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CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 19 de julho de 2013.

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1 CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 19 de julho de 2013

2 REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

3 ENGENHARIA DE PROCESSOS Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial. Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos. PROCESSO ??? Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química

4 Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos ENGENHARIA DE PROCESSOS

5 O conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial. É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!! 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS

6 ANÁLISESÍNTESE SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA PROJETO (a) escolha de um equipamento para cada tarefa. (b) definição da fluxograma do processo. (a) previsão do desempenho do processo. (b) avaliação do desempenho do processo. Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem:

7 SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub- produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

8 O PROJETO DE PROCESSOS É CARACTERIZADO PELA MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

9 Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

10 Aqui, na Síntese, as soluções são fluxogramas

11 EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

12 Modelo 1. Q* (x o * - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q* (x 1 - x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização) Variáveis de Projeto: x 1, x 2 MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE rafinado x 1 kgAB/kg A ? W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato W 1 kg B/h ? Q = kgA/h y 2 kg AB/kg B ? extrato W 2 kg B/h ? Q = kgA/h x 2 kgAB/kgA ? W 2 kg B/h ? rafinado Q* = kgA/h x o * = 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Cada par (x 1,x 2 ) é uma solução fisicamente viável

13 MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE infinidade de soluções viáveis Aqui, na Análise, as soluções são pares de valores x 1,x 2

14 A multiplicidade de soluções de um problema conduz ao conceito de Otimização. Multiplicidade de Soluções Exige a busca da Otimização Solução Ótima através de

15 Fonte da complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química. Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo. ESTE CAPÍTULO !!! Otimização Tecnológica Otimização Estrutural Otimização Paramétrica O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização

16 COMO RESOLVER? INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ÁRVORE DE ESTADOS

17 Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Busca Orientada por Árvore de Estados P ? ? D+E P+F D,EP,F ?? A+B P+C A,BP,C ?? 1PA BC x ? TD 2 PA BC x ? TA P3D EF x ? DM P F 4 D E x ? ME L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x*

18 P ? ? D+E P+F D,E P,F ?? L x 4 10 ? P3 D E F x Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) Solução Ótima:

19 INÍCIO DO CAPÍTULO 5

20 ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5 INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA AVALIAÇÃO ECONÔMICA PRELIMINAR 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 ANÁLISE FINALIDADE DO CAPÍTULO Apresentar (a) conceitos básicos de Otimização, (b) o método analítico (c) dois métodos numéricos simples (d) aplicações em processos químicos.

21 Estudo mais completo de Otimização EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

22 Relembrando o Processo Ilustrativo

23 Fluxograma do Processo Dimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto W6T*6W6T*6 W 10 T * 10 W 13 T 13 W 11 T * 11 W8T*8W8T*8 W * 1 x * 11 T * 1 f 11 f 31 W7T*7W7T*7 W5T*5W5T*5 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x * 14 T 4 f 14 f 24 W 12 T * 12 W 14 T * 14 W 2 x 12 T * 2 f 12 f 32 EXTRATOR Extrat o Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA VdVd AeAe AcAc ArAr t*t* r*r* Alimentação Produto Vapor Benzeno Água W 15 T 15

24 Dimensionamento INCÓGNITAS PARÂMETROS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA V d,A e,A c,A r W 4,W 6,W 8,W 11,W 14 MODELO FÍSICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W1W1 x 11,x 14 T 1,T 2,T 5,T 6,T 7,T 8,T 9,T 10,T 11,T 12,T 14, r, G = 0 (solução única)

25 Resultado do Dimensionamento W 6 =8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 13 = kg/h T 13 = 25 o C W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 3 = kg/h x 13 = 0,002 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,1 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = kg/h W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C W 14 = kg/h T * 14 = 25 o C W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA V d = l * = 0,0833 h r * = 0,60 A e = 124 m 2 A c = 119 m 2 A r = 361 m 2 W 15 = kg/h T 13 = 25 o C

26 Dimensionamento incógnitas L AVALIAÇÃO ECONÔMICA V d,A e,A c,A r variáveis de projeto r,T 9,T 12 OTIMIZAÇÃO W 4,W 6,W 8,W 11,W 14 MODELO FÍSICO variáveis especificadas W1W1 x 11,x 14 T 1,T 2,T 5,T 6,T 7,T 8,T 10,T 11,T 14, r, T9, T12 ? Omitindo r, T 9 e T 12 na lista de Metas de Projeto PARÂMETROS G > 0 Otimização

