Gabriela Servidone Gustavo Bratfisch

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1 Gabriela Servidone 141648 Gustavo Bratfisch 136015
Noções sobre filas Gabriela Servidone Gustavo Bratfisch

2 Tópicos Introdução Processos de Nascimento e Morte Teoria de Filas
Os Sistemas de Filas M/M/1, M/M/m, M/M/m/B, M/M/N/N/K, M/G/1 Noções de Arena

3 Processos de Nascimento e Morte
São Cadeias de Markov onde as transições de estado são restritas a estados vizinhos apenas, É possível representar o estado através de um número inteiro. Exemplo: nascimento ou chegada Estado (pessoas na fila) 1 2    n-1 n n+1    morte ou partida

4 Teoria de Filas Ferramenta matemática para tratar de eventos aleatórios, É o estudo da espera em filas, Proporciona uma maneira de definir o ambiente de um sistema de filas matematicamente, Permite prever respostas prováveis e tempos de espera.

5 Objetivo Avaliar o comportamento de um sistema de filas e seus parâmetros, exemplos: Tempo de espera médio, Probabilidade de formação de fila, Porcentagem de clientes rejeitados pelo sistema, Probabilidade de um cliente esperar mais do que um certo tempo, Número médio de clientes na fila, Probabilidade de que todos os servidores estejam ociosos.

6 Características de um sistema de fila
(Ex.: Usuários de computadores de uso compartilhado)

7 Características de um sistema de fila
Processo de Chegada Distribuição de Tempo de Serviço Quantidade de Servidores Tamanho do Sistema de Fila População de Clientes Disciplina de Atendimento

8 1. Processo de chegada Se os clientes chegam em instantes t1, t2, ..., tj a variável randômica j = tj - tj-1 é chamada Tempo Interchegadas, Assume-se que os j formam uma sequencia de variáveis aleatórias independentes identicamente distribuídas (v.a. IID), O processo de chegada mais comum é o Processo de Poisson. Isto significa que os Tempos Interchegadas são exponencialmente distribuídos, Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral.

9 2. Distribuição de Tempo de Serviço (Processo de Serviço)
O tempo gasto por cada cliente num computador é chamado Tempo de Serviço, É aceitável supor que os Tempos de Serviço de cada cliente sejam variáveis aleatórias IID, A distribuição mais utilizada para o Tempo de Serviço é a Distribuição Exponencial, Outras distribuições podem ser utilizadas, tais como a Hiperexponencial, Erlang e Geral.

10 3. Quantidade de Servidores
Single Server – atende a apenas um cliente de cada vez, Multi-Server – possui m servidores, podendo atender m clientes simultaneamente. Infinite Server – cada cliente que chega encontra sempre um servidor disponível.

11 4. Tamanho do Sistema (Capacidade do Sistema)
Capacidade do sistema = capacidade da fila de espera + quantidade de servidores (posições de serviço) A capacidade máxima de clientes no sistema poderá ser limitada por questões de espaço, custo ou para evitar um tempo de espera muito longo Na maior parte dos sistemas, a capacidade da fila é limitada (finita) Em sistemas com filas de capacidade infinita, todos os clientes serão atendidos Em sistemas sem capacidade de espera ou com capacidade limitada, pode ocorrer rejeição de clientes

12 5. População de Clientes É a quantidade de usuários em potencial que pode, em algum momento, usar o sistema (ex.: clientes de banco, programa de computador, assinante de linha telefônica), Nos sistema reais a população é limitada (finita), Quando a população é finita, a taxa de chegada dependerá da população, População Infinita – taxa de chegada constante, População Finita – taxa de chegada variável.

13 6. Disciplina de Serviço De uma fila, é o método de escolha da sequencia de atendimento dos clientes na fila, A disciplina mais utilizada é a FCFS ou FIFO (primeiro a chegar é o primeiro a sair da fila), Outras disciplinas: LCFS, SIRO, RR, O atendimento pode ser priorizado em função de: Tempo esperado de atendimento, ex.: menos demorado primeiro, Tamanho do cliente (pacote de mensagem), ex.: maior primeiro, menor primeiro, Maior sensibilidade a atrasos, ex.: mais sensíveis primeiro, Qualidade de serviço (QoS).

