A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

1/137 Análise Estatística Variáveis Aleatórias. 2/137 Variável çCaracterística que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "1/137 Análise Estatística Variáveis Aleatórias. 2/137 Variável çCaracterística que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo."— Transcrição da apresentação:

1 1/137 Análise Estatística Variáveis Aleatórias

2 2/137 Variável çCaracterística que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado.

3 3/137 Variáveis çQualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica. 4 Exemplo: sexo, grau de instrução etc. çQuantitativas - O resultado é um número. 4 Exemplo: idade, altura etc.

4 4/137 Variável Aleatória çQuando os resultados de uma variável são determinados pelo acaso, trata-se de uma variável aleatória. Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance. Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)

5 5/137 Exemplos çSelecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória. çSorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.

6 6/137 Exemplo çLança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa). çFace obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória. çNúmero de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.

7 7/137 Distribuição de Probabilidades çA distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

8 8/137 Exercício çLança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

9 9/137 Distribuição de Probabilidades ResultadosProbabilidade Possíveis 00,5 10,5 Total 1

10 10/137 Distribuição de Probabilidades kP(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total ,50

11 11/137 Exercício çConsiderando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

12 12/137 U Probabilidade Regra da Multiplicação çA probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B)

13 13/137 Probabilidade çEvento - Qualquer situação ou resultado que nos interessa. çDois eventos são independentes se a ocorrência de um não alterar a probabilidade de ocorrência do outro.

14 14/137 Exercício çConsiderando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

15 15/137 Exercício Resultados numéricos Resultados possíveis Coroa Cara Coroa Coroa Cara Cara Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 1 o lanç. 2 o lanç.

16 16/137 Diagrama de Árvore cara coroa cara coroa 1 o lançamento cara coroa 2 o lançamento 0,5 P = 0,25

17 17/137 Distribuição de Probabilidades ResultadosProbabilidade Possíveis 00,25 10,50 20,25 Total 1

18 18/137 Probabilidade Regra da Adição çA probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das probabilidades individuais. P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

19 19/137 Probabilidade çDois eventos são mutuamente excludentes, ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro. 4 Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.

20 20/137 Exercício Resultados numéricos Resultados possíveis Coroa Cara Coroa Coroa Cara Cara Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 1 o lanç. 2 o lanç. Soma = 1

21 21/137 Distribuição de Probabilidades kP(X=k) 00,25 10,50 20,25 Total 1 0, ,25

22 22/137 Exercício çUm grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.

23 23/137 Exercício Resultados numéricos o item 2 o item Resultados possíveis Bom Bom Def. Def. Bom Def. Probabilidade 0,4 x 0,4 = 0,16 0,4 x 0,6 = 0,24 0,6 x 0,4 = 0,24 0,6 x 0,6 = 0,36

24 24/137 Exercício kP(X=k) 00,16 10,48 20,36 Total 1 0, ,36 0,16

25 25/137 Exercício çUm grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

26 26/137 Exercício Res. num Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

27 27/137 0, ,216 0,432 0,288 Exercício kP(X=k) 00,064 10,288 20,432 30,216 Total 1

28 28/137 çO valor esperado, ou esperança, ou média, de uma distribuição de probabilidades corresponde à média dos resultados da variável aleatória quando o número de observações for muito grande. Valor Esperado

29 29/137 E(X) = x = (x i.p i ) Valor Esperado XP(X) x 1 p 1 x 2 p 2... x n p n Total 1

30 30/137 E(X) = x = (x i.p i ) Variância XP(X) x 1 p 1 x 2 p 2... x n p n Total 1 VAR(X) = x = p i.(x i - x ) 2

31 31/137 Exercício - 1 çUm grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.

32 32/137 Exercício kP(X=k) 00,064 10,288 20,432 30,216 Total 1 x = itens x = item

33 33/137 U Regra da Multiplicação çA probabilidade de que dois eventos não independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A) Probabilidade Probabilida- de condi- cional

34 34/137 Probabilidade Condicional çP(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido.