27 Resultado da Otimização (r, T 9, T 12 ) W 6 =5.857 kg/h T * 6 = 150 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 13 = kg/h T 13 = 25 o C W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 3 = kg/h x 13 = 0,004 T 3 = 25 o C f 13 = 101 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,1 T 4 = 80 o C f 14 = 101 kg/h f 24 = 911 kg/h W 12 = kg/h T * 12 = 27 o C W 9 = kg/h T * 9 = 44 o C W 14 = 911 kg/h T * 14 = 25 o C W 2 = kg/h x 12 = 0,001 T 2 = 25 o C f 12 = 98 kg/h f 32 = kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA V d = l * = 0,0833 h r = 0,506 A e = 84 m 2 A c = 95 m 2 A r = 238 m 2 W 15 = kg/h T 13 = 25 o C

28 AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais OTIMIZAÇÃO MODELO ECONÔMICO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos MODELO FÍSICO Dimensões Calculadas Lucro

29 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

30 FIM DA REVISÃO

31 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização

32 Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema OTIMIZAÇÃO Ação de buscar a solução ótima de um problema Palavra com dois significados:

33 Todo problema de Otimização encerra um conflito. Comentário A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

34 A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes R C L,R,C $/a L o =15, W kg/h W o = 1.973,6 L = R - C Exemplo No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante. - aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional. - aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita. Com o aumento da vazão: Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A (extrato) x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Vazão ótima Lucro máximo

35 ORIGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema: Graus de Liberdade G = V - N - E V : número de variáveis N : número de equações E: número de variáveis especificadas (E = C + M) C = condições conhecidas M = metas de projeto Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações: - metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível y x paralelas - metas estritamente suficientes G = 0 solução única y x - metas insuficientes G > 0 infinidade de soluções viáveis y x coincidentes Solução ótima?

36 Exemplo simples: dimensionamento de um extrator W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Modelo Matemático: 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1 G = 0 (solução única) y = 0,04; W = kg/h (a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta y x

37 Modelo Matemático: 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04. W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y = 0,03 kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) solução impossível! (b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas. Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2 G = - 1 (metas em excesso) Identidade! y x paralelas

38 W kg B/h ? Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Modelo Matemático: 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (infinidade de soluções) (c) Dimensionamento com insuficiência de metas y x coincidentes Solução ótima? Insuficiência de metas gera Graus de Liberdade Otimização

39 EM RESUMO Insuficiência de metas gera graus de liberdade Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização

40 5.1 Conceito de Otimização Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

41 5.2.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação.

42 5.2.2 Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquer que seja a sua área de aplicação Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)

43 São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto INCÓGNITAS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA V d,A e c r VARIÁVEIS DE PROJETO r,T 9,T 12 OTIMIZAÇÃO W 4,W ,W 14 MODELO FÍSICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W 1 x 11,x 14 T 1,T ,T 11,T 14, t O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

44 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7x y x coincidentes Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) G = V – E – N = = 1 V = 7 N = 3 C = 2 M = 1 E = 3 Há que se escolher uma solução

45 Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas. O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações). o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x 7 (variável de projeto). G = V – E – N = = 1 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7x x7px7p

46 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7px7p x 7 m 0,00,20,40,60,81,0 L 7 x p A cada valor de x 7 p corresponde uma solução viável x 1, x 2, x 3 e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto. Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima. Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

47 x1x1 x2x2 x3x3 x4cx4c x5cx5c x6mx6m x7px7p Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima ! y x coincidentes

48 As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não- especificadas. Modelo Matemático 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W) W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Exemplo: otimização do extrator W? x? y?