14 Tipos de Atendimento Disciplina de Descrição Serviço FCFS/FIFO
First Come First to be Served LIFS/LIFO Last In First to be Served SIRO Select In Random Order RD Atendimento baseado em prioridade GD Distribuição genérica

15 Classificação de Sistema de Fila
Um sistema de fila é classificado por suas características, Utiliza-se a Notação de Kendall. A/ S / m / B / K / DS Onde: A = Distribuição de tempo interchegada S = Distribuição de tempo de serviço m = Número de canais de serviço simultâneo (servidores) B = Quantidade de Buffers ou capacidade do sistema K = Tamanho da população DS = Disciplina de serviço

16 Distribuições As distribuições utilizadas para o tempo interchegada e tempo de serviço são simbolizadas por uma letra, conforme a seguir: M = Exponencial Ek = Erlang, com parâmetro K Hk = Hiperexponencial, com parâmetro K D = Determinístico G = Distribuição Genérica A distribuição exponencial é chamada memoryless (M) Uma distribuição determinística (D) significa tempo de chegada e tempo de serviço constante, ou sem variância

17 Exemplo M/M/3/20/1500/FCFS Tempo interchegada exponencialmente distribuído, Tempo de serviço exponencialmente distribuído, Existem 3 servidores, A fila possui um total de 20 posições de buffer. Consistindo em 3 buffers para cada servidor, 17 posições de espera compartilhados entre os três servidores. Se a quantidade de clientes no sistema for 20, os clientes que chegam são perdidos até que a fila diminua, Há uma população de 1500 clientes que podem ser atendidos, A disciplina de serviço é FCFS (primeiro a chegar, primeiro a ser servido).

18 outros exemplos M/M/1 => M/M/1/  /  / FCFS
não utilizados M/M/1 => M/M/1/  /  / FCFS Desprezar os três últimos símbolos quando: disciplina é FCFS, população infinita e tamanho da fila infinito Prof. Gil Pinheiro • M/M/1/B M/M/m M/M/m/B M/M/m/m • M/M/ • M/G/1 • M/D/1 M/M/m//k

19 Processos de Chegada Hipóteses
Dois clientes nunca chegam simultaneamente, – O 1º cliente chega no instante t0, o 2º no instante t1 e assim por diante ( 0 < t0 < t1 ,, ... , < tn ) Os tempos entre chegadas estão distribuídos exponencialmente, A taxa de chegada (1/) também terá distribuição exponencial.

20 Processo de Poisson Se a taxa de chegada possui distribuição exponencial, a probabilidade de k clientes chegarem dentro de T segundos pode ser modelada pela distribuição de Poisson: T Pk (T )  e T onde:  > 0, k = 0,1,2, ... k! 4 3 2 1 Chegadas Número de Chegadas tc1 tc2 tc3 tc4 tempo

21 Processo de Poisson Valor médio
Num sistema com  = 0,4 chegadas/s, em T = 8 s, ocorrerão 3,19959 chegadas aproximadamente. Em média: 0,4 x 8 = 3,2 chegadas 0,25 Pk k Pk k.Pk 0,04076 0,00000 1 0,13044 2 0,20870 0,41740 3 0,22262 0,66785 4 0,17809 0,71237 5 0,11398 0,56990 6 0,06079 0,36473 7 0,02779 0,19452 8 0,01112 0,08893 9 0,00395 0,03557 10 0,00126 0,01265 11 0,00037 0,00405 12 0,00010 0,00118 Soma = 0,99997 3,19959 Valor médio 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 k

22 Propriedades dos Processos de Poisson
1 2 3 A junção de fluxos de Poisson resulta num fluxo de Poisson  =  i p1 p2 1 =  pi p3  A partição de um fluxo de Poisson resulta em fluxos de Poisson

23 Propriedades dos Processos de Poisson
    >  Partidas de um sistema de fila M/M/1 é um fluxo de Poisson 1    2 3  i > Partidas de um sistema de fila M/M/m é um fluxo de Poisson

24 Notação de Modelos de Fila
 = Tempo interchegada = tempo decorrido entre duas chegadas sucessivas

25 Notação de Modelos de Fila
Quantidade de servidores idênticos. Taxa média de chegada, de clientes (=1/E[]). Em alguns sistemas, poderá depender do estado do sistema (quantidade de clientes). Tempo de serviço (de atendimento) de um cliente. Taxa média de serviço por servidor (=1/E[s])). Para m servidores, a taxa média de serviço é m Quantidade total de clientes no sistema, também chamada tamanho da fila. Inclui os clientes em espera por um servidor e os que estão sendo atendidos. Quantidade de clientes aguardando atendimento. É sempre menor que n, pois não inclui os clientes em serviço. Quantidade de clientes em serviço. Tempo de resposta do sistema. Ou tempo total de residência dos clientes dentro do sistema de fila (tempo de espera + tempo de atendimento). Tempo de espera para ser atendido. É o tempo decorrido entre a chegada e o início do atendimento (serviço) do cliente.  s  n nq ns r w  B  Utilização do servidor (= / ) Tamanho da fila, quando esta for finita (tamanho do Buffer) Tempo interchegadas (= 1/) Todas as variáveis, exceto  e , são variáveis aleatórias.

