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a média AMPLITUDE TOTAL (AT) DESVIO MÉDIO (DM)VARIÂNCIA (s 2 ou 2 ) DESVIO PADRÃO (s ou )COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) As medidas de dispersão indicam.

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2 a média AMPLITUDE TOTAL (AT) DESVIO MÉDIO (DM)VARIÂNCIA (s 2 ou 2 ) DESVIO PADRÃO (s ou )COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros, ou separados em torno de uma medida de posição: a média. Consideraremos cinco medidas de dispersão: AMPLITUDE TOTAL (AT), DESVIO MÉDIO (DM), VARIÂNCIA (s 2 ou 2 ), DESVIO PADRÃO (s ou ) e COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV). dispersão distância dos valores em relação a média Na maioria das vezes a utilização das medidas de posição (média, moda, mediana) não é suficiente para sintetizar a informação nele contida, por exemplo, duas amostras podem ter a mesma média, mas uma dispersão (distância dos valores em relação a média) absolutamente diferente em relação a essa média.

3 É a diferença entre o maior e o menor valor observado. A amplitude é uma medida de dispersão fácil de ser calculada e é certamente a maneira mais natural e comumente utilizada para descrever a variabilidade de dados. Porém sua interpretação depende do número de observações, mas, no seu cálculo não são considerados todas as observações, pois só utilizamos os valores extremos.

4 média ou mediana Desvio absoluto médio (D m ) é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou mediana. EXEMPLO 1: Suponha um conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar o desvio médio desse conjunto de dados. Cálculo da média:

5 Cálculo do desvio médio: em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários de desvia de 2,24 anos em torno dos 7,8 anos do tempo médio de serviço (a média). Interpretação: em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários de desvia de 2,24 anos em torno dos 7,8 anos do tempo médio de serviço (a média).

6 Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados devemos levar em conta que cada valor da variável (x i ) aparece associado a uma frequência (f i ), e nesse caso, devemos lembrar que o desvio médio vai ficar ponderado por essas frequências, o que em outras palavras quer dizer: o desvio de cada valor da variável em relação à média ficará multiplicado por sua respectiva frequência.

7 EXEMPLO 2: Em determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. Calcular o desvio médio. Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) Total10 Cálculo da média:

8 Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) x i – média x i – média. f i Total10 Cálculo da média: Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

9 Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) x i – média x i – média. f i 11 1,6 23 0,61,8 35 0,42,0 41 1,4 Total10 4,06,8 E por fim, basta calcularmos o desvio médio. em média, a quantidade de veículos negociados por cada vendedor possui uma distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média. Interpretação: em média, a quantidade de veículos negociados por cada vendedor possui uma distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média.

10 Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados em intervalos de classe, devemos levar em conta que cada valor da variável (x i ) aparece representado sob a forma de um intervalo de classe, e este intervalo está associado a uma frequência (f i ), e nesse caso, devemos lembrar: 1. Cada valor da variável ficará representado pelo ponto médio da classe. 2. O desvio médio vai ficar ponderado por essas frequências, o que em outras palavras quer dizer: o desvio de cada valor da variável em relação à média ficará multiplicado por sua respectiva frequência.

11 EXEMPLO 3: A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcular o desvio médio. EscoresAlunos (f i ) Total58

12 EscoresAlunos (f i ) Total58- Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe.

13 EscoresAlunos (f i ) Total58 Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

14 EscoresAlunos (f i ) ,24111, ,24146, ,2440, ,76108, ,76106, ,7683,28 Total ,88 E por fim, basta calcularmos o desvio médio. em média, a nota de cada aluno teve uma distanciamento de 10,29 pontos em torno do desempenho médio do grupo. Interpretação: em média, a nota de cada aluno teve uma distanciamento de 10,29 pontos em torno do desempenho médio do grupo.

15 É a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média. Na verdade a variância é a medida que fornece o grau de dispersão, ou variabilidade dos valores do conjunto de observações em torno da média. Pode ser calculada de duas formas: POPULACIONAL POPULACIONAL: representada pela letra grega 2. AMOSTRAL AMOSTRAL: representada por s 2. Porém, toda vez que calculamos a variância nos deparamos com um problema: a resposta obtida sempre vai ser fornecida com a unidade elevada ao quadrado (anos 2, cm 2, etc.). extraímos a raiz quadrada do resultado da variância DESVIO PADRÃO Para eliminarmos esse quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada do resultado da variância, obtendo assim uma terceira medida de dispersão, o DESVIO PADRÃO.