49 R C L,R,C $/a L o =15, W kg/h W o = 1.973,6 L = R - C xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* Variável de Projeto: W 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 A solução ótima independe da variável de projeto escolhida W o = 1.972,3 x o = 0,01118 y o = 0,04472 L o = 15,6 $/h x o = 0,01118 y o = 0,04472 W o = 1.972,3 L o = 15,6 $/h

50 O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada Escolha feliz ! Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (x o - x)/y Variável de Projeto: x 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* Variável de Projeto: W 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo xo*xo* 1 y x W 2 Q*Q* Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização

51 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) Função Objetivo Restrições Região Viável 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema Critério

52 A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico Critério 0,00,20,40,60,81,0 L Maximização do Lucro x7ox7o 0,00,20,40,60,81,0 L R C L Minimização do Custo (produção fixa Receita constante) x7ox7o

53 Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

54 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Restrições Região Viável 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação Função Objetivo

55 (c ) Convexidade: côncava ou convexa. É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. Pode ser classificada quanto à: (b) Modalidade: unimodal, multimodal. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.

56 5.2.3 Função Objetivo (a) Continuidade Função ContínuaFunção Contínua com descontinuidade na derivada Função Descontínua Função Discreta Os parâmetros da função dependem da faixa de x A função só existe para valores inteiros de x

57 5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

58 Função Bimodal em 1 Dimensão Função Objetivo (b) Modalidade Função Bimodal em 2 Dimensões Incerteza quanto ao ótimo global C, E: máximos locais A: máximo global B, D: mínimos locais F: mínimo global B: mínimo local F: mínimo global C: ponto de sela

59 Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x 1 + a x 2 ] > (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x x1x1 x2x2 (1-a)x 1 + ax 2 y[(1-a) x 1 + a x 2 ] (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 0 a 1

60 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x x1x1 x2x2 (1-a)x 1 + ax 2 y[(1-a) x 1 + a x 2 ] (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 0 a 1 limite inferior para o máximo

61 Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x 1 + a x 2 ] < (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x x1x1 x2x2 (1-a)x 1 + ax 2 y[(1-a) x 1 + a x 2 ] (1-a) y(x 1 ) + a y(x 2 ) 0 a 1 limite superior para o mínimo

62 Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada da função no ponto extremo.

63 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos Equação Característica que são as raízes da sua

64 Matriz Hessiana: Equação Característica: Os Valores Característicos são as raízes desta equação. 2 – (f 11 + f 22 ) + (f 11 f 22 – f 12 f 22 ) = 0 Para uma função qualquer de duas variáveis

65 Ilustração com Funções Quadráticas (simetria) Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

66 1 > 0 : 2 > 0 1 > 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0

67 UMA FUNÇÃO NÃO-QUADRÁTICA

68 Modelo Físico: 1. Q* (x o * - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q* (x 1 - x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização) rafinado x 1 kgAB/kg A ? W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato W 1 kg B/h ? Q = kgA/h y 2 kg AB/kg B ? extrato W 2 kg B/h ? Q = kgA/h x 2 kgAB/kgA ? W 2 kg B/h ? rafinado Q* = kgA/h x o * = 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Dimensionamento de 2 extratores em série

69 x x dcxcx x b aL ---= Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série)

70 5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Bimodal em 2 Dimensões Ponto C : x 1 = 0,6 : x 2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3 Ponto A: x 1 = -1 : x 2 = 1 : f = 0 1 = 10,6 : 2 = 3,4 Ponto B: x 1 = 2 : x 2 = 4 : f = = 37 : 2 = 1

71 5.2.1 Variáveis de Decisão Critério Função Objetivo Região Viável 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação Restrições

72 5.2.3 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo. (b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. Há dois tipos de restrições:

73 Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade Enunciado Formal de um Problema de Otimização Max L(x) = R - C s.a.: W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA h 1 (x) = Q (x o - x) - W y = 0 h 2 (x) = y - k x = 0 g(x) = x - x o 0 Exemplo: otimização do extrator

74 A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

75 5.2.3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva) Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

76 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B C é um máximo local g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

77 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B (restrições compatíveis) g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

78 Solução irrestrita: A Solução restrita: impossível ( restrições incompatíveis) g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0

79 gxx (),x = Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões) g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : B 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x ,8 0,6 0,4 B A

80 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x ,8 0,6 0,4 B A gxx (),x =+- g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : A

81 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 2 1 B g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução irrestrita : A Solução restrita : B

82 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 1 2 C g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : C

83 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 1 2 g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : A

84 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2x2 x1x1 0,4 0,6 0,8 1,0 A g (x) 1 2 g 3 (x) = x 1 0 g 4 (x) = x 2 0 Solução impossível Restrições incompatíveis

