LÓGICA MATEMÁTICA Para os antigos e os medievais aristotélicos, os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura da própria realidade, pois.

Apresentação em tema: "LÓGICA MATEMÁTICA Para os antigos e os medievais aristotélicos, os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura da própria realidade, pois."— Transcrição da apresentação:

1 LÓGICA MATEMÁTICA Para os antigos e os medievais aristotélicos, os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura da própria realidade, pois o pensamento exprime o real e dele participa. Aristóteles dizia que a verdade e a falsidade são propriedades do pensamento e não das coisas; que a realidade e a irrealidade (aparência ilusória) são propriedades das coisas e não do pensamento; mas que um pensamento verdadeiro devia exprimir a realidade da coisa pensada, enquanto um pensamento falso nada podia exprimir.

2 LÓGICA MATEMÁTICA Para os medievais terministas e para os modernos (século XVII), a lógica era uma arte de pensar, para bem conduzir a razão nas ciências. Os princípios e as leis da lógica correspondiam à estrutura do próprio pensamento, sobretudo à do raciocínio dedutivo – para os filósofos franceses de Port-Royal – e à do raciocínio indutivo – para o filósofo inglês Francis Bacon. Como arte de pensar, a lógica oferecia ao conhecimento científico e filosófico as leis do pensamento verdadeiro e os procedimentos para a avaliação dos conhecimentos adquiridos.

3 LÓGICA MATEMÁTICA Essa lógica – antiga e moderna – não era plenamente formal, pois não era indiferente aos conteúdos das proposições, nem às operações intelectuais do sujeito do conhecimento. A forma lógica recebia o valor de verdade ou falsidade a partir da verdade ou falsidade dos atos de conhecimento do sujeito e da realidade ou irrealidade dos objetos conhecidos. Ao contrário, a lógica contemporânea, procurando tornar-se um puro simbolismo do tipo matemático e um cálculo simbólico, preocupa-se cada vez menos com o conteúdo material das proposições (a realidade dos objetos referidos pela proposição) e com as operações intelectuais do sujeito do conhecimento (a estrutura do pensamento). Tornou-se plenamente formal.

4 LÓGICA MATEMÁTICA Assim, como o matemático lida com objetos que foram construídos pelas próprias operações matemáticas, de acordo com princípios e regras prefixados e aceitos por todos, assim também o lógico elabora os símbolos e as operações que constituem o objeto lógico por excelência, a proposição. O lógico indaga que forma deve possuir uma proposição para que: seja-lhe atribuída o valor de verdade ou falsidade; represente a forma do pensamento; e represente a relação entre pensamento, linguagem e realidade.

5 LÓGICA MATEMÁTICA A lógica descreve as formas, as propriedades e as relações das proposições, graças à construção de um simbolismo regulado e ordenado que permite diferenciar linguagem cotidiana e linguagem lógica formalizada. Boole definiu a lógica como o “método que repousa sobre o emprego de símbolos, dos quais se conhecem as leis gerais de combinação e cujos resultados admitem interpretação coerente”.

6 LÓGICA MATEMÁTICA A lógica tornou-se cada vez mais uma ciência formal da linguagem, mas de uma linguagem muito especial, que nada tem a ver com a linguagem cotidiana, pois trata-se de uma linguagem inteiramente construída por ela mesma, partindo do modelo da matemática. Dois aspectos devem ser mencionados para melhor compreendermos a relação entre a lógica contemporânea e a matemática.

7 LÓGICA MATEMÁTICA 1. A mudança no modo de conceber o que seja a matemática: Durante séculos (na verdade, desde os gregos), considerou-se a matemática uma ciência baseada na intuição intelectual de verdades absolutas, existentes em si e por si mesmas, sem depender de qualquer interferência humana. Os axiomas, as figuras geométricas, os números e as operações aritméticas, os símbolos e as operações algébricas eram considerados verdades absolutas, universais, necessárias, que existiriam com ou sem os homens e que permaneceriam existindo mesmo se os humanos desaparecessem (para muitos filósofos, a matemática chegou a ser considerada a ciência divina por excelência).

