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Componentes: Alessandro Oliveira Giovanni Comarela Leonel Fonseca Tatiana Pontes Yuri Tavares.

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1 Componentes: Alessandro Oliveira Giovanni Comarela Leonel Fonseca Tatiana Pontes Yuri Tavares

2 Fractais Introdução Motivação Dimensão fractal L-systems Definição Histórico Estrutura Exemplos Aplicações

3 Surgimento dos fractais: Do latim fractus: quebrado, fraturado O termo fractal surgiu em 1975 (Benoît Mandelbrot) Inspirado no paradoxo da costa Características dos fractais: Autossimilaridade e/ou autossimilaridade estatística Maneira bem definida de criação do fractal Pertencem a uma dimensão fractal

4 Modelagem de estruturas naturais (árvores, flocos de neve, etc) Modelagem de objetos que possuem uma natureza caótica Maneira relativamente simples de se representar estruturas complexas Natureza aleatória de eventos naturais (crescimento de galhos numa árvore)

5 Problema da costa da Grã-Bretanha Quanto menor o instrumento de métrica, maior o comprimento da costa

6 Contando ε-bolas (modelo simplificado): Cada ε-bola consiste em uma esfera de raio ε Considere que para cobrir os segmentos do objeto em questão sejam necessárias N ε-bolas A análise da influência da diminuição do raio ε sobre o número N necessário para cobrir o objeto estima a dimensão do objeto

7 L-System é uma variação de uma gramática formal, que permite reescrita paralela; Sua aplicação mais famosa é a modelagem do crescimento de plantas; Permite modelar crescimento morfológico de uma variedade de organismos; Utilizada para gerar fractais auto-similares;

8 A principal diferença em relação em relação as gramáticas de Chomsky está em como aplicar regras de produção: sequencial x paralela; Esta diferença reflete a motivação biológica. Produções capturam divição das células de organismos multicelulares (Várias divisões ocorrem simultaneamente);

9 L-Systems = Lindenmayer Systems Aristid Lindenmayer 1925–1989

10 Como biólogo, Lindenmayer trabalhou com leveduras e fungos filamentosos e estudou os padrões de crescimento de vários tipos de algas. Originalmente, L-Systems foram concebidas para fornecer uma descrição formal do desenvolvimento de tais simples organismos multicelulares. Posteriormente, esse sistema foi estendido para descrever as plantas e estruturas complexas de ramificação.

11 Existem vários tipos de L-Systems: Context-Free L-Systems; Stochastic L-Sytems; Branching Structures; 3D; Context-Sensitive L-Systems;...

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13 Gramáticas geram strings. O que fazer com estas strings para que elas tenham uma interpretação gráfica? A cada símbolo do alfabeto é dada uma semântica para que cada string gerada possa ser mapeada em um desenho; Turtle Interpretation: Considere uma tartaruga andando no espaço bidimensional. O estado da tartaruga é dado pela tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga);

14 Turtle Interpretation: Considere o estado da tartaruga como a tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga).

15 Curva de Koch: Variável: F Constantes: + e – Axioma: F Produção: F -> F + F - F - F + F Ângulo delta: 90 graus

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17 Fractal Planta: Variáveis: F e X Constantes: +, -, [ e ] Axioma: X Produções: X -> F[[X]+X]+F[+FX]X e F -> FF Ângulo delta: 25 graus

18 Fractal Planta (Estágio n = 6)

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20 6 imagens produzidas pela mesma gramáticas. Todas representam o 5 estágio.

21 Exemplo mais complexo (Flower Field)

22 Curva do dragão: Applet

23 Curva do dragão: O Heighway Dragon (também conhecido como Jurassic Park Dragon) foi inicialmente estudado por físicos da NASA Apareceu na novela Jurassic Park, de Michael Crichton, a qual deu origem ao filme Na história, o conhecido matemático e teórico do caos Ian Malcon criou curvas do dragão para simular as ações que seriam tomadas no parque

24 Curva do dragão: Descrição Começando por um segmento base, substitua cada segmento por dois segmentos com um ângulo de 90° entre eles e com uma rotação de 45° alternadamente para a esquerda e para a direita.