85 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições 5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação Região Viável

86 5.2.4 Região Viável h(x) = 0 g(x) 0 x1x1 x2x2 x3x3 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0) Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. Max f(x) s.a.: h(x) = 0 g(x) 0 Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

87 Região Convexa Qualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região. 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 x 1 g (x) A B Região Viável Convexidade A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

88 Região Não - Convexa A reta que une A e B não permanece contida na região 212 g(x)x(x2) =+-- 0,00,51,01,52,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 x 1 g (x) B A Região Viável Convexidade É o maior desafio da otimização A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização

89 Restrições podem ser lineares: x 1 – 0,02 0 x 2 – x 1 0

90 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.3 Localização da Solução Ótima

91 Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo. Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais Localização de valores extremos na faixa x 1 x x x f(x) m m M M M x1x1 x2x2

92 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.4 Problemas e Métodos de Otimização

93 (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos 5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas. À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. Os métodos de resolução podem ser classificados:

94 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

95 ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

96 W kg B/h Q = kgA/h rafinado y kg AB/kg B x o = 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (x o - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = p AB W y C = p B W p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB 5.5 MÉTODO ANALÍTICO Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator

97 2. y = k x 1. W = Q (x o - x)/y Sequência de Cálculo Restrições de Igualdade !!! x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o Equações ordenadas Variável de Projeto : x

98 Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadas à Função Objetivo (viável em problemas simples) Função Objetivo: L = R - C = p AB W y - p B W x 2. y = k x 1. W = Q (x o - x)/y L = p AB W y - p B W y, W L L = a - b x - c/x xL a = Q (p AB x o + p B / k) = 105 b = p AB Q = c = p B Q x o / k = 0,5

99 0,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,0200, L,R,C $/a x kgAB/kg A L C R x o =0, L o = 15,6 Busca do ponto estacionário: y o = 0,04472 kg AB/kg B; W o = 1.972,3 kgB/h; R o = 35,3 $/h; C o = 19,7 $/h; L o = 15,6 $/h Solução completa do problema: L = a - b x - c/x x b dL dxdx b c x c o =-+=== ,

100 12 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA 5.5 MÉTODO ANALÍTICO Problemas multivariáveis Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização) Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

101 5.5 MÉTODO ANALÍTICO Problemas multivariáveis Modelo Matemático 1. Q (x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 W 1 x 1 y 1 W 2 x 2 y 2 1 * * * 2 * * 3 * * * * 4 * * W 1 x 1 y 1 W 2 x 2 y 2 1 o x x 2 x o 3 x o x x 4 x o Equações Ordenadas 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2 )/ y 2 1. W 1 = Q (x o - x 1 )/ y 1 Ordenação Variáveis de Projeto: x 1 e x 2

102 Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L Buscando o ponto estacionário: Solução completa: y 1 o = 0,05428 kgAB/kgB; W 1 o = kgB/h y 2 o = 0,03684 kgAB/kgB; W 2 o = kgB/h C o = 23,68 $/h; R o = 43,15 $/h; L o = 19,47 $/h L = a – b/x 1 – cx 2 – d x 1 /x 2 L/ x 1 = b/x 1 2 – d/x 2 = 0 L/ x 2 = - c + dx 1 /x 2 2 = 0 x 1 o = (b 2 /cd) 1/3 = 0,01357 x 2 o = (d/b) x 1 2 = 0,00921 L = R – C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2 )/ y 2 1. W 1 = Q (x o - x 1 )/ y 1

103

104

105 ALERTA!

106 12 Q = kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 = kgB/h W 2 = kgB/h x 1 = 0,01357 kgAB/kgA x 2 = 0,00921 kgAB/kgA y 1 = 0,05428 kgAB/kgAy 2 = 0,03824 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 13,87 5,61 19,48 DIMENSIONAMENTO ÓTIMO Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima

107 0 2,0 4,0 6,0 8, ,0050,0100,0150,0200,0250,0300,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 X 2 X 1 19,5 0, ,00921