8 LÓGICA MATEMÁTICA No entanto, desde o século XIX passou-se a considerar a matemática uma ciência que resulta de uma construção intelectual , uma invenção do espírito humano, sem que suas entidades sejam existentes em si e por si mesmas. Os entes matemáticos são puras idealidades construídas pelo intelecto ou pelo pensamento, que formula um conjunto rigoroso de princípios, regras, normas e operações, para a criação de figuras, números, símbolos, cálculos, etc. No final do século XIX, o matemático italiano Peano realizou um estudo sobre a aritmética dos números cardinais finitos demonstrando que podia ser derivada de cinco axiomas ou proposições primitivas e de três termos não definíveis –z e r o, Número e sucessor de.

9 LÓGICA MATEMÁTICA Desta maneira, a matemática surgia como um ramo da lógica, cabendo ao alemão Frege e aos ingleses Bertrand Russell e Alfred Whitehead prosseguir o trabalho de Peano, oferecendo as definições lógicas dos três termos que o matemático italiano julgara indefiníveis. Frege ofereceu o primeiro conceito de sistema formal e os primeiros exemplos do cálculo de proposições e de predicados. A matemática é uma ciência de formas e cálculos puros organizados numa linguagem simbólica perfeita, na qual cada signo é um algoritmo, isto é, um símbolo com um único sentido. É elaborada pelo espírito humano e não um pensamento intuitivo que contemplaria entidades perfeitas e eternas, existentes em si e por si mesmas.

10 LÓGICA MATEMÁTICA Seu objeto passou a ser o estudo de um tipo determinado de discurso: a proposição e as relações entre proposições. Sua finalidade tornou-se o projeto de oferecer normas e critérios para uma linguagem perfeita, capaz de avaliar as demais linguagens (científicas, filosóficas, artísticas, cotidianas, etc.). Para conseguir seu propósito, a lógica distingue dois níveis de linguagem: 1. linguagem natural , isto é, aquela que usamos em nossa vida cotidiana, nas artes, na política, na filosofia; 2. linguagem formal , isto é, aquela que é construída segundo princípios e regras determinados que descrevem um tipo específico de objeto, o objeto das ciências. Essa distinção também pode ser apresentada como diferença entre dois tipos de linguagem simbólicas:

11 LÓGICA MATEMÁTICA 1. a linguagem simbólica cultural (a linguagem “natural”), que usa signos, metáforas, analogias, esquemas para exprimir significações cotidianas, religiosas, artísticas, políticas, filosóficas. A principal característica desse simbolismo é ser conotativo, isto é, os símbolos carregam muitos sentidos e referem-se a muitas significações. A linguagem cultural é polissêmica, isto é, nela as palavras possuem inúmeros significados;

12 LÓGICA MATEMÁTICA 2. a linguagem simbólica lógico-científica (a linguagem “construída”), que usa um sistema fechado de signos ou símbolos (o algoritmo), em que cada símbolo é símbolo de uma única coisa e corresponde a uma única significação. Sua principal característica é ser essencialmente um simbolismo denotativo ou indicativo, evitando a polissemia e afirmando a univocidade do sentido simbolizado. Por exemplo: H2O, +, x, =,→ ,≡ , etc. são símbolos denotativos ou indicativos de um só objeto ou de um só sentido; são algoritmos.

13 LÓGICA MATEMÁTICA A lógica ocupa-se com a linguagem formal ou com a linguagem simbólico-científica. Por ser um discurso ou uma linguagem que fala de outro discurso ou de outra linguagem, se diz que ela é uma mealinguagem. Obs.: Copi – p. 225 – o valor dos símbolos

14 LÓGICA MATEMÁTICA

15 Lógica Matemática -Conceitos Preliminares Cálculo Proposicional
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. · A lua é quadrada. · A neve é branca. · Matemática é uma ciência. . 3 < 4 .  = 3,14 . 1 é primo . Zero é par

16 Sentença e Proposição A lógica formal pode representar as afirmações que fazemos em linguagem cotidiana para apresentar fatos ou transmitir informações. Uma proposição (ou declaração) é uma sentença que é falsa ou verdadeira. Considere as seguintes sentenças: (a) Dez é menor do que sete. (b) Como está você? (c) Ela é muito talentosa. (d) Existe vida em outros planetas do universo. É uma proposição, já que é falsa. Não pode ser considerada falsa ou verdadeira, não é proposição. Não é uma proposição. Ela não está especificada, não é falsa nem verdadeira. É proposição. Não é preciso sermos capazes de decidir qual das alternativas é válida.