25 Curva do dragão: Variáveis: X Y Constantes: F + - Axioma: FX Regras: Ângulo: 90° F, + e - representam ações de desenho X e Y são usados apenas para controlar a evolução da curva.

26 Curva do dragão: Também pode ser gerado pelo conjunto limite da seguinte IFS (iterated function system), no plano Real Essa representação é mais usada em softwares como o Aphophysis, da Microsoft

27 Curva do dragão: Dobrando o Dragão Para as primeiras iterações, a sequência de viradas é a seguinte: 1st iteration: R 2nd iteration: R R L 3rd iteration: R R L R R L L 4th iteration: R R L R R L L R R R L L R L L Padrão: Pegue a iteração anterior e adicione um R ao fim dela. Pegue a iteração original de trás para frente, mude cada letra e adicione o resultado após o R

28 Curva do dragão: Dobrando o Dragão Esse padrão origina o método de dobramento conhecido como dobrando uma tira de papel

29 Curva do dragão: Dobrando o Dragão Esse padrão também possibilita calcular a direção do n- ésimo giro da sequência Para tal, primeiro expressa-se n sob a forma em que k é um número ímpar. Depois, divide-se k por 4. Se o resto da divisão for 1, então o giro é para a direita. Se for 3, o giro é para a esquerda. Exemplo: 76376º giro = 9547 x = 2386x4 + 3 so 9547 mod 4 = 3 so turn is L

30 Curva do dragão: Dimensões

31 Curva do dragão: Dimensões Seu perímetro é infinito, uma vez que é incrementado por um fator de a cada iteração A curva nunca cruza ela mesma Sua dimensão fractal pode ser calculada: A dimensão fractal de sua fronteira foi aproximada numericamente por Chang & Zhang:

32 Curva do dragão: Dimensões Possui muitas auto-similaridades, sendo a mais óbvia a repetição do mesmo padrão rotacionado de 45° e com o tamanho modificado por uma taxa de

33 Lírio-do-brejo (Convallaria majalis): A A I[IF 0 ]A F i F i+1 Onde I representa ramos e F i o crescimento de uma flor

34 Aplicando as regras da gramática: A I[IF 0 ]A I[IF 1 ]I[IF 0 ]A I[IF 2 ]I[IF 1 ]I[IF 0 ]A I[IF 3 ]I[IF 2 ]I[IF 1 ]I[IF 0 ]A

35 Lírio-do-brejo (Convallaria majalis)

36 Floco de neve de von Koch 1. Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais. 2.Desenha triângulo equilátero com segmento central como base. 3.Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

37 Floco de neve de von Koch 1. Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais. 2.Desenha triângulo equilátero com segmento central como base. 3.Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

38 Montanhas fractais Modelagem de relevo. Cada iteração estabelece uma altura para as medianas dos segmentos.

39 L-systems e Algoritmos Genéticos GA com genótipos inspirados em L-systems. Função de fitness baseada em hipóteses evolucionistas sobre fatores que tiveram maior efeito sobre a evolução das plantas.

40 L-systems e Algoritmos Genéticos GA para construção de figuras simétricas. Função de fitness favorece estruturas com simetria bilateral.

41 Mitose Celular Processo de divisão celular conservativa. Célula inicial origina duas novas células com a mesma composição genética.

42 Iris do Olho Humano Iris do olho humano formada por interpolação de padrões.

43 Arquitetura de Plantas Crescimento de plantas representado por um l-systems.

44 Arte em L-systems

45 L-systems são úteis e importantes por vários motivos: Permitem modelagem da natureza com estruturas complexas de essência caótica e aleatória. Possuem diversas aplicações práticas, uma vez que auxiliam na obtenção de formatos mais próximos da realidade. Devido à sua utilidade, há vários códigos disponíveis na web (de fácil uso) para a criação de novos L-systems.

46 Lindenmayer A (1968). Mathematical models for cellular interaction in development I. Filaments with one-sided inputs. Journal of Theoretical Biology 18: Prusinkiewicz P, Lindenmayer A (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag:New York


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