108 Modelo Físico 1. Q* (x o * - x 1 * ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 * = 0 3. Q * (x 1 * - x 2 * ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única) DIMENSIONAMENTO COM G = 0 Q* = kgA/h x o * = 0,02 kg AB/kg A rafinado x 1 * = 0,015 kgAB/kgA W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato W 1 kg B/h Q * = kgA/h y 2 kg AB/kg B ? extrato W 2 kg B/h Q * = kgA/h x 2 * = 0,008 kgAB/kg A W 2 kg B/h ? rafinado 1 2 alimentação

109 Dimensionamento: x 1 * = 0,015 e x 2 * = 0, ,0 4,0 6,0 8, ,0050,0100,0150,0200,0250,0300,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 X 2 X 1 17,8 19,5

110 OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi resolvido. Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis: (a)otimizar o primeiro estágio (b)utilizar o valor ótimo x 1 o na otimização do segundo.

111 1 Q * x o *x 1 W 1 W 1 y 1 LpQxx pQxx kx Labx c x aQpx p k bpQ c pQx k x c b La abo bo o b bo o o ** ** ** * ** ().,,,$/ Q * x *x W W y LpQxx pQxx kx Labx c x aQpx p k bpQ c pQx k x c b La ab b b b o o ** ** ** * ** (),.,,,$/ Solução ótima do Estágio 1Solução ótima do Estágio 2 imposição!

112 x 1 = 0,01118 kgAB/kgA x 2 = 0, kgAB/kgA 12 Q = kgA/h x o = 0,02 kgAB/kgA W 1 = kgB/hW 2 = 843 kgB/h y 1 = 0,04472 kgAB/kgAy 2 = 0,03344 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 O segundo estágio foi otimizado para x 1 = 0,01118 Resultando:

113 A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0,01118 = 0 Obviamente, não é a solução ótima

114 Comparando as duas soluções...

115 Solução Seqüencial Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 Solução Simultânea Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 13,87 5,61 19,48 A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que consome menos solvente mas recupera menos soluto.

116 Problemas Restritos [h i (x), g i (x)] Método dos Multiplicadores de Lagrange 1. Formar o Lagrangeano do problema: L(x,, ) = f(x) + i h i (x) + j [g j (x) - j 2 ] i : multiplicadores de Lagrange i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade) 2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano. 3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

117 Exemplo: Min f(x) = (x 1 – 1) 2 + (x 2 – 1) 2 s.a.: g 1 (x) = x x 2 2 – 0,25 0 g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 0,5 restrição curvas de nível da função objetivo 1 1 x1x1 x2x2

118 Exemplo: Min f (x) = (x 1 – 1) 2 + (x 2 – 1) 2 s.a.: g 1 (x) = x x 2 2 – 0,25 0 g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 Considerar apenas g 1 (x) e depois eliminar valores negativos de x 1 e x 2 L (x,, ) = f(x) + i h i (x) + j [g j (x) - j 2 ] L (x,, ) = (x 1 – 1) 2 + (x 2 – 1) 2 + [x x 2 2 – 0, ] Formar o Lagrangeano:

119 L (x,, ) = (x 1 – 1) 2 + (x 2 – 1) 2 + [x x 2 2 – 0, ] L / x 1 = 2 x 1 – x 1 = 0 x 1 = 1/(1 + ) (1) L / x 2 = 2 x 2 – x 2 = 0 x 2 = 1/(1 + ) (2) L / = x x 2 2 – 0, = 0 (3) L / = 2 = 0 (4) A Eq. (4) é satisfeita para: 0,5 restrição x 1 x 2 curvas de nível da função objetivo 1 1 = 0 (solução irrestrita): = 0 (folga zero, fronteira da região): (1) x 1 = 1 ; (2) x 2 = 1 (1) e (2) em (3) x 1 = x 2 = 0,35

120 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização Variáveis de Decisão (Manipuladas) Critério Função Objetivo Restrições Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

121 5.6 MÉTODOS NUMÉRICOS - Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo. (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior). São métodos de busca por tentativas. - Robustez: resolver uma variedade maior de problemas. Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço. - Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo. Os métodos podem ser:

122 Motivação para o uso de métodos numéricos 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS Problemas Univariáveis W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C Dimensionamento de um trocador de calor

123 Modelo Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização) Avaliação Econômica FLUXOGRAMA W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C C T = C cap + C util C util = (8.500)(5x10 -5 )W 3

124 Avaliação Econômica C T = C cap + C util C util = (8.500)(5x10 -5 )W 3 Modelo Ordenado Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo Variável de Projeto: T 4

125 W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C Limites de T 4 : 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.

