Estatística amintas paiva afonso.

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1 Estatística amintas paiva afonso

2 Notações Estatísticas
NOTAÇÃO Característica amostra população  Somatório de um conjunto de valores Valores individuais dos dados x i Número de valores (tamanho do conjunto) n N Média aritmética  Desvio padrão s   2 s 2 Variância x R - Range (amplitude)

3 Sínteses Numéricas Achatamento - curtose
Assimetria - coeficiente de assimetria Média aritm. Mediana Moda Quartis Percentis Amplitude Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação Desvio médio MEDIDAS ESTATÍSTICAS DISPERSÃO POSIÇÃO tendência central FORMA Unidade 4 Unidade 5 Não será abordado

4  =  x n  =  x N Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética Corresponde ao somatório de um conjunto de valores dividido pelo número destes valores. Média =  x n n = número de valores  =  x n _ Média de um conjunto de valores amostrais.  =  x N Média de todos os valores de uma população. Obs.:  A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de dados tende a se concentrar.

5 Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética Exercício : Um estudante fez quatro provas e obteve as notas 89, 94, 95 e 86, a sua nota média é: notação

6 Medidas de Posição – Tendência Central
Média aritmética É a mais importante das medidas de tendência central; A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada; Para um dado conjunto de números, a média é única; É sensível (ou afetada) a todos os valores do conjunto. Assim se um valor se modifica, a média também se modifica; Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante: µ(x ± k) = µ (x) ± k; Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa constante: µ(x .\ k) = µ (x) .\ k

7 Medidas de Posição – Tendência Central
Média aparada Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos; Se obtém eliminando do conjunto de dados os “m” maiores e os “m” menores valores; Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores observados; Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers); No conjunto de dados abaixo, calcular a média aparada, com m =2 1, 2, 6, 7, 6, 8, 10, 8, 12, 23, 25, 8, 9, 7, 11, 12, 13, 10, 8, 9, 7, 12, 12, 10, 9, 11,7, 8, 6, 8, 9, 10, 11, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 9, 7, 8, 10, 6, 7, 12, 8, 9, 10,

8 Medidas de Posição – Tendência Central
Média aparada A média aritmética de todos os valores é = 9,29 Excluindo os dois menores e dois maiores valores (1, 2, 23 e 25), a média aparada é = 8,98 A média aparada exclui valores discrepantes

9 Medidas de Posição – Tendência Central
Média ponderada Cada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso). Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais de cada elemento. Exercício : O colégio definiu que as provas mensais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno. 80 0,30 Mês 2 90 96 exame nota peso Mês 1 Final 0,40 = 0,3*80 + 0,3*90 + 0,4*96 0,3 + 0,3 + 0,4 89,4

10 Medidas de Posição – Tendência Central
Média ponderada Notação p1, p2....pn são os pesos

11 Medidas de Posição – Tendência Central
Mediana A Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando estes estão em ordem crescente. Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais. 3, 7, 5, 5, 1, 9, 15, 13, 17, 13, 17 Dado o conjunto de 11 dados: Calcule a mediana. Exercício Valor central = mediana 5 dados 11, 13, 13, 15, 17 9, Conjunto dados ordenados 1, 3, 5, 5, 7,

12 ( ) Medidas de Posição – Tendência Central Mediana
Conjunto de valores pares ( n = par) ( ) = valor + valor / 2 exemplo 5, 7, 10, 11 n = 4 n/2 (n / 2) + 1 = (valor 4/2 + valor (4/2 + 1))/2 Conjunto de valores impares (n = impar) exemplo 5, 7, 10, 11, 14 n = 5 = valor (n+ 1) / 2 = valor (5+1)/2 = valor 3

13 ~ Medidas de Posição – Tendência Central Mediana
Exercício: Calcular a mediana das medidas de um conjunto de eixo: (3,0 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,0 ; 3,4 ; 2,7) Resolução: (2,7 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,0 ; 3,0 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5) Mediana = x ~ 3,0 + 3,1 2 = = 3,05 Interpretação do resultado: 50% dos dados brutos são valores menores ou iguais a 3,05 e 50% desses são valores maiores ou iguais a 3,05.

14 X Medidas de Posição – Tendência Central Média aritmética Mediana
Salário dos funcionários de um restaurante 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 A média de 345,7 sintetiza razoavelmente o conjunto de dados (salários) Salário dos funcionários incluindo o gerente 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 A média de 601,4 não sintetiza razoavelmente o conjunto de dados Nos dois casos a mediana é 300. Para o segundo caso a mediana representa melhor o conjunto de dados. Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medida mais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos)

15 Medidas de Posição – Tendência Central
Moda - MO A Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maior freqüência em um conjunto de observações. É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados. pode não existir pode não ser única Exercício : Dado o conjunto de dados 10, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 18. Calcule a moda. A moda é constituída de dois valores: MO = 10 e 18 (duas vezes cada)

16 Medidas de Posição – Tendência Central
COMPARAÇÃO medida definição quão freqüente existência considera todos valores? afetada pelos valores extremos vantagens e desvantagens média “média” mais familiar existe sempre sim muito utilizada em estatística mediana Valor médio usada não costuma ser boa escolha se há valores extremos moda valor mais freqüente usada às vezes pode não existir; pode ter mais de uma moda apropriada para dados ao nível nominal x =  x n

17 Resposta: (média = 1,33) (mediana = 1) (moda =1).
Medidas de Posição – Tendência Central Exercício: Inspecionaram-se quinze rádios antes da remessa e os números de defeito por unidade são apresentados no quadro abaixo: Encontre a média, a mediana e a moda do número de defeitos. Resposta: (média = 1,33) (mediana = 1) (moda =1).

