Equações do 1o grau com duas incógnitas

Apresentação em tema: "Equações do 1o grau com duas incógnitas"— Transcrição da apresentação:

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2 Equações do 1o grau com duas incógnitas
Exemplo: Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos em um jogo. Pontos de Raul: x Portanto: então: x + y = 20 Pontos de Felipe: y Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas, x e y, quando pode ser escrita na forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Exemplo: 4x – 5y = 6, pois é equivalente a 4x + (–5)y = 6 (a = 4, b = –5 e c = 6)

3 Determinação de soluções de equações do 1o grau com duas incógnitas
Exemplo: Veja como podemos determinar pares ordenados que são soluções da equação 5x – 2y = 4. Fazendo x = 2 Fazendo y = 0 5 . (2) – 2y = 4 5x – 2 . (0) = 4 10 – 2y = 4 5x + 0 = 4 – 2y = 4 – 10 5x = 4 – 2y = – 6 x = (– 1) . – 2y = – 6 . (– 1) 2y = 6 Logo, o par ordenado é y = = 3 (x, y) Logo, o par ordenado é (2, 3).

4 Gráfico de uma equação do 1o grau com duas incógnitas
Exemplo: vamos determinar alguns pares ordenados de números racionais que são soluções da equação 2x + y = 1 e representá-los graficamente. (−2, 5) eixo y x = 2, temos y = – 3 (2, – 3) x = 1, temos y = – 1 (1, – 1) (0 ,1) eixo x (1 ,−1) x = 0, temos y = 1 (0, 1) (2 ,−3) x = – 2, temos y = 5 (–2, 5) Os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas estão sempre alinhados, isto é, estão todos sobre uma mesma reta.

5 Na partida de vôlei, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos, porém
Raul marcou o triplo dos pontos de Felipe. Pontos de Raul: x Portanto: 3x = y x + y = 20 Pontos de Felipe: y Como as duas equações fazem parte de um mesmo sistema, então podemos escrever: x + y = 20 3x = y Resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas significa procurar as soluções comuns às duas equações.

6 Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas
incógnitas: método da substituição isolamos y 2x + y = 270 I 2x + y = 270 3x + 2y = 460 II y = 270 – 2x y = 270 – 2x I I em II 3x + 2y = 460 II 3x + 2(270 – 2x) = 460 3x – 4x = 460 3x – 4x = 460 – 540 – 1x = – 80 substituindo em I x = 80 y = 270 – y = 270 – 160 y = 110

7 Resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas
incógnitas: método de comparação Link para ambiente online isolamos o y nas duas equações x + y = 5 2x – y = 4 I II y = 5 – x y = 2x – 4 I II comparamos as equações y = 5 – x I 5 – x = 2x – 4 y = 2x – 4 II –2x – x = – 4 – 5 –3x = – 9 3x = 9 substituímos em I ou II x = = 3 y = 5 – 3 y = 2

8 Inequações As desigualdades que contêm letras que representam números desconhecidos são chamadas de inequações. Exemplos: x + y ≠ 8 n2 ≤ x ≥ 5 x > 2 2y < 25 Soluções de uma inequação Vamos resolver, por exemplo, a inequação x ≤ 4 nos conjuntos dos , , . Nos naturais : Nos racionais : S = {0, 1, 2, 3, 4} S = {x racional, tal que x ≤ 4} Nos inteiros : S = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

9 Inequações do 1o grau com uma incógnita
Chamamos de inequações do 1o grau com uma incógnita a toda inequação que pode ser escrita, com a ≠ 0, em uma das seguintes formas: ax > b ou ax < b ou ax ≥ b ou ax ≤ b. Resolução das inequações do 1o grau com uma incógnita no conjunto dos números racionais Exemplo: – 3 – 2x < 11 3 + 5(– 4 – x) ≤ x – 1 + 2x + 3 – 3 – 2x < 3 – 20 – 5x ≤ x – 1 + 2x – 2x < 14 – 5x – x – 2x ≤ – – 3 (– 1) . – 2x < 14 . (– 1) (– 1) . – 8x ≤ (– 1) 2x > – 14 8x ≥ – 16 > – x ≥ – x > – 7 x ≥ – 2

10 Sistemas de inequações do 1o grau com uma incógnita
Exemplo: x + 8 2x 15 Perímetro = 2x + (x + 8) + 15 = 3x + 23 Quais são os valores de x para que esse perímetro seja maior do que 32 m e menor do que ou igual a 41 m ? 3x + 23 > 32 32 < 3x + 23 ≤ 41 ou 3x + 23 ≤ 41

11 Resolvemos cada inequação separadamente e depois procuramos as
soluções comuns. 3x + 23 > 32 3x + 23 > 32 3x + 23 ≤ 41 3x + 23 ≤ 41 3x > 32 – 23 3x ≤ 41 – 23 3x > 9 3x ≤ 18 > ≤ x > 3 x ≤ 6 Devemos ter, ao mesmo tempo, x > 3 e x ≤ 6 3 6 3 < x ≤ 6