26 quantidade média = taxa de chegada x tempo médio de resposta
Equação de Little Permite calcular a quantidade de clientes (itens) em qualquer Sistema de Fila. Resume-se a: quantidade média = taxa de chegada x tempo médio de resposta Esta relação se aplica a um Sistema Inteiro ou parte de um Sistema de Fila Baseia-se numa visão tipo “Caixa Preta” do Sistema de Fila Chegada s Sistema de Fila (Caixa Preta) Partidas

27 Equação de Little - Aplicação
A equação de Little pode ser aplicada a um subsistema ou todo o sistema de Fila. Quantidade Tempo

28 Equação de Little - Aplicação
Aplicando a equação de Little num subsistema ou em todo o sistema de Fila: Na fila de espera: No servidor: nq =  . w ns =  . s =  /  – No sistema inteiro: n =  . r

29 O Sistema de Fila M/M/1 Sistema de fila com um servidor –
Exemplo: clientes na fila do caixa eletrônico

30 Modelo do Sistema de Fila M/M/1
Simbologia  

31 Características do M/M/1
Processo de chegada tipo Poisson (M) Tempo de serviço - distribuição exponencial (M) Quantidade de servidores (= 1) Infinitas posições na fila de espera (clientes não são perdidos) Disciplina de serviço do tipo FIFO População de clientes é infinita (taxa de chegada é constante)

32 Sistema de Fila M/M/1 - Diagrama de Transição de Estados
0 1 2 n n-2 n-1 n+1 Estado: 1 2    n–1 n n+1    1 2 3 n n-1 n+1 n+2 Estado = quantidade total de clientes no sistema Para o sistema M/M/1, temos: n =  Cte, n = 0, 1, 2, .... (taxa de chegadas no sistema) n =  Cte, n = 1, 2, 3, .... (taxa de partidas do sistema)

33 Estados do Sistema M/M/1
Um sistema de fila M/M/1 será estudado a seguir visando determinar seu equilíbrio, ou seja, quando atinge a condição de regime permanente Nessas condições, o sistema pode ser identificado através de suas propriedades estatísticas (tempo de espera, tempo de residência, tamanho da fila, tempo de espera na fila, etc) Esse estudo poderá ser estendido para outros sistemas de fila (M/M/N, M/M/N/N, etc)

34 Sistema de Fila M/M/1 - Cálculo do Estado do Sistema
 = Taxa de chegada (por unidade de tempo)  = Taxa de serviço (por unidade de tempo) 2. Utilização do servidor (=intensidade de tráfego):    /  3. Condição de Estabilidade:    4. Probabilidade de zero clientes no sistema: p0 = 1 –  5. Probabilidade de n clientes no sistema: pn = P[N = n] = (1 – n , n = 0, 1, 2, Probabilidade de haver mais que n clientes no sistema: pn+ = P[R > n] = n 1. Parâmetros: Quantidade média de clientes no sistema: n = /(1– ) Quantidade média de clientes na fila: nq = /(1– ) Tempo de residência (tempo de resposta) médio: r = 1 / [ (1 – )] Probabilidade acumulada do tempo de residência: P[ r  t ]= 1 – e–t

35 Sistema de Fila M/M/1 - Cálculo do Estado do Sistema
P(r < t) é a probabilidade do tempo de residência ser menor do que t Do gráfico, para t = 1.2 rmédio , então P(t) = 0.7, é a probabilidade de um cliente ter seu tempo de residência menor que 1.2 rmédio Sendo rmédio o tempo médio de residência = 1/(1–) 11. Percentil do tempo de residência: m(q) = r ln [ 100 / (100 – q) ] m(q): é o tempo máximo de residência para q (%) de clientes 12. Tempo médio de espera na fila: w = nq /  = ( /    (1 - )

36 Sistema de Fila M/M/1 - Exemplo 1
Um servidor de rede esta associado a 100 computadores através de uma rede (LAN). O servidor mantêm um banco de dados para consultas dos computadores. O tempo médio de resposta de uma consulta no servidor é de 0,6 segundos e o desvio do tempo é igual a média. No horário de pico, a taxa de consultas atinge a taxa de 20 consultas/minuto. Responda as seguintes questões: Qual o tempo de resposta médio? Se o tempo de resposta máximo aceitável for 1,5 s (para 90% das consultas), qual o percentual de aumento de tráfego? Com um acréscimo de 20% de tráfego, qual o aumento no tempo de resposta?