16 Assim como a variância, o Desvio Padrão pode ser calculado de duas formas: POPULACIONAL POPULACIONAL: representada pela letra grega AMOSTRAL AMOSTRAL: representada por Na prática o Desvio Padrão indica um intervalo onde se concentram a maioria dos valores em torno da média. Assim: desvio padrão pequeno indica que a maioria dos valores está próximo da média; desvio padrão grande indica que a maioria dos valores está distante da média. Ao contrário da amplitude total, a variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração todos os valores da variável em estudo, que são obtidos a partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto. Isso faz com que eles sejam índices de variabilidade bastante estáveis, e por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

17 Populacional: Amostral:

18 Populacional: Amostral:

19 Populacional: Amostral:

20 As variâncias seriam: S 1 2 = [(3-5) 2 + (4-5) 2 + (5-5) 2 + (6-5) 2 + (7-5) 2 ]/4 S 1 2 =2,5 S 2 2 = [(1-5) 2 + (3-5) 2 + (5-5) 2 + (7-5) 2 + (9-5) 2 ]/4 S 2 2 =10 A amostra 3, 4, 5, 6, 7 é mais homogênea. Os desvios padrões seriam: S = 2,5 = 1,58 S = 10 = 3,16 EXEMPLO 4: para as amostras 3, 4, 5, 6, 7 e 1, 3, 5, 7, 9, calcular a variância e o desvio padrão.

21 Média = [(0.4)+(1.5)+(2.7)+(3.3)+(5.1)]/20=1,65 DM(x) = [4.(0-1,65) + 5.(1-1,65) + 7.(2-1,65) + 3.(3-1,65) + 1.(5-1,65)]/20 = 0,98 Variância S 2 = [4.(-1,65) (-0,65) (0,35) (1,35) (3,35 )2 ]/19 = 1,6 Desvio Padrão: S = 1,6 = 1,26 EXEMPLO 5: Considerando a tabela ao lado, calcular: média, desvio médio, variância e desvio padrão.

22 EXEMPLO 6: Suponha um conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar a variância e o desvio padrão desse conjunto de dados. Cálculo da média: Cálculo da variância: Cálculo do desvio padrão:

23 se calcularmos um intervalo usando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos dados. Interpretação: se calcularmos um intervalo usando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos dados. EXEMPLO 7: Em determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. Calcular a variância e desvio padrão. Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) Total10

24 Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) x i – média) 2 x i – média) 2. f i Total10 Cálculo da média: Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

25 Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) x i – média) 2 x i – média) 2. f i 11 2, ,361, ,160, ,96 Total10 5,046,40 E por fim, basta calcularmos a variância. se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos veículos negociados por vend. Interpretação: se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos veículos negociados por vend.

26 Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) x i. f i x i 2. f i Total10 Cálculo da média: Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

27 Veículos negociados (x i ) Número de vendedores (f i ) x i. f i x i 2. f i Total E por fim, basta calcularmos a variância.

28 EXEMPLO 8: A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcular a variância e o desvio padrão. EscoresAlunos (f i ) Total58

29 EscoresAlunos (f i ) Total58- Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe.

30 EscoresAlunos (f i ) Total58 - Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

31 EscoresAlunos (f i ) Total

32 se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação.. Interpretação: se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação..

33 EscoresAlunos (f i ) Total58- Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe.

34 EscoresAlunos (f i ) Total58 - Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

35 EscoresAlunos (f i ) Total

36 se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação.. Interpretação: se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação..

37 Trata-se de uma média relativa à dispersão, útil para comparação e observação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dada por: Na prática podemos classificar uma distribuição quanto a dispersão da seguinte maneira: DISPERSÃO BAIXA DISPERSÃO BAIXA: CV 15% DISPERSÃO MÉDIA DISPERSÃO MÉDIA: 15% CV 30% DISPERSÃO ALTA DISPERSÃO ALTA: CV 30%

38 Grupo A R$ 150 R$ 5 Grupo B R$ 50 R$ 3 EXEMPLO 9: para os salários de dois grupos de operários abaixo, compare os respectivos coeficientes de variação. Para calcularmos o coeficiente de variação, basta dividirmos o desvio padrão pela média e multiplicarmos o resultado por 100. Grupo A: Grupo B: O salário do grupo B apresenta maior dispersão relativa que o salário do grupo A. Interpretação: O salário do grupo B apresenta maior dispersão relativa que o salário do grupo A.

39 EXEMPLO 10:Os pesos de 10 caixas de um certo tipo de cereal tem conteúdo médio de 278 g com um desvio padrão de 9,64 g. Se estas caixas são vendidas por um preço médio de 1,20 u.m. com um desvio padrão de 0,09 u.m., podemos concluir que os pesos são relativamente mais homogêneos do que os preços? EXEMPLO 10: Os pesos de 10 caixas de um certo tipo de cereal tem conteúdo médio de 278 g com um desvio padrão de 9,64 g. Se estas caixas são vendidas por um preço médio de 1,20 u.m. com um desvio padrão de 0,09 u.m., podemos concluir que os pesos são relativamente mais homogêneos do que os preços? Grupo A: Grupo B: os preços apresentam maior dispersão relativa que os pesos, ou seja, os pesos são mais homogêneos que os preços. Interpretação: os preços apresentam maior dispersão relativa que os pesos, ou seja, os pesos são mais homogêneos que os preços.


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