C L,R,C $/a L o =15, W kg/h W o = 1.973,6 L = R - C Exemplo No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante. - aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional. - aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita. Com o aumento da vazão: Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A (extrato) x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Vazão ótima Lucro máximo

24 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

25 W 4 = kg/h A = 360 m 2 W 2 = kg/h W 1 * = kg/h T 1 * = 80 o C T 2 * = 15 o C W 3 = kg/h T 3 * = 25 o C T 4 * = 30 o C Problema : quanto se deve fornecer de área de troca térmica e de água de resfriamento a um trocador de calor para resfriar a corrente 1 de 80 o C a 25 o C, utilizando água a 15 o C e limitando a sua saída a 30 o C. Este tipo de problema é chamado de Problema de Dimensionamento

26 Generalizando... W 4 = kg/h A = 360 m 2 W 2 = kg/h W 1 * = kg/h T 1 * = 80 o C T 2 * = 15 o C W 3 = kg/h T 3 * = 25 o C T 4 * = 30 o C d Q3 C3*Q3 C3* Q 2 C 2 * Q 1 * C 1 * Q4 C4*Q4 C4* As variáveis do problema podem ser classificadas em: Conhecidas: vazão e condição da corrente processada, condição da corrente auxiliar: W 1 *, T 1 *, T 2 * Metas (de projeto e operação): a serem atendidas à saída do equipamento: T 3 *, T 4 * Calculadas ou Incógnitas: calculadas para proporcionar as metas: dimensão e vazão da corrente auxiliar: A, W 2

27 Ela decorre do fato de que um sistema de equações pode ser: - inconsistente (sem solução) - consistente - determinado (solução única) - indeterminado (infinidade de soluções) Exemplo trivial: solução de um sistema de duas equações lineares y x Consistente determinado Inconsistente Consistente indeterminado y x paralelas y x coincidentes Balanço de Informação O Balanço de Informação é uma análise prévia da consistência de um problema.

28 Número de Incógnitas: I = V - E Número de equações independentes: N Número Total de Variáveis: V Número de Variáveis Especificadas: E = C + M C: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações: O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema

29 1. F z 1 = V y 1 + L x 1 2. F z 2 = V y 2 + L x 2 3. z 1 + z 2 = 1 4. y 1 + y 2 = 1 5. x 1 + x 2 = 1 6. F = V + L Esse sistema é formado por 6 equações dependentes: qualquer uma pode ser obtida a partir das demais. Ex: Somando F (z 1 + z 2 ) = V (y 1 + y 2 ) + L (x 1 + x 2 ). Usando 3, 4 e 5 F = V + L, que é a equação 6. As cinco primeiras formam um sistema de equações independentes. Elas são suficientes para resolver qualquer problema relativo ao sistema. Equações Independentes Não resultam da combinação das demais F,z 1,z 2 V,y 1,y 2 L,x 1,x 2 É possível formar 6 conjuntos de 5 equações. Cada um deles constitui um sistema de equações independentes. Ex.: em processos de separação: A equação 6 torna-se supérflua para fins de resolução do problema, mas pode ser usada para conferir a solução obtida.

30 Número de Incógnitas: I = V - E Número de equações independentes: N Número Total de Variáveis: V Número de Variáveis Especificadas: E = C + M C: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto. Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações: G = I – N = (V - E) – N = V - N - E O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema

31 Explicando melhor através de alguns exemplos G = V - E - N

32 Exemplo 1 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7mx7m Sistema consistente determinado Solução única y x N = 3 V = 7 C = 2 M = 2 E = 4 G = V - E - N = = 0

33 y x x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7mx7m 1 2 3

34 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7x Exemplo 2 y x coincidentes Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) (uma há que ser apresentada) G = V – E – N = = 1 V = 7 N = 3 C = 2 M = 1 E = 3

35 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7x x4cx4c x5cx5c x1x1 x2x2 x3x3 x6mx6m x7px7p Para se obter uma das soluções, é preciso escolher uma das incógnitas e lhe atribuir um valor. A variável escolhida é denominada variável de projeto. O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional. Cabe ao projetista a liberdade de escolher essa incógnita e o seu valor. Por exemplo: x 7.