17 Consideração inicial A lógica analisa os argumentos em vista de sua validade, não de sua veracidade. Ex: Se todo homem dessa sala é candidato a engenheiro e se todo candidato a engenheiro é bonito então todo homem dessa sala é bonito. Ex: Pedro é um sujeito mais bonito que o Brad Pitt e o Marcelo Anthony juntos. O time das Malucas Felizes vai ganhar o torneio de Handball da Faculdade. Essa frase é falsa.

18 Proposição Exemplo: Foi detectado que alguns prefeitos não moram nos municípios onde trabalham. O governo federal criou então o município de Pizzalândia e nele só podem morar os prefeitos que não moram em seus municípios. Onde mora o prefeito de Pizzalândia?

19 TERMO (Palavra) – Definição:
Cálculo Proposicional TERMO (Palavra) – Definição: Definição de um objeto. Exemplo: Paula Um filme de terror Triângulo retângulo

20 A Lua é um satélite da Terra.
PROPOSIÇÃO – Definição Todo o conjunto de termos ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Exemplo: Todo homem é mortal. A Lua é um satélite da Terra. sen /2 = cos /2

21 PROPOSIÇÃO – Definição
As PROPOSIÇÕES transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.

22 A linguagem NATURAL permite vários tipos
PROPOSIÇÃO – Definição A linguagem NATURAL permite vários tipos de proposições: DECLARATIVA: Meu carro é azul. INTERROGATIVA: Está frio? EXCLAMATIVA: Que lindo! IMPERATIVA: Cale a boca.

23 CÁLCULO PROPOSICIONAL:
PROPOSIÇÃO – Definição CÁLCULO PROPOSICIONAL: Permite apenas as proposições DECLARATIVAS.

24 Exercício Quais das frases a seguir são proposições declarativas?
A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem. x2 – 4 = 0.

25 Exercício Quais das frases a seguir são proposições?
A lua é feita de queijo verde. Ele é, certamente, um homem alto. Dois é um número primo. O jogo vai acabar logo? Os juros vão subir ano que vem. Os juros vão descer ano que vem. x2 – 4 = 0.

26 PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS
A Lógica Matemática adota como regras fundamentais do pensamento os 2 princípios: I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO. II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO.

27 PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS
I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição NÃO pode ser FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo. O Brasil é pentacampeão de futebol. Verdade (V) O Brasil possui pena de morte. Falso (F)

28 PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS
II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é VERDADEIRA ou FALSA, isto é, verifica-se sempre um destes casos e NUNCA UM TERCEIRO. LÓGICA BIVALENTE

29 VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO
O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é: VERDADE se esta for VERDADEIRA; FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.

30 Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F.
VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO Assim, o que os princípios da não contradição e o do terceiro excluido afirmam é que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F.

31 Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir?
O número 17 é primo. ( ) Fortaleza é a capital do Maranhão. ( ) TIRADENTES morreu afogado. ( ) (3 + 5)2 = ( ) O valor archimediano de  é 22/7. ( ) -1 < -7. ( ) 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( ) As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( ) Todo polígono regular convexo é inscritível. ( ) O hexaedro regular tem 8 arestas. ( ) O número 17 é primo. ( V Fortaleza é a capital do Maranhão. ( F TIRADENTES morreu afogado. ( F (3 + 5)2 = ( F O valor archimediano de  é 22/7. ( V -1 < -7. ( F 0,131313… é uma dízima periódica simples. ( V As diagonais de um paralelogramo são iguais. ( F Todo polígono regular convexo é inscritível. ( V O hexaedro regular tem 8 arestas. ( F

32 Qual é Valor Lógico (V ou F) das proposições a seguir?
A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( ) Todo número divisível por 5 termina por 5. ( ) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( ) sen2 30º + sen2 60º = 2. ( ) … + (2n – 1)2 = n2. ( ) As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( ) O número 125 é cubo perfeito. ( ) 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( ) O cubo é um poliedro regular. ( ) tg /4 < tg /6. ( ) A expressão n2 – n + 41 (nN) só produz números primos. ( F Todo número divisível por 5 termina por 5. ( F O produto de dois números ímpares é um número ímpar. ( V sen2 30º + sen2 60º = 2. ( F … + (2n – 1)2 = n2. ( V As raízes da equação x3 - 1 = 0 são todas reais. ( V O número 125 é cubo perfeito. ( V 0, 4 e -4 são raízes da equação x3 - 16x = 0. ( V O cubo é um poliedro regular. ( V tg /4 < tg /6. ( F