35 35/137 Exemplo çUm lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peças do lote, qual é a probabilidade de serem retiradas: 4 a) duas peças boas? 4 b) duas peças defeituosas?

36 36/137 Exemplo P(B) = P(D) = 4 20 B - Peça Boa D - Peça Defeituosa

37 37/137 Exemplo Se a primeira peça for: BoaDefeituosa P(B/B) = 15 / 19 P(D/B) = 4 / 19 P(B/D) = 16 / 19 P(D/D) = 3 / 19

38 38/137 Exemplo a) P(BB) = a) P(DD) = = 0,6316 ou 63,16% = 0,0316 ou 3,16%

39 39/137 U Probabilidade Regra da Adição çA probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos não excludentes ocorra é igual a: P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

40 40/137 Exemplo çA Petrobrás perfura um poço quando acha que há probabilidade de ao menos 40 % de encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %. Qual é a probabilidade de que pelo menos um poço produza petróleo?

41 41/137 Exemplo P(A) = 0,4 P(B) = 0,5 P(A e B) = 0,4. 0,5 = 0,2 P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7

42 42/137 Exemplo poço A poço B Resultados possíveis Produz Não Produz Não Produz Não Probabilidade 0,4 x 0,5 = 0,2 0,6 x 0,5 = 0,3 0,7

43 43/137 MODELOS PROBABILÍSTICOS

44 44/137 Modelos Probabilísticos çEm problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas, fornecendo a regra de determinação das probabilidades.

45 45/137 Modelos Probabilísticos O problema não é como se deduzem os valores?, mas sim como se usam as distribuições para resolver problemas? William J. Stevenson

46 46/137 Exercício Anterior çLança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

47 47/137 Distribuição de Probabilidades kP(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total ,50

48 48/137 Distribuição de Bernoulli çA distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois resultados possíveis (sim ou não), com probabilidade de sucesso igual a p.

49 49/137 Distribuição de Bernoulli kP(X=k) 0 (1-p) 1 p Total 1 E(X) = x = p VAR(X) = p.(1-p)

50 50/137 Distribuição Binomial

51 51/137 Distribuição Binomial O modelo binomial pressupõe: çSão efetuados n experimentos iguais e independentes. çCada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não). çConsequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante. çA variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos.

52 52/137 Distribuição Binomial çPara identificar uma distribuição binomial, bastam os parâmetros n e p.

53 53/137 Exercício Anterior çUm grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

54 54/137 Exercício Anterior Res. num Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

55 55/137 0, ,216 0,432 0,288 Exercício Anterior kP(X=k) 00,064 10,288 20,432 30,216 Total 1

56 56/137 Distribuição Binomial çO exemplo apresentado pode ser representado por uma distribuição binomial. n = 3 p = 0,6 (item com defeito = sim) (Deseja-se o número de itens com defeito)

57 57/137 Equação da Binomial P(X=k) =p k.(1- p) (n-k) ( ) n k = n k n! k! (n-k)!

58 58/137 Distribuição Binomial E(X) = x = np VAR(X) = n.p.(1-p) kP(X=k) 0P(X=0) 1P(X=1)... nP(X=n) Total 1

59 59/137 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) =0,6 k.(1- 0,6) (3-k) ( ) 3 k 3 0 P(X=0) =0,6 0.(1- 0,6) (3-0) = 1.0,6 0.0,4 3 = 0,064 = ( ) 3 0 3! 0! (3-0)! = 1 1

60 60/137 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) =0,6 k.(1- 0,6) (3-k) ( ) 3 k 3 1 P(X=1) =0,6 1.(1- 0,6) (3-1) = 3.0,6 1.0,4 2 = 0,288 = ( ) 3 1 3! 1! (3-1)! = 3

