Prof. Josenildo dos Santos MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS CONTABILIDADE ESTRATÉGICA 2º MÓDULO.

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1 Prof. Josenildo dos Santos MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS CONTABILIDADE ESTRATÉGICA 2º MÓDULO

2 Prof. Josenildo dos Santos POPULAÇÃO: Conjunto de todos os indivíduos que possuem uma característica de interesse. AMOSTRA: Subconjunto de uma População extraído ao acaso.

3 Prof. Josenildo dos Santos ATENÇÃO: Quem estabelece uma População é a característica de interesse.

4 Prof. Josenildo dos Santos VARIÁVEL: É a característica de interesse de uma População podendo ser Qualitativa ou Quantitativa.

5 Prof. Josenildo dos Santos VARIÁVEL QUALITATIVA Quando seu atributo é classificável. Exemplo: Sexo: Masculino ou Feminino, Nacionalidade, etc.

6 Prof. Josenildo dos Santos VARIÁVEL QUANTITATIVA Quando é mensurável, isto é, uma variável é Quantitativa, quando a característica de interesse for expressa em forma numérica, quer por contagem ou não.

7 Prof. Josenildo dos Santos Qualitativa Escala Nominal Escala Ordinal Categórica Quantitativa Numérica Escala de Intervalo Escala de Proporcionalidade DiscretaContínua QUADRO GERAL DAS VARIÁVEIS Tipo de Variável

8 Prof. Josenildo dos Santos VARIÁVEL CATEGORIZADA A variável aleatória categorizada produz resposta categorizada.

9 Prof. Josenildo dos Santos EXEMPLOS PRÁTICOS DE VARIÁVEIS Variáveis CategorizadasNa sua família existem diabéticos? SIM NÃO Você possui catarata? A resposta da pergunta acima é categorizada Os humanos subdividem quanto ao sexo em: MASCULINO FEMININO

10 Prof. Josenildo dos Santos Em resumo, VARIÁVEL QUALITATIVA (categorizada) quando o atributo é classificável. Exemplo: Sexo, Nacionalidade... VARIÁVEL QUANTITATIVA produz resposta numérica

11 Prof. Josenildo dos Santos VARIÁVEIS NUMÉRICAS DISCRETA Quantos pacientes o HC atende por dia ?... Número Qual a altura de cada paciente do HC ?... metros CONTÍNUA

12 Prof. Josenildo dos Santos EXERCÍCIO: A variável numérica: Quantidade de pequenas empresas da Região Metropolitana do Recife é discreta ou contínua? Porquê?

13 Prof. Josenildo dos Santos QUADRO GERAL DO TRABALHO CIENTÍFICO FONTE DE DADOS Utilizar dados já publicados Projetar uma Experiência Considerações éticas Realizar uma Pesquisa Probabilística Não Probabilística Tipo de amostra

14 Prof. Josenildo dos Santos Para avaliar uma série de observações (uma amostra de dados) existem, com base na estatística descritiva, duas medidas de tendência central:as de posição e as de dispersão. Medidas de Tendência Central

15 Prof. Josenildo dos Santos 1.Medidas de Posição São os valores pontuais ou centrais em torno dos quais se acumulam os dados observados. Exemplos: mediana, moda e média aritmética percentis e quartis

16 Prof. Josenildo dos Santos 2. Medidas de dispersão Em grau numérico, evidenciam o quanto os dados se distanciam de um valor médio.

17 Prof. Josenildo dos Santos Medidas de posição 1.Mediana Mediana – é uma medida de tendência central, denotada por M d, e igual ao valor da série ordenada que está numa posição eqüidistante dos extremos dos elementos da série.

18 Prof. Josenildo dos Santos Assim, podemos concluir: Numa série de n observações ordenadas de forma crescente, a mediana é o valor da observação, em duas metades iguais, numa delas com valores inferiores ao valor da mediana e a outra com valores superiores. Portanto, para calcular a mediana podemos seguir as etapas:

19 Prof. Josenildo dos Santos Se a série de dados tiver um numero ímpar de observações, então o valor da mediana é o próprio elemento que está no meio da série, o elemento de ordem igual a (n+1)/2. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Mediana ordem= (5+1)/2=3 1. Situação Ímpar

20 Prof. Josenildo dos Santos Se a série de dados tiver um numero par de observações não existirá um valor no centro da série, portanto, para calcular o valor da mediana devemos dividir por dois a soma dos valores das observações com ordem n/2 e n/2 +1. MdMd a 1 a 2 a 3 a 4 2. Situação Par