36 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7px7p A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima. Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). y x coincidentes

37 Exemplo 3 Sistema Inconsistente Excesso de metas ou de equações Não há solução x1x1 x2x2 x3mx3m x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7mx7m E = 5 G = V – E – N = = - 1 y x paralelas N = 3 V = 7 C = 2 M = 3

38 Resumindo O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema: G = V – N - E (E = C + M). Em função dos Graus de Liberdade, o problema pode ser: - inconsistente (G < 0 : sem solução) - consistente - determinado (G = 0 : solução única) - indeterminado (G > 0 : infinidade de soluções otimização) Problemas de dimensionamento podem ser determinados (G = 0) ou indeterminados (G > 0, otimização). Problemas de simulação são determinados (G = 0). (se impomos as entradas, a natureza não nos dá liberdade de escolha das saídas).

39 EM RESUMO Insuficiência de metas gera graus de liberdade Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização

40 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

41 3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação.

42 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquer que seja a sua área de aplicação. 3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)

43 São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto INCÓGNITAS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA V d,A e c r VARIÁVEIS DE PROJETO r,T 9,T 12 OTIMIZAÇÃO W 4,W ,W 14 MODELO FÍSICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W 1 x 11,x 14 T 1,T ,T 11,T 14, t O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

44 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7x y x coincidentes Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) G = V – E – N = = 1 V = 7 N = 3 C = 2 M = 1 E = 3 Há que se escolher uma solução

45 Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas. O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações). o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x 7 (variável de projeto). G = V – E – N = = 1 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7x x7px7p

46 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7px7p x 7 m 0,00,20,40,60,81,0 L 7 x p A cada valor de x 7 p corresponde uma solução viável x 1, x 2, x 3 e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto. Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima. Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

47 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7px7p Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima ! y x coincidentes

48 As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não- especificadas. Modelo Matemático 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W) W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Exemplo: otimização do extrator W? x? y?

49 R C L,R,C $/a L o =15, W kg/h W o = 1.973,6 L = R - C xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* Variável de Projeto: W 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 A solução ótima independe da variável de projeto escolhida W o = 1.972,3 x o = 0,01118 y o = 0,04472 L o = 15,6 $/h x o = 0,01118 y o = 0,04472 W o = 1.972,3 L o = 15,6 $/h

50 O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada Escolha feliz ! Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (x o - x)/y Variável de Projeto: x 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* Variável de Projeto: W 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização

51 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 3 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema 3.2 Critério

52 A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico 3.2 Critério 0,00,20,40,60,81,0 L Maximização do Lucro x7ox7o 0,00,20,40,60,81,0 L R C L Minimização do Custo (produção fixa Receita constante) x7ox7o

53 Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

54 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.3 Função Objetivo

55 (c ) Convexidade: côncava ou convexa. É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. Pode ser classificada quanto à: (b) Modalidade: unimodal, multimodal. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.

56 3.3 Função Objetivo (a) Continuidade Função ContínuaFunção Contínua com descontinuidade na derivada Função Descontínua Função Discreta Os parâmetros da função dependem da faixa de x A função só existe para valores inteiros de x

57 3.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

58 Função Bimodal em 1 Dimensão 3.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Bimodal em 2 Dimensões Incerteza quanto ao ótimo global C, E: máximos locais A: máximo global B, D: mínimos locais F: mínimo global B: mínimo local F: mínimo global C: ponto de sela

59 Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x 1 + a x 2 ] > (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x x1x1 x2x2 (1-a)x 1 + ax 2 y[(1-a) x 1 + a x 2 ] (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 0 a 1

60 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x x1x1 x2x2 (1-a)x 1 + ax 2 y[(1-a) x 1 + a x 2 ] (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 0 a 1 limite inferior para o máximo

61 Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x 1 + a x 2 ] < (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x x1x1 x2x2 (1-a)x 1 + ax 2 y[(1-a) x 1 + a x 2 ] (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 0 a 1 limite superior para o mínimo

62 Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada da função no ponto extremo.