37 Sistema de Fila M/M/1 - Exemplo 1
Assumindo um modelo M/M/1 para o sistema servidor, rede e micros. Os atrasos na rede (tempo de propagação) e as colisões) são ignorados. (1) Tempo de Resposta Médio: Taxa de chegada:  = 20 / 60 = 1/3 clientes/segundo Taxa de atendimento:  = 1 / 0,6 = 10 / 6 clientes/segundo Intensidade de tráfego (=utilização do servidor):    /  = 1/3 x 6/10 = 0,2 Tempo de Resposta do Sistema: r = 1 / [1 –   0,6 / (1 – 0,2) = 0,75 s (=0,6 s no atendimento + 0,15 s na fila de espera do servidor)

38 Sistema de Fila M/M/1 - Exemplo 1
(2) Aumento de tráfego: Acréscimo no Tráfego quando r = 1,5 s para 90 % das requisições: 1,5 = r x ln[100/( )] então: r = 0,65 • Como r = (1/  1 –     1 –    • Logo:    Assim, a intensidade de tráfego () deve cair de 0,2 para 0,077 para que o tempo de residência (r) caia de 0,75 para 0,65 (3) Acréscimo no tempo de resposta: A intensidade de tráfego (utilização) foi aumentada em 20%, então:  = 0,2 + 0,2 = 0,4 • Logo: r = (1/  1 –   (1/1,667) / (1 – 0,4) = 1,00 s

39 Sistema de Fila M/M/m Sistema com m servidores iguais
Cada servidor possui uma taxa de serviço igual a  Sistema sem perdas - se todos os servidores estiverem ocupados, novos clientes aguardam na fila de espera

40 Sistema de Fila M/M/m - Diagrama de Transição de Estados
      Estado: 1    m–1 m m+1      m Para o sistema M/M/m: n =  , n = 0, 1, 2, ...,  m. m m n. , n = 1, 2, 3, ..., m-1 m., n = m, m+1, m+2, m+3, ...,  n =

41 Sistema de Fila M/M/m - Cálculo do Estado do Sistema
Parâmetros:  = Taxa de chegada  = Taxa de serviço m = Quantidade de servidores Utilização (intensidade de tráfego) média de um servidor:   m) /  Condição de Estabilidade:    Intensidade de tráfego do sistema (dos m servidores): ’   /  1  P 1 q   5. Tempo de residência médio: r    m(1 )  n  m.  .P 6. Quantidade média de clientes no sistema: q (1 )

42  m - 1 mn mm + sP sP  m(1 ) m  A  P 
7. Tempo de espera médio, sendo: w  r  s  s1 q   s m(1 )   sP sP Logo: w  q q  m(1 ) m  A Pq = probabilidade de todos os servidores estarem ocupados (ocorre formação de fila). Onde: mm P0 Pq = m!  A equação anterior é conhecida como equação de Erlang-C. Tendo sido tabulada e é bastante utilizada em sistemas de telefonia. P0 = probabilidade do sistema estar vazio (sem clientes). Dada por: 1 m - 1 mn mm  n = 0 P0 = + n! m! 

43 Sistema de Fila M/M/ Sistema com quantidade infinita de servidores,
Todo o cliente que chega ao sistema encontra um servidor livre e é imediatamente atendido, Taxas de chegada e de serviço possuem distribuição exponencial, Não existe fila de espera, o comprimento da fila e o tempo de espera são nulos, É um sistema que introduz apenas um atraso equivalente ao tempo de serviço, Utiliza as equações do sistema M/M/m na situação limite, quando m = .

