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Estatística amintas paiva afonso. NOTAÇÃO Característicaamostra população Somatório de um conjunto de valores Valores individuais dos dadosx i Número.

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1 Estatística amintas paiva afonso

2 NOTAÇÃO Característicaamostra população Somatório de um conjunto de valores Valores individuais dos dadosx i Número de valores (tamanho do conjunto)nN Média aritmética Desvio padrãos 2 s 2 Variância Range (amplitude) R- x Notações Estatísticas

3 Achatamento - curtose Assimetria - coeficiente de assimetria -Média aritm. -Mediana -Moda -Quartis -Percentis -Amplitude -Variância -Desvio padrão -Coeficiente de Variação -Desvio médio MEDIDAS ESTATÍSTICAS DISPERSÃO POSIÇÃO tendência central FORMA Unidade 4Unidade 5 Não será abordado Sínteses Numéricas

4 = x N Média de todos os valores de uma população. = x n _ Média de um conjunto de valores amostrais. Obs.: A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de dados tende a se concentrar. Corresponde ao somatório de um conjunto de valores dividido pelo número destes valores. Média = x n n = número de valores Medidas de Posição – Tendência Central Média aritmética

5 Exercício : Um estudante fez quatro provas e obteve as notas 89, 94, 95 e 86, a sua nota média é: notação Medidas de Posição – Tendência Central

6 É a mais importante das medidas de tendência central; A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada; Para um dado conjunto de números, a média é única; É sensível (ou afetada) a todos os valores do conjunto. Assim se um valor se modifica, a média também se modifica; Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante: µ(x ± k) = µ (x) ± k; Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa constante: µ(x.\ k) = µ (x).\ k Média aritmética Medidas de Posição – Tendência Central

7 Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos; Se obtém eliminando do conjunto de dados os m maiores e os m menores valores; Média aparada No conjunto de dados abaixo, calcular a média aparada, com m =2 1, 2, 6, 7, 6, 8, 10, 8, 12, 23, 25, 8, 9, 7, 11, 12, 13, 10, 8, 9, 7, 12, 12, 10, 9, 11,7, 8, 6, 8, 9, 10, 11, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 9, 7, 8, 10, 6, 7, 12, 8, 9, 10, Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores observados; Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers); Medidas de Posição – Tendência Central

8 Média aparada A média aparada exclui valores discrepantes A média aritmética de todos os valores é = 9,29 Excluindo os dois menores e dois maiores valores (1, 2, 23 e 25), a média aparada é = 8,98 Medidas de Posição – Tendência Central

9 Cada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso). Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais de cada elemento. Exercício : O colégio definiu que as provas mensais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno. Média ponderada 80 0,30 Mês exame nota peso Mês 1 Final 0,40 = 0,3*80 + 0,3*90 + 0,4*96 0,3 + 0,3 + 0,4 89,4 Medidas de Posição – Tendência Central

10 Média ponderada Notação p 1, p 2....p n são os pesos Medidas de Posição – Tendência Central

11 A Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando estes estão em ordem crescente. Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais. 3, 7, 5, 5, 1, 9, 15, 13, 17, 13, 17Dado o conjunto de 11 dados: Calcule a mediana. Exercício 5 dados 11, 13, 13, 15, 17 9, Conjunto dados ordenados 5 dados 1, 3, 5, 5, 7, Valor central = mediana Mediana Medidas de Posição – Tendência Central

12 Mediana Conjunto de valores pares ( n = par) + =valor n/2 (n / 2) + 1 valor )( / 2 Conjunto de valores impares (n = impar) =valor (n+ 1) / 2 5, 7, 10, 11, 14 n = 5 exemplo = valor (5+1)/2 = valor 3 = (valor 4/2 + valor (4/2 + 1))/2 5, 7, 10, 11n = 4 exemplo Medidas de Posição – Tendência Central

13 Exercício: Calcular a mediana das medidas de um conjunto de eixo: (3,0 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,0 ; 3,4 ; 2,7) (2,7 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,0 ; 3,0 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5) Resolução: Mediana = x ~ 3,0 + 3,1 2 == 3,05 Interpretação do resultado: 50% dos dados brutos são valores menores ou iguais a 3,05 e 50% desses são valores maiores ou iguais a 3,05. Medidas de Posição – Tendência Central Mediana

14 Média aritmética Mediana X Salário dos funcionários de um restaurante 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 A média de 345,7 sintetiza razoavelmente o conjunto de dados (salários) Salário dos funcionários incluindo o gerente 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 A média de 601,4 não sintetiza razoavelmente o conjunto de dados Nos dois casos a mediana é 300. Para o segundo caso a mediana representa melhor o conjunto de dados. Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medida mais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos) Medidas de Posição – Tendência Central

15 Moda - MO A Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maior freqüência em um conjunto de observações. É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados. - pode não existir - pode não ser única Exercício : Dado o conjunto de dados 10, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 18. Calcule a moda. A moda é constituída de dois valores: MO = 10 e 18 (duas vezes cada) Medidas de Posição – Tendência Central

16 medidadefiniçãoquão freqüente existência considera todos valores? afetada pelos valores extremos vantagens e desvantagens médiamédia mais familiar existe sempre sim muito utilizada em estatística medianaValor médio usadaexiste sempre não costuma ser boa escolha se há valores extremos modavalor mais freqüente usada às vezes pode não existir; pode ter mais de uma moda não apropriada para dados ao nível nominal x = x n COMPARAÇÃO Medidas de Posição – Tendência Central