18 Medidas de Dispersão A dispersão mede quão próximo uns dos outros estão os valores do grupo pequena dispersão grande dispersão A variabilidade de B é maior que de A Uma boa representação de dados Uma medida de posição (quase sempre a média) Uma medida de dispersão (quase sempre o desvio padrão) + =

19 Amplitude, range ou intervalo
Medidas de Dispersão Amplitude, range ou intervalo É expresso pela diferença entre o maior e o menor valor num grupo, ou pela identificação desses dois números. números intervalo diferença do menor ao maior (1 ; 5 ; 7 ; 13) 13 – 1 = 12 de 1 a 13 (14 ; 3 ; 17 ; 4 ; 8 ; 73 ; 36 ; 48) 73 – 3 = 70 de 3 a 73 (3,2 ; 4,7 ; 5,6 ; 2,1 ; 1,9 ; 10,3) 10,3 – 1,9 = 8,4 de 1,9 a 10,3

20 Amplitude, range ou intervalo
Medidas de Dispersão Amplitude, range ou intervalo • intervalo 1 2 3 distribuição uniforme – o intervalo é uma boa medida • • • é uma medida apenas razoável • • • • • é uma medida ruim da dispersão LIMITAÇÃO: só leva em conta os dois valores extremos do conjunto, nada informando sobre os outros valores.

21 Medidas de Dispersão Desvio médio absoluto  DMA = | x i – x | n
DMA é fácil de entender e calcular mas é pouco usado como medida de dispersão outras medidas apresentam propriedades matemáticas mais interessantes

22 Medidas de Dispersão Desvio médio absoluto
Exercício: Calcule o DMA do conjunto de dados 2, 4, 6, 8, 10. Calcular o desvio médio. X = ( ) / 5 = 6 Xi - X 2 – 6 = - 4 4 – 6 = - 2 6 – 6 = 0 8 – 6 = 2 10 – 6 = 4 soma DMA = | x i – x | n  DMA = ( ) / 5 = 2,4

23 A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada.
Medidas de Dispersão Variância A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada. S x2 = n - 1 ( x i )2 / n  x i2 - OU S x2 = n - 1  (x i - x )2 n – amostra n população ATENÇÃO

24 Medidas de Dispersão Variância
Exercício: Calcule a variância da amostra 2, 4, 6, 8, 10. A média desse conjunto é 6. 6 + 2 4 x i x x i - x (x i - x ) 2 2 8 10 - 4 - 2 + 4 16 somas 40 40 S x2 = n - 1  (x i - x )2 = 5 - 1 10 Se esses valores representassem toda a população, a variância seria 40/5 = 8.

25 Medidas de Dispersão Desvio padrão É a raiz quadrada da variância.
S x = n - 1  (x i - x )2 ( x i )2 / n x i2 - n – amostra n população só raiz positiva da variância O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise. Assim, se a unidade da variável for mm, o desvio padrão também será mm. Isso não acontece com a variância.

26 Medidas de Dispersão Desvio padrão
O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada. Quanto maior é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média. freqüência s = 0 7 6 5 4 3 2 1 s = 0,8 s = 1,0 s = 3 O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta

27 Coeficiente de variação
Medidas de Dispersão Coeficiente de variação É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados. amostra população CV (%) = S x x . 100 σ CV(%) = . 100 ou Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média. Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável quando comparada com os valores da variável Conjunto de dado com s = 15 e média 100 CV = 15% Conjunto de dado com s = 20 e média 1000 CV = 2%

28 Médias e Desvio-padrão - Exemplos
Exemplo: Calcular o desvio-padrão da amostra representada por: 1, 2, 4, 5, 7.

29 Médias e Desvio-padrão - Exemplos
Logo :

30 Médias e Desvio-padrão - Exercícios
Exercício 1: Vamos supor que eu quero comprar uma lâmpada para a minha casa e quero que ela dure pelo menos 700 h. Eu solicito a dois fabricantes o tempo de vida útil de suas lâmpadas e eles me fornecem os seguintes dados: Supondo que as duas lâmpadas custam o mesmo valor, qual delas eu deveria comprar?

31 Médias e Desvio-padrão - Exercícios
Para chegarmos à uma conclusão é necessário calcularmos o tempo de vida útil médio para cada fabricante e saber qual é variabilidade dos dados. SA = 23,45 h SB = 146,25 h Critério de escolha: tempo de vida útil = média  desvio-padrão

32 Médias e Desvio-padrão - Exercícios
Fabricante A : 730 ± 23,45 h Conclusão : Escolheria o fabricante A. Fabricante A:[706,55 – 753,45= -46,9] Fabricante B : 755,67 ± 146,25 h Fabricante B : [609,42 – 901,92= -292,5]

33 Médias e Desvio-padrão - Exercícios
Exercício 2: Um comerciante está interessado em comprar 100 garrafas de cachaça para o seu estabelecimento. No entanto, como é de preferência de sua clientela, é necessário que a cachaça escolhida apresente um teor alcoólico de no mínimo 33% em volume. Ele consultou alguns fornecedores e obteve as seguintes informações: Na sua opinião, qual deveria ser a marca escolhida pelo comerciante?

34 Médias e Desvio-padrão - Exercícios
As marcas B e C atendem ao requisito (>33%),no entanto escolheria a marca C pelo preço. Assim, teria um economia de R$ 45,00! Marca A: 34,36 ± 2,97 [31,39–37,33=-5,94] Marca B: 35,06 ± 1,35 [33,71–36,41=-2,7] Marca C:35,36 ± 2,06  [33,3–37,42=-4,12]

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