12 Ângulos A ideia de ângulo
Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas são seus lados, e o ponto de origem das duas semirretas é seu vértice. Exemplo: P R M USELMAN / F1 ONLINE / DIOMEDIA PETR JILEK / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Ângulo: ou ou . Lados: e Vértice: R

13 Tipos de ângulos Ângulo raso Ângulo reto Ângulo nulo Ângulo agudo
B C Ângulo raso Ângulo reto A B Ângulo nulo CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA P Ângulo agudo R Ângulo obtuso E R P A Q B B O F

14 Posições relativas de duas retas em um plano
q b a a e b são retas paralelas (a // b) r e s são retas concorrentes perpendiculares (r s) p e q são retas concorrentes oblíquas (p q)

15 Medida de ângulo de volta de volta de volta 1 volta completa volta de volta Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.

16 Submúltiplos do grau: minuto e segundo
1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’. 1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’. 1º = 60’ Portanto: 1’ = 60’’ Exemplos: 0,5º = 30’ 50,5º = 50º + 0,5º = 50º 30’ 72’’ = 60’’ + 12 = 1’12’’

17 Operações com medidas de ângulos
Adição de medidas de ângulos: Exemplos: 28º 11’ 35’’ º 40’ 21’’ 3º 11’ 5’’ º 55’ 57’’ 38º 51’ 56” 8º 66’ 62” 8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’ 9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º Subtração de medidas de ângulos: Exemplos: 89º 60’’ 12º 54’ 59’’ – º 2’ 30’’ 90º – (2º 10’) 90º 0’ – º 10’ 5º 52’ 29” 87º 50’

18 Multiplicação de número natural por medida de ângulo:
Exemplos: 7º 2’ 20’’ × 2 2º 30’ 32’’ × 14º 4’ 40’’ 4º 60’ 64’’ 4º 61’ 4’’ 5º 1’ 4’’ Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero: Exemplos: (34º 3’ 15’’) : 3 (12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos 34º 3’ 15’’ = 33º 63’ 15’’ (33º 63’ 15’’) : 3 = 11º 21’ 5’’

19 Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma
Ângulos congruentes Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma medida. B G C A F Dizemos: E m( ) = 20º m( ) = 20º Ângulos adjacentes A Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um lado comum ( ), e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns. O B C

20 Ângulos complementares e ângulos suplementares
50º A 40º B Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, dizemos que eles são ângulos complementares. 40º + 50º = 90º 70º D 110º C Quando a soma das medidas de dois ângulos é 180º, dizemos que eles são ângulos suplementares. 70º + 110º = 180º

21 Ângulos adjacentes e suplementares
Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta. C A B O Adjacentes pela posição de um em relação ao outro. Suplementares porque a soma de suas medidas é 180º.

22 Ângulos opostos pelo vértice
= = CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA Conclusão: duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

23 Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais. A A B C M B C M

24 Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal
CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA As medidas de , , e são mantidas pelos correspondentes , , e , isto é, a = e, b = f, c = g, d = h.

25 Polígonos Polígonos e seus ângulos
F G H Vamos analisar os seguintes polígonos: A B C D E Polígono: Quadrilátero (ABCD) Polígono: Triângulo (EFG) Ângulo interno é formado por um lado e pelo prolongamento do outro. Ângulos internos: , e . , , e : ângulos internos : um dos ângulos externos. : um dos ângulos externos.

26 Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos
Triângulo – soma das medidas de seus ângulos internos C A B Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180º.

27 Quadrilátero convexo – soma das medidas de seus ângulos internos
B C B m( ) + m( ) + m( ) + m( ) = 360º Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos quatros ângulos internos é igual a 360º.

28 Polígono convexo – soma das medidas de seus ângulos internos
Observe: Triângulo Quadrilátero Pentágono 3 lados 4 lados 5 lados Soma das medidas dos ângulos internos é º Soma das medidas dos ângulos internos é º Soma das medidas dos ângulos internos é º A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por: (n – 2) . 180º

29 Paralelogramo – propriedades de seus ângulos internos
É todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Em qualquer paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes (têm medidas iguais) e dois ângulos não opostos são suplementares (soma 180º). a + b = 180º b + c = 180º c b c + d = 180º d + a = 180º b = d a d a = c

30 Recebem esse nome porque têm todos os lados com medidas iguais
Polígonos regulares Recebem esse nome porque têm todos os lados com medidas iguais (congruentes) e também todos os ângulos internos com medidas iguais (congruentes). Links para ambiente online Triângulo regular ou triângulo equilátero Quadrilátero regular ou quadrado Pentágono regular Hexágono regular Octógono regular