63 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos Equação Característica que são as raízes da sua

64 Matriz Hessiana Equação Característica: Os Valores Característicos são as raízes desta equação. 2 – (f 11 + f 22 ) + (f 11 f 22 – f 12 f 22 ) = 0 Para uma função qualquer de duas variáveis para a qual existem as derivadas primeiras e segundas, existe uma

65 Ilustração com Funções Quadráticas (simetria) 3.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

66 1 > 0 : 2 > 0 1 > 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0

67 Exemplo de uma função não quadrática

68 12 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização) Dimensionamento de 2 extratores em série

69 12 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA Variáveis de Projeto: x 1 e x 2 Escrevendo o Lucro em função de x 1 e x 2 x1x1 dcx2cx2 b aL ---= x2x2 x1x1

70 x x dcxcx x b aL ---= Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série)

71 3.3 Função Objetivo Função Bimodal em 2 Dimensões Ponto C : x 1 = 0,6 : x 2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3 Ponto A: x 1 = -1 : x 2 = 1 : f = 0 1 = 10,6 : 2 = 3,4 Ponto B: x 1 = 2 : x 2 = 4 : f = = 37 : 2 = 1

72 3.1 Variáveis de Decisão 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.5 Região Viável 3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.4 Restrições

73 São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo. (b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. Há dois tipos de restrições:

74 Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade Enunciado Formal de um Problema de Otimização Max L(x) = R - C s.a.: W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA h 1 (x) = Q (x o - x) - W y = 0 h 2 (x) = y - k x = 0 g(x) = x - x o 0 Exemplo: otimização do extrator

75 A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

76 3.4 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva) Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

77 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B C é um máximo local g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

78 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B (restrições compatíveis) g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

79 Solução irrestrita: A Solução restrita: impossível ( restrições incompatíveis) g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

80 gxx (),x = Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões) g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : B 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x ,8 0,6 0,4 B A

81 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x ,8 0,6 0,4 B A gxx (),x =+- g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : A

82 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 2 1 B g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução irrestrita : A Solução restrita : B

83 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 1 2 C g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : C

84 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 1 2 g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : A

85 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 1 2 g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução impossível Restrições incompatíveis

86 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 3.5 Região Viável

87 h(x) = 0 g(x) 0 x1x1 x2x2 x3x3 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0) Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. Max f(x) s.a.: h(x) = 0 g(x) 0 Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

88 Região Convexa Qualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região. 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 x 1 g (x) A B 3.5 Região Viável Convexidade A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

89 Região Não - Convexa A reta que une A e B não permanece contida na região 212 g(x)x(x2) =+-- 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 x 1 g (x) B A É o maior desafio da otimização A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização 3.5 Região Viável Convexidade

90 Restrições podem ser lineares: x 1 – 0,02 0 x 2 – x 1 0

91 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

92 4. Localização da Solução Ótima Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo. Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais Localização de valores extremos na faixa x 1 x x x f(x) m m M M M x1x1 x2x2

93 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

94 (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos 5. PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas. À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. Os métodos de resolução podem ser classificados:

95 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

96 ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

97 W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = p AB W y C = p B W p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB 6. MÉTODO ANALÍTICO 6.1 Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator

98 2. y = k x 1. W = Q (x o - x)/y Sequência de Cálculo Restrições de Igualdade !!! x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o Equações ordenadas Variável de Projeto : x

99 Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadas à Função Objetivo (viável em problemas simples) Função Objetivo: L = R - C = p AB W y - p B W x 2. y = k x 1. W = Q (x o - x)/y L = p AB W y - p B W y, W L L = a - b x - c/x xL a = Q (p AB x o + p B / k) = 105 b = p AB Q = c = p B Q x o / k = 0,5

100 0,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,0200, L,R,C $/a x kgAB/kg A L C R x o =0, L o = 15,6 Busca do ponto estacionário: y o = 0,04472 kg AB/kg B; W o = 1.972,3 kgB/h; R o = 35,3 $/h; C o = 19,7 $/h; L o = 15,6 $/h Solução completa do problema: L = a - b x - c/x x b dL dxdx b c x c o =-+=== ,