126 MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL (b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido). (a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável. (c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos. Hipótese: a Função Objetivo é unimodal Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.

127 Dois experimentos por ciclo Três experimentos por ciclo Exemplos (Problemas de Máximo) intervalos eliminados

128 Casos de eliminação de 50% do intervalo Casos de eliminação de 75% do intervalo

129 MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Onde posicionar x i e x s ? Qual é esta fração? Esses pontos (x i e x s ) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (L i e L s ) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs

130 Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos) 1 Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor A razão dos seus lados é /1 =

131 Removendo-se um quadrado, 1 1- sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /

132 1 1- O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

133 Retângulo Áureo 1 0,618 0,382 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a 61,8% do comprimento anterior.

134 Retângulo Áureo 1 0,618 0,382 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618 N do comprimento original. Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do comprimento original.

135 MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (x i e x s ) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (L i e L s ) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs 0,382 0,618 = L s – L i x i = L i + 0,382 x s = L s - 0,382

136 Algoritmo da Seção Áurea ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta Tolerância

137 Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo Eliminação de Região Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto FiFi LsLs LiLi xixi xsxs xixi FsFs LsLs LiLi xsxs FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs FiFi LsLs LiLi xixi xsxs FsFs x s L s x i x s F i F s x i L i x s x i F s F i Inicialização = L s – L i x i = L i + 0,382 x s = L s - 0,382 FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs 0,382 0,618

138 EXEMPLO W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C Dimensionamento de um trocador de calor Cp 1 = 1,35 kcal/kg o C Cp 3 = 1,00 kcal/kg o C U = 0,75 kcal / m 2 o C

139 Modelo Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização) Avaliação Econômica FLUXOGRAMA W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C C T = C cap + C util C util = (8.500)(5x10 -5 )W 3

140 Avaliação Econômica C T = C cap + C util C util = (8.500)(5x10 -5 )W 3 Modelo Ordenado Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo Variável de Projeto: T 4

141 W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C Limites de T 4 : 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T 4 = 1)

142 PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

143 iiisss NLxFxFL 21547, , , , , ,53 15 LiLi 100 LsLs xixi 47,47 xsxs 67, LiLi xixi 467,5379, ,47 Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto xsxs 79, Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta

144 VER PROGRAMA AUREA.XLS

145 issiis NLxFxFL 21547,476776,63267,535073, ,535073,825347,4779,934510, ,53 87,594293,36467,5379,934510, ,47 87,594293,36 579,9392,334222, ,07 95,264224,39 687,5992,334222, ,42 92,334222,96 787,5990,524242,0995,2612,40 92,334222,96 890,5293,454217,6895,267,66 93,454217,68 992,3394,144217,6395,264,74 94,574219, ,4594,144217,6395,262,93 Minimização do Custo do Trocador de Calor Tolerância: 1,8 o C (1% do intervalo inicial) T 4 o = 93,88 A o = 17 ft 2 W 3 o = lb/h 93,4594,14 1,11 93,884217, ,4594,144217,6394,571,81 93,884217,32

146 FUNÇÕES MULTIMODAIS

147 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS Procedimento Geral: (c ) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (a) seleção de um ponto inicial (base). Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão. Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex - Hooke & Jeeves Problemas Multivariáveis (d) finalização

148 Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Senão: reduzir os incrementos Explorar, Progredir e Chegou ao Ótimo: ver em seguida Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (estamos nas proximidades do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

149 Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Base: o centro da região de busca (na falta de maiores informações). Tolerância: o menor intervalo de incerteza admissível para cada variável Incremento: a busca deve ser grosseira, porém rápida no início e lenta e minuciosa nas proximidades do ótimo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerância, ou mais, para ser reduzido à metade à medida que se aproxima do ótimo.