61 61/137 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) =0,6 k.(1- 0,6) (3-k) ( ) 3 k 3 2 P(X=2) =0,6 2.(1- 0,6) (3-2) = 3.0,6 2.0,4 1 = 0,432 = ( ) 3 2 3! 2! (3-2)! = 3

62 62/137 Exemplo n = 3 p = 0,6 P(X=k) =0,6 k.(1- 0,6) (3-k) ( ) 3 k 3 3 P(X=3) =0,6 3.(1- 0,6) (3-3) = 1.0,6 3.0,4 0 = 0,216 = ( ) 3 3 3! 3! (3-3)! = 1 1

63 63/137 0, ,216 0,432 0,288 Exercício kP(X=k) 00,064 10,288 20,432 30,216 Total 1

64 64/137 Distribuição Acumulada kP(X=k)Prob. Acumulada 00,0640,064 10,2880,352 20,432 0,784 30,2161,000 Total 1 -

65 65/137 Exercício 2 çConsiderando a mesma situação do exemplo anterior, construir a distribuição de probabilidades para o caso de 5 itens. n = 5 p = 0,6

66 66/137 Exercício k P(X=k)Probab. Acumul. 00,010240, ,076800, , , ,345600, ,259200, ,077761,00000 Total 1 -

67 67/137 Tabela Binomial çAs probabilidades para algumas binomiais podem ser encontradas em tabelas nos livros de estatística. çTambém podem ser utilizados softwares.

68 68/137 Exercício 3 ç Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao acaso: 4 a) Apenas uma ser defeituosa? 4 b) No máximo uma ser defeituosa? 4 c) Pelo menos duas serem defeituosas? 0,3543 0,8857 0,1143

69 69/137 Exercício 4 çOs produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C? 0,8822

70 70/137 Exercício 5 çSabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?

71 71/137 Exercício çCliente ACliente B n = P(X P(X = P = 0,8891 ou 88,91% p =

72 72/137 Distribuição Multinomial

73 73/137 Distribuição Multinomial O modelo multinomial é uma generalização do binomial: çSão efetuados n experimentos iguais e independentes. çCada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados). çA probabilidade de sim para o resultado k (p k ) (i=1, 2,...) em todos os experimentos é constante. çA variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.

74 74/137 Distribuição Multinomial P(X=x 1, x 2,..., x k ) =p 1 x1 p 2 x2... p k xk n! x 1 ! x 2 !... x k ! n = x 1 + x x k

75 75/137 Distribuição Poisson P(X=k) = e-λ λke-λ λk k!

76 76/137 VARIÁVEIS CONTÍNUAS

77 77/137 Exemplo çUm jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

78 78/137 Exemplo çConstruir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 12

79 79/137 Distribuição de Probabilidades 1 2 0,50 kP(X=k) 1 0,5 2 0,5 Total 1

80 80/137 Exemplo çConsiderar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

81 81/137 Exemplo çConstruir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento

82 82/137 kP(X=k) 10,25 20,25 30,25 40,25 Total 1 Distribuição de Probabilidades

83 83/137 Exemplo çConstruir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento

84 84/137 Histograma ,125 Número obtido

85 85/137 Exemplo çConstruir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento

86 86/137 Histograma Número obtido

87 87/137 Dúvida... çQual é o número máximo de setores que se consegue em um círculo? çResp: Infinitos

88 88/137 Variável Contínua çComo existem infinitos resultados possíveis, o número obtido no experimento, temos uma situação próxima à da variável contínua. çComo ficaria o histograma?

89 89/ Histograma? Área = 1

90 90/137 Dúvida... çQual é a probabilidade dessa variável aleatória contínua assumir um determinado valor (10, por exemplo)? çResposta: A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir exatamente um determinado valor é zero.

91 91/137 Probabilidades... çAs probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA. çPara identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).

92 92/137 Função da Densidade de Probabilidade çA função densidade de probabilidade está relacionada com a probabilidade da variável aleatória contínua assumir algum resultado possível.