101 1. Conflitos em Otimização 2. Origem do Problema de Otimização Numérica 3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável 4. Localização da Solução Ótima 5. Problemas e Métodos de Otimização 6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis. OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

102 12 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA 6. MÉTODO ANALÍTICO 6.2 Problemas multivariáveis Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização) Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

103 Modelo Matemático 1. Q (x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 W 1 x 1 y 1 W 2 x 2 y 2 1 * * * 2 * * 3 * * * * 4 * * W 1 x 1 y 1 W 2 x 2 y 2 1 o x x 2 x o 3 x o x x 4 x o Equações Ordenadas 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2 )/ y 2 1. W 1 = Q (x o - x 1 )/ y 1 Ordenação Variáveis de Projeto: x 1 e x 2

104 Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L Buscando o ponto estacionário: Solução completa: y 1 o = 0,05428 kgAB/kgB; W 1 o = kgB/h y 2 o = 0,03684 kgAB/kgB; W 2 o = kgB/h C o = 23,68 $/h; R o = 43,15 $/h; L o = 19,47 $/h L = a – b/x 1 – cx 2 – d x 1 /x 2 L/ x 1 = b/x 1 2 – d/x 2 = 0 L/ x 2 = - c + dx 1 /x 2 2 = 0 x 1 o = (b 2 /cd) 1/3 = 0,01357 x 2 o = (d/b) x 1 2 = 0,00921 L = R – C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2 )/ y 2 1. W 1 = Q (x o - x 1 )/ y 1

105

106

107 ALERTA!

108 12 Q = kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 = kgB/h W 2 = kgB/h x 1 = 0,01357 kgAB/kgA x 2 = 0,00921 kgAB/kgA y 1 = 0,05428 kgAB/kgAy 2 = 0,03824 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 13,87 5,61 19,48 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima Resultado pelo Método Analítico: x 1 e x 2 manipuladas simultaneamente

109 0 2,0 4,0 6,0 8, ,0050,0100,0150,0200,0250,0300,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 X 2 X 1 19,5 0, ,00921 Solução Ótima no Plano Fase

110 Modelo Físico 1. Q* (x o * - x 1 * ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 * = 0 3. Q * (x 1 * - x 2 * ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única) DIMENSIONAMENTO COM G = 0 Q* = kgA/h x o * = 0,02 kg AB/kg A rafinado x 1 * = 0,015 kgAB/kgA W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato W 1 kg B/h Q * = kgA/h y 2 kg AB/kg B ? extrato W 2 kg B/h Q * = kgA/h x 2 * = 0,008 kgAB/kg A W 2 kg B/h ? rafinado 1 2 alimentação

111 Dimensionamento: x 1 * = 0,015 e x 2 * = 0, ,0 4,0 6,0 8, ,0050,0100,0150,0200,0250,0300,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 X 2 X 1 17,8 19,5

112 OTIMIZAÇÃO SEQUENCIAL Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis: (a)otimizar o primeiro estágio x 1 o (b)utilizar o valor ótimo x 1 o na otimização do segundo estágio. Vejamos o resultado...

113 1 Q * x o *x 1 W 1 W 1 y 1 LpQxx pQxx kx Labx c x aQpx p k bpQ c pQx k x c b La abo bo o b bo o o ** ** ** * ** ().,,,$/ Q * x *x W W y LpQxx pQxx kx Labx c x aQpx p k bpQ c pQx k x c b La ab b b b o o ** ** ** * ** (),.,,,$/ Solução ótima do Estágio 1Solução ótima do Estágio 2 imposição!

114 x 1 = 0,01118 kgAB/kgA x 2 = 0, kgAB/kgA 12 Q = kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 = kgB/hW 2 = 843 kgB/h y 1 = 0,04472 kgAB/kgAy 2 = 0,03344 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 O segundo estágio foi otimizado para x 1 = 0,01118 Resultando:

115 A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0,01118 = 0 Obviamente, não é a solução ótima

116 Comparando as duas soluções...

117 Solução Seqüencial Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 Solução Simultânea Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 13,87 5,61 19,48 A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que consome menos solvente mas recupera menos soluto.

118 EXERCÍCIOS


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