150 Exploração Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i ) de cada direção (x i ) ao redor da Base. Base ? - 1 ? - 2 ? + 1 ? + 2 A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo

151 Exploração Base S - 1 I - 2 S + 2 Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. 0,00,20,40,60,81,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 y x S: Sucesso I: Insucesso buscando máximo Sucesso desnecessário

152 Exploração Base S - 1 I - 2 S + 2 O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.

153 Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração

154 x1x1 x2x2 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo 10Base Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa + 2

155 x1x1 x2x Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo 10Base Direção x 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa + 1

156 x1x1 x2x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base 12Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo 10Base Direção x 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa Insucesso: permanecer na Base

157 x1x1 x2x2 Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo Base Direção x 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa + 2

158 x1x1 x2x2 Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo Base 18 Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base + 2 Direção x 1 Direção x 2

159 x1x1 x2x2 Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo Base Insucesso: permanecer na Base + 2 Direção x 1 Direção x Insucesso: permanecer na Base

160 x1x1 x2x2 Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo Base Direção x 1 Direção x 2 Insucesso: permanecer na Base 8 15 Unimodalidade: dispensa + 2

161 x1x1 x2x2 Insucesso: permanecer na Base Direção provável do ótimo Base Direção x 1 Direção x 2 Insucesso: permanecer na Base 8 Sucesso: deslocar a Base Insucesso: permanecer na Base 9

162 x1x1 x2x2 Insucesso: permanecer na Base Base Direção x 1 Direção x 2 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 9 5 A Base deve estar próxima do ótimo !

163 Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

164 A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

165 x1x1 x2x2 Reduzir os incrementos 1 = 1 /2, 2 = 2 /2 Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Base > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo

166 x1x1 x2x2 Reduzir os incrementos 1 = 1 /2, 2 = 2 /2 Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Base > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo

167 x1x1 x2x2 1 < 1 e 2 < Base Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo

168 Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Senão: reduzir os incrementos Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

169 x1x1 x2x2 Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão 10 Base Resultado da Exploração Progredir até ocorrer um Insucesso Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão Insucesso! Permanecer na Base (25) Exploração a partir da Base (25) com 1 e

170 x1x1 x2x2 Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão Base Resultado da Exploração Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão Insucesso! Permanecer na Base (25) Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2.

171 Funções Unimodais O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial. Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

172 O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados. Funções Multimodais (a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais. (b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes f (x) = (x x 2 – 11) 2 + (x x 1 – 7) 2

173 Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Senão: reduzir os incrementos Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar

174 'HJ 18JUL90-23MAI96 'Executa o Método de Hooke & Jeeves. ' ' Programa Principal ' EscolherUmaBase DO ExplorarAsVizinhancasDaBase '(Buscando a direção provável do ótimo). IF HouveSucessoEmAlgumaDirecao THEN ProgredirAteUmInsucesso '(Na direção provável do ótimo). ELSE IF ChegouAoOtimo THEN EXIT DO ELSE ReduzirTodosOsIncrementos END IF LOOP Finalizar

175 DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS EMPREGADO POR SOFTWARES COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. Mas exige um procedimento de otimização: - função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas - variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

176 Exemplo: Extrator T o C W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = kgA/h x o *= 0,02 kg AB/kg A To oCTo oC Ts oCTs oC T o C x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008| T o C W = kgB/h rafinado y = 0,032kg AB/kg B r = 0,60 extrato W = kgB/h Q* = kgA/h x o *= 0,02 kg AB/kg A To oCTo oC Ts oCTs oC T o C x* = 0,008 kgAB/kg A alimentação solvente Normal Simulações Sucessivas

177 Exemplo: Extrator T o C W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = kgA/h x o *= 0,02 kg AB/kg A To oCTo oC Ts oCTs oC T o C x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008| Simulações Sucessivas 1. Q (x o – x) – W y = 0 2. y – k x = 0 x = Q x o / (Q + k W ) Por Seção Áurea, 0 < W < W = 3.750

178 Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A = 265,6 m 2 T 2 * = 25 o C W 3 = kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A ?? T 2 * ??? W 3 ?? T 3 * = 15 o C T 4 * = ??? 1.T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp Q – U A = 0 Normal Simulações Sucessivas Q Ciclo!

179 Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A ?? T 2 * ??? W 3 ?? T 3 * = 15 o C T 4 * = ??? 1.T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp Q – U A = 0 Simulações Sucessivas Q Ciclo! Substituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta: a = T1 – T3 b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 3. Q = a (e b – 1) / [ e b / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 1.T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp 3 4.