17 Exercício: Inspecionaram-se quinze rádios antes da remessa e os números de defeito por unidade são apresentados no quadro abaixo: Encontre a média, a mediana e a moda do número de defeitos. Resposta: (média = 1,33) (mediana = 1) (moda =1). Medidas de Posição – Tendência Central

18 A dispersão mede quão próximo uns dos outros estão os valores do grupo pequena dispersão grande dispersão A variabilidade de B é maior que de A Uma medida de posição (quase sempre a média) Uma boa representação de dados Uma medida de dispersão (quase sempre o desvio padrão ) = + Medidas de Dispersão

19 Amplitude, range ou intervalo É expresso pela diferença entre o maior e o menor valor num grupo, ou pela identificação desses dois números. números intervalo diferençado menor ao maior (1 ; 5 ; 7 ; 13) (14 ; 3 ; 17 ; 4 ; 8 ; 73 ; 36 ; 48) (3,2 ; 4,7 ; 5,6 ; 2,1 ; 1,9 ; 10,3) 13 – 1 = – 3 = 70 10,3 – 1,9 = 8,4 de 1 a 13 de 3 a 73 de 1,9 a 10,3 Medidas de Dispersão

20 Amplitude, range ou intervalo LIMITAÇÃO: só leva em conta os dois valores extremos do conjunto, nada informando sobre os outros valores. intervalo distribuição uniforme – o intervalo é uma boa medida é uma medida apenas razoável é uma medida ruim da dispersão Medidas de Dispersão

21 Desvio médio absoluto DMA = | x i – x | n DMA é fácil de entender e calcular mas é pouco usado como medida de dispersão outras medidas apresentam propriedades matemáticas mais interessantes Medidas de Dispersão

22 Exercício: Calcule o DMA do conjunto de dados 2, 4, 6, 8, 10. Calcular o desvio médio. X =( ) / 5 = 6 Desvio médio absoluto X i - X 2 – 6 = – 6 = – 6 = 0 8 – 6 = 2 10 – 6 = 4 0 soma DMA = ( ) / 5 = 2,4 DMA = | x i – x | n Medidas de Dispersão

23 Variância A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada. S x 2 = n - 1 (x i - x ) 2 n – 1 amostra n população ATENÇÃO S x 2 = n - 1 ( x i ) 2 / n x i 2 - OU Medidas de Dispersão

24 Variância Exercício: Calcule a variância da amostra 2, 4, 6, 8, 10. A média desse conjunto é x i x x i - x (x i - x ) somas 040 S x 2 = n - 1 (x i - x ) 2 = = 10 Se esses valores representassem toda a população, a variância seria 40/5 = 8. Medidas de Dispersão

25 Desvio padrão O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise. Assim, se a unidade da variável for mm, o desvio padrão também será mm. Isso não acontece com a variância. S x = n - 1 (x i - x ) 2 S x = n - 1 ( x i ) 2 / n x i 2 - n – 1 amostra n população só raiz positiva da variância É a raiz quadrada da variância. Medidas de Dispersão

26 Desvio padrão O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada. Quanto maior é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média. s = s = 1, s = 0, freqüência s = O desvio-padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta Medidas de Dispersão

27 Coeficiente de variação É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados. Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média. Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável quando comparada com os valores da variável CV (%) = S x x. 100 Conjunto de dado com s = 15 e média 100 CV = 15% Conjunto de dado com s = 20 e média 1000 CV = 2% σ CV(%) = µ. 100 ou amostrapopulação Medidas de Dispersão

28 Exemplo: Calcular o desvio-padrão da amostra representada por: 1, 2, 4, 5, 7. Médias e Desvio-padrão - Exemplos

29 Logo : Médias e Desvio-padrão - Exemplos

30 Exercício 1: Vamos supor que eu quero comprar uma lâmpada para a minha casa e quero que ela dure pelo menos 700 h. Eu solicito a dois fabricantes o tempo de vida útil de suas lâmpadas e eles me fornecem os seguintes dados: Supondo que as duas lâmpadas custam o mesmo valor, qual delas eu deveria comprar? Médias e Desvio-padrão - Exercícios

31 Para chegarmos à uma conclusão é necessário calcularmos o tempo de vida útil médio para cada fabricante e saber qual é variabilidade dos dados. S A = 23,45 hS B = 146,25 h Critério de escolha: tempo de vida útil = média desvio- padrão Médias e Desvio-padrão - Exercícios

32 Fabricante A : 730 ± 23,45 h Fabricante A:[706,55 – 753,45= -46,9] Fabricante B : 755,67 ± 146,25 h Fabricante B : [609,42 – 901,92= -292,5] Conclusão : Escolheria o fabricante A. Médias e Desvio-padrão - Exercícios

33 Exercício 2: Um comerciante está interessado em comprar 100 garrafas de cachaça para o seu estabelecimento. No entanto, como é de preferência de sua clientela, é necessário que a cachaça escolhida apresente um teor alcoólico de no mínimo 33% em volume. Ele consultou alguns fornecedores e obteve as seguintes informações: Na sua opinião, qual deveria ser a marca escolhida pelo comerciante? Médias e Desvio-padrão - Exercícios

34 Marca A: 34,36 ± 2,97 [31,39–37,33=-5,94] Marca B: 35,06 ± 1,35 [33,71–36,41=-2,7] Marca C:35,36 ± 2,06 [33,3–37,42=-4,12] As marcas B e C atendem ao requisito (>33%),no entanto escolheria a marca C pelo preço. Assim, teria um economia de R$ 45,00! Médias e Desvio-padrão - Exercícios

35 amintas paiva afonso


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