Dept. de Ciência da Computação do IME

Apresentação em tema: "Dept. de Ciência da Computação do IME"— Transcrição da apresentação:

1 Dept. de Ciência da Computação do IME www.ime.usp.br/~vwsetzer
A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ILUSTRAÇÕES) Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

2 ONE-MINUTE PAPER: NO FIM DA AULA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1
ONE-MINUTE PAPER: NO FIM DA AULA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

3 Espiral de Arquimedes (passo constante)
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4 V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações
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5 Fibonacci, de autor desconhecido
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6 Trecho do original do Liber Abaci
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7 No início, nasce um casal de coelhos.
Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233. No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias: No início, nasce um casal de coelhos. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem. O tempo de gestação é de 1 mês. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês. V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

8 Recém nascidos: cinza; férteis: rosa
Os coelhos cinzas tornam-se rosas na linha seguinte; se há m coelhos rosas em uma linha, a seguinte é aumentada por m coelhos cinzas; se há um total de n coelhos numa linha, na linha seguinte haverá n coelhos rosas. Sequência de Fibonacci! Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano? f12 ! V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

9 Estátua em Pisa V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

10 Camposanto, Pisa V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

11 A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal:
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12 Convergência das curvas (exponenciais!)
1, Convergência das curvas (exponenciais!) V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

13 Considerando as duas curvas, na verdade há uma
oscilação em torno do valor de convergência “amortecimento exponencial”). Ex: amortecedor. 1, V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

14 Espiral de Fibonacci V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

15 Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo
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16 30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, aproximadamente 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas? 1; 5; 8 1; 5; 8 Φ (1,618...); 8; 13 V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

17 https://www.youtube.com/watch?v=kKWV-uU_SoI (Acionar vídeo)
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18 Aparelho usado por pintores
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19 a a' b b' α Dois triângulos com dois lados proporcionais (a/a') e um ângulo igual (α) são semelhantes. Portanto a/a' = ϕ  b/b'= ϕ V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

20 Aparelho usado por dentistas para deduzir o tamanho de implante
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21 Partenon, Atenas, com retângulos áureos
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22 Notar a construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados:
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23 Verde: espiral com arcos de círculo; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes.
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24 vermelho vermelho verde azul
––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

25 32. Como desenhar um segmento dividido na proporção áurea:
____ __ a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/ a = √ 5/ a = ½√ 5 V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

26 “EADEM MUTATA RESSURGO” “Apesar de mudada, ressurjo”
Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

27 A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos
Um triângulo áureo: ϕ 1 A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

28 Uma sequência de triângulos áureos:
1 ϕ 1+ϕ 1+2ϕ 2+3ϕ 3+5ϕ 5+8ϕ Uma sequência de triângulos áureos: A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea, ligando-se um vértice de cada base V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

29 V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações
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30 Caramujo do Tapajós V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

31 Caramujo do Tapajós V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

32 Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França
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33 Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França
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34 Notar a mesma forma das câmaras (dimensões proporcionais)
Nautilus pompilius Notar a mesma forma das câmaras (dimensões proporcionais) V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

35 Margarida V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

36 ← → (Margarida) V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

37 ← 55 34 → (Girassol) ← 55 34 → (Girassol)
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38 ← → V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

39 Brócoli Romanesco V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

40 Brócoli Romanesco V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

41 ← 34 55 → Pinha de Araucária V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações
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42 Furacão V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

43 Galáxia V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15

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ONE-MINUTE PAPER ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V.W.Setzer – Fibonacci - ilustrações 9/10/15