93 93/137 Função Densidade de Probabilidade f(x) variável aleatória

94 94/137 Variável Contínua çO estudo de uma variável aleatória contínua é análogo ao das variáveis discretas. çA distribuição de probabilidades indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

95 95/137 Variável Contínua Características çA área sob a função densidade é 1. f(x) variável aleatória área = 1 (ou 100%)

96 96/137 Variável Contínua Características çA probabilidade da variável aleatória assumir um valor determinado é zero, pois existem infinitos resultados possíveis. çAs probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.

97 97/137 Características f(x) X k P(X=k) = 0

98 98/137 çA probabilidade da variável aleatória assumir um valor em um intervalo é igual à área sob a função densidade naquele intervalo. Variável Contínua Características

99 99/137 Características f(x) X a P(a < X < b) = área amarela b P(a

100 100/137 Exercício çSobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.

101 101/137 Exercício Definir a função densidade de probabilidades para o ângulo ( ) obtido neste experimento.

102 102/137 Exercício f(x) 0o0o 360 o X Área =

103 103/137 Exercício çQual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30 o e 60 o ?

104 104/137 Exercício f(x) 0o0o 360 o X 30 o 60 o área = = 1 12 = 0,0833 P(30 o < X < 60 o )

105 105/137 Distribuição Uniforme f(x) X f(x) = 1 1

106 106/137 Distribuição Uniforme P(a < X < b) = b - a f(x) X ab

107 107/137 Distribuição Normal

108 108/137 Função Densidade - média - desvio padrão

109 109/137 Distribuição Normal f(x) X

110 110/137 Características çVariável identificada pela média e pelo desvio padrão. X

111 111/137 Média e Desvio Padrão = 1 = 2 = 3 = 4 X

112 112/137 Média e Desvio Padrão X =

113 113/137 Características çSimetria em relação à média. X 50%

114 114/137 Características çA área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto. çDistância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).

115 115/ área = 68,3% Exemplo

116 116/ Exemplo área = 95,4%

117 117/137 Exemplo área = 99,7%

118 118/137 Características X a P ( X < a ) As áreas referem-se a probabilidades.

119 119/137 Normal Padronizada çO cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo. çPor isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.

120 120/137 Normal Padronizada çPara padronizar uma variável normal, toma-se a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.

121 121/137 Normal Padronizada Z = X - Z - variável normal padronizada X - variável normal - média - desvio padrão

122 122/137 = 0 Normal Padronizada = 1 Z

123 123/137 Normal Padronizada X Z 1-22

124 124/137 Exemplo çO peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas. çEncontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.

125 125/137 Exemplo çX = 510 g Z = X = = 2 = 10 5

126 126/137 Exemplo Z = 5 X 500

127 127/137 Exemplo Z = 5 X 500 P(X<510) = P(Z<2)

128 128/137 Exercício çCom base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z < -1) Z 0 0,158655

129 129/137 Exercício b) P(Z > 1) Z 0+1 0,158655

130 130/137 Exercício c) P(Z < 1) Z 0 1 0,841345

131 131/137 Exercício c) P(-1 < Z < 1) 1- 0, , = 0,68269 Z 0 1

132 132/137 Exercício c) P(-2 < Z < 2) 1 - 0, , = 0,9545 Z

133 133/137 Exercício c) P(-3 < Z < 3) 1- 0, , = 0,9973 Z

134 134/137 Exercício 6 çSupondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: a) menos de Km? 0,158655

135 135/137 Exercício 6 çSupondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: b) mais de Km? 0,158655

136 136/137 Exercício 6 çSupondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: c) entre Km e Km? 0,68269

137 137/137 Exercício 6 çSupondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: d) entre Km e Km? 0,9545

138 138/137 Exercício 6 çSupondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de Km e desvio padrão de Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: e) entre Km e Km? 0,9973


Carregar ppt "1/137 Análise Estatística Variáveis Aleatórias. 2/137 Variável çCaracterística que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google