180 Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A ?? T 2 * ??? W 3 ?? T 3 * = 15 o C T 4 * = ??? a = T1 – T3 b = U A [ 1 / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 3. Q = a (e b – 1) / [ e b / W1 Cp1 – 1 / W3 Cp3] 1.T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp 3 4. Otimização Por Hooke&Jeeves 0 < A < < W 3 < FO = |T 2 – 25| + |T 4 – 30|

181 REVISÃO DE SEÇÃO ÁUREA

182 MÉTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIÁVEL (b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (o intervalo viável, de incerteza, é reduzido). (a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável. Hipótese: a Função Objetivo é unimodal

183 Dois experimentos por ciclo Três experimentos por ciclo Exemplos (Problemas de Máximo) intervalos eliminados

184 Casos de eliminação de 50% do intervalo Casos de eliminação de 75% do intervalo

185 (c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos. Então, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como solução do problema.

186 MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Onde posicionar x i e x s ? Qual é esta fração? Esses pontos (x i e x s ) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir simetria em relação aos limites do intervalo (L i e L s ) (b) permitir a eliminação da mesma fração do intervalo vigente em todas as iterações.. FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs

187 Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos) 1 Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor A razão dos seus lados é /1 =

188 Removendo-se um quadrado, 1 1- sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /

189 1 1- O Retângulo Áureo é aquele cuja razão dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivos Esta é a Razão Áurea dos lados de um retângulo

190 Retângulo Áureo 1 0,618 0,382 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Assim, a cada remoção de um quadrado o lado maior do retângulo perde 38,2% do seu comprimento ficando reduzido a 61,8% do comprimento anterior.

191 Retângulo Áureo 1 0,618 0,382 0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618 Após a remoção de N quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,618 N do comprimento original. Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do comprimento original.

192 MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (x i e x s ) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (L i e L s ) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs 0,382 0,618 = L s – L i x i = L i + 0,382 x s = L s - 0,382

193 Algoritmo da Seção Áurea ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta Tolerância

194 Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo Eliminação de Região Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto FiFi LsLs LiLi xixi xsxs xixi FsFs LsLs LiLi xsxs FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs FiFi LsLs LiLi xixi xsxs FsFs x s L s x i x s F i F s x i L i x s x i F s F i Inicialização = L s – L i x i = L i + 0,382 x s = L s - 0,382 FiFi FsFs LsLs LiLi xixi xsxs 0,382 0,618

195 EXEMPLO W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C Dimensionamento de um trocador de calor Cp 1 = 1,35 kcal/kg o C Cp 3 = 1,00 kcal/kg o C U = 0,75 kcal / m 2 o C

196 Modelo Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização) Avaliação Econômica FLUXOGRAMA W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C C T = C cap + C util C util = (8.500)(5x10 -5 )W 3

197 Avaliação Econômica C T = C cap + C util C util = (8.500)(5x10 -5 )W 3 Modelo Ordenado Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo Variável de Projeto: T 4

198 W 1 = kg/h T 1 = 100 o C T 2 = 50 o C W 3 kg/h ? T4 oCT4 oC A m 2 ? T 3 = 15 o C Limites de T 4 : 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T 4 = 1)

199 PROGRAMA Áurea.bas e Áurea.xls Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

200 iiisss NLxFxFL 21547, , , , , ,53 15 LiLi 100 LsLs xixi 47,47 xsxs 67, LiLi xixi 467,5379, ,47 Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto xsxs 79, Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta

201 VER PROGRAMA AUREA.XLS

202 issiis NLxFxFL 21547,476776,63267,535073, ,535073,825347,4779,934510, ,53 87,594293,36467,5379,934510, ,47 87,594293,36 579,9392,334222, ,07 95,264224,39 687,5992,334222, ,42 92,334222,96 787,5990,524242,0995,2612,40 92,334222,96 890,5293,454217,6895,267,66 93,454217,68 992,3394,144217,6395,264,74 94,574219, ,4594,144217,6395,262,93 Minimização do Custo do Trocador de Calor Tolerância: 1,8 o C (1% do intervalo inicial) T 4 o = 93,88 A o = 17 ft 2 W 3 o = lb/h 93,4594,14 1,11 93,884217, ,4594,144217,6394,571,81 93,884217,32


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