44 Sistema de Fila M/M/    e Probabilidade de sistema vazio:
 p  e  Probabilidade de n clientes no sistema:    e n! n   p    Para n > 0   n    Quantidade de clientes no sistema: n      Tempo médio de residência: r  1 

45 Sistema de Fila M/M/m/B
Distribuição do tempo entre chegadas: Exponencial Distribuição do tempo de serviço: Exponencial Quantidade de Servidor(es): m Capacidade do Sistema: B Trata-se de um sistema com m servidores e B buffers, onde B  m (cada servidor possui uma posição de buffer) Se as B posições estiverem ocupadas, os clientes subseqüentes são perdidos

46 Sistema de Fila M/M/m/B - Diagrama de Transição de Estados
0 1 m m-2 m-1 m+1 k-1 Estado: 1    m–1 m m+1    B 1 2 m b m-1 m+1 m+2 Estado = quantidade de clientes no sistema Para o sistema M/M/m/B , onde B  m n =  , n = 0, 1, 2, ..., B-1 e n = 0, para n  B e n = m., para n  B n = n. , n = 1, 2, 3, ..., m

47 Sistema de Fila M/M/m/B - Diagrama de Transição de Estados
       Estado: 1    m–1 m m+1    B   m m. m m m. Estado = quantidade de clientes no sistema Sistema M/M/m/B , onde: B(buffers)  m(servers)

48 Sistema de Fila M/M/m/B
Probabilidade do sistema estar vazio, nenhum servidor ocupado: 1  Bm1 m m m1 m n 1  p0  1    n1   m!1   n! Probabilidade de haverem n clientes no sistema: m n pn  p0 Para n < m: n!  m  m n Para m ≤ n ≤ B: p p0 n m!

49 Quantidade de clientes na fila:
nq  (n  m) pn nm1 B Quantidade de clientes na fila: nq w  Tempo de espera na fila: '

50 Casos Particulares do Sistema M/M/m/B
O sistema M/M/m/B pode originar dois tipos de sistemas de fila: Sistema M/M/m/m, onde m=B, que é aplicável a sistemas de capacidade m e quantidade de servidores m, sem espaço de espera. Cada um dos m servidores comporta um cliente Sistema M/M/1/B, onde m=1, que é aplicável a sistemas de capacidade B e 1 servidor. Ou seja, B- 1 posições de espera

51 Sistema de Fila M/M/N/N/K
Sistema representado esquematicamente conforme a figura:  1  1 2  2   n   N K Sistema com N servidores, população K finita (onde: K  N). Sem espaço de espera A taxa de serviço  possui distribuição exponencial Em dado instante, existirão n clientes (onde: 0 ≤ n ≤ N) e cada um será atendido por um único servidor Se n > N, pode haver rejeição de clientes (bloqueio)

52 Sistema de Fila M/M/N/N/K
Pode ser utilizado para modelar: Uma central telefônica com K assinantes entradas e N troncos de saída Uma ERB com K usuários e N frequências de RF (canais)

53 Sistema de Fila M/G/1 Sistema de fila onde a taxa de serviço atende a distribuição Geral Pode ser utilizado, por exemplo, para modelar o tráfego em: Sistemas com prioridade não preemptivos Sistemas onde o tempo de serviço está dividido em classes conhecidas

54 Sistema de Fila M/G/1     1   2 1 w  r  s
    1   2   1  2 2   Quantidade de clientes no sistema: n    1  Tempo de residência no sistema: n  1     1 1     r    2 2  1   2  Tempo de espera na fila: w  r  s Um caso particular do sistema M/G/1 é o M/D/1 (sistema determinístico), onde: =0

55 Praticando Porque analisar diferentes modelos?

56 Obtenção de dados Dados:
É preciso estimar valores para a o tempo médio entre duas chegadas de automóveis no sistema e para o tempo médio de uma lavação. Tais informações podem ser obtidas de duas possíveis fontes: das estimativas do proprietário; amostragem realizada no sistema. Possível ser feito uma analise “grosseira” a partir de estimativas. Normalmente é usado a distribuição exponencial para o processo de chegadas.

57 Exemplo Carwash Ideia: Objetivo: Carros em fila para lavagem.
Analisar se um posto de atendimento é suficiente, Testar outros modelos, Encontrar n ótimo.

58 Exemplo Supermarket Ideia: Objetivo:
Primeiro é necessário passar as compras e depois pagar em outro local. Objetivo: Analisar se um posto de atendimento é suficiente, Testar outros modelos, Encontrar n ótimo.

59 Exemplo fabrica de pipas
Exemplo Paulo Freitas Objetivo: Analisar o comportamento de uma fábrica.

60 Dados

61 Dados

62 Dados

63 Bibliografia http://www.lee.eng.uerj.br/~gil/filas/Filas.pdf
Introdução a Simulação de Sistemas – Clovis Filho Introdução à Modelagem e Simulação de Sistemas – Paulo Freitas tradoCl%C3%A1udiaPereira.pdf Simulacao/APOSTILA_ARENA_11.pdf