21 Prof. Josenildo dos Santos Alem disso, podemos observar as principais vantagens e desvantagens da mediana Vantagens: 1.Fácil de determinar; 2.Não é afetada pelos valores extremos; 3.Parece ser uma medida correta, pois divide a série em duas partes iguais a 50%. Desvantagens: 1.Difícil de incluir em equações matemáticas; 2.Não usa todos os dados disponíveis

22 Prof. Josenildo dos Santos - ordenar a série de dados acima em ordem crescente e obtenha o máxima e mínimo. - Obter média, moda e media aritmética 2.Moda Moda – é uma medida de tendência central, é igual ao valor da série que mais se repete, isto é, que tem maior freqüência. Podemos, assim, concluir que: 1.a moda é também uma medida resistente, pois está relacionada apenas com a freqüência de um ou mais elementos da série de observações. Por exemplo, a mudança de valor de um elemento da série pode não afetar o valor da moda. 2.comparando à mediana, a moda não tem que representar mais da metade das observações, apenas representa a observação, ou classe, que tem maior freqüência.

23 Prof. Josenildo dos Santos Além disso, podemos resumir as principais vantagens e desvantagens da moda: Vantagens: 1.Fácil de calcular; 2.não é afetada pelos valores extremos. Desvantagens: 1.pode estar afastada do centro das observações; 2.difícil de incluir em equações matemáticas; 3.a distribuição pode ter mais de uma moda; 4.não usa todos os dados disponíveis.

24 Prof. Josenildo dos Santos 3. Média Aritmética Seja X a seqüência de observações, representa uma populacao ou uma amostra. X = ( x 1, x 2,..., x n ) onde x 1 é o primeiro dado da série, x n é o último dado da seqüência e x i é um elemento qualquer da mesma seqüência. Define-se a) média da população  x é o resultado de divisão da soma de todos os elementos da seqüência pelo número de elementos  x = ( x 1 + x 2...+ x n ) /n b) média da amostra, suponhamos que nessa amostra temos m<n, assim _ X = ( x 1 + x 2...+ x m ) /m Exemplos: calcular a média do exemplo da hemoglobina.

25 Prof. Josenildo dos Santos 10,212,013,712,910,411,114,9 13,313,412,912,1 10,99,4 10,611,910,511,413,712,511,8 12,111,212,915,111,410,712,7 9,314,613,511,114,613,510,9 8,811,510,212,011,611,012,5 11,313,514,710,8 11,713,3 13,014,111,610,313,113,69,7 12,910,613,411,412,311,911,0 10,911,713,110,911,810,412,2 Exemplos: amostra de hemoglobina obtida de 70 mulheres ordenar a série de dados acima em ordem crescente e obtenha o máxima e mínimo. - Obter média, moda e media aritmética

26 Prof. Josenildo dos Santos Assim, temos as seguintes conclusões: 1.a medida de posição mais usada é a média aritmética de uma seqüência de observações 2.o valor da média pode ser interpretado de forma geométrica, isto é, pode- se ver que o valor da média aritmética está posicionado entre os dados de forma equilibrada, isto é, todos os dados se distribuem ao redor da média. 3.a soma dos desvios das observações de uma seqüência é sempre igual a zero. 4.a soma dos quadrados dos desvios das observações de uma seqüência é sempre um valor mínimo.

27 Prof. Josenildo dos Santos MÉTODOS QUANTITATIVOS

28 Prof. Josenildo dos Santos Lembre-se: Os métodos que podem medir os fenômenos devido ao acaso são: Probabilístico » Pelo método probabilístico apriori, podemos ter uma estimativa dos casos favoráveis à realização do fenômeno. Estatístico » Pelo método estatístico ou a posteriori, sabemos com que freqüência, em relação a massa geral, acontecem os casos favoráveis ao aparecimento do fenômeno. do fenômeno.

29 Prof. Josenildo dos Santos Assim definimos: A probabilidade matemática apriori como sendo a relação entre os casos favoráveis de realização de um acontecimento sobre os casos igualmente possíveis.

30 Prof. Josenildo dos Santos p = Número de casos favoráveis Número de casos possíveis p = Número de casos favoráveis Nº de casos favoráveis + Nº de casos contrários

31 Prof. Josenildo dos Santos Por outro lado, a probabilidade contrária é representada por q e definida por q = Número de casos contrários Número de casos possíveis

32 Prof. Josenildo dos Santos Conseqüentemente, p+q = Nº de casos favoráveis + Nº de caos contrários Número de casos possíveis p+q = 1q = 1-p

33 Prof. Josenildo dos Santos EXEMPLO 2 : Seja uma população formada por cinco bolas numeradas com os números 2, 4, 6, 8 e 10 que estão dentro de uma urna da qual retiramos amostras. Pode-se calcular o valor esperado das medidas amostrais X referentes as amostras de tamanho n=2 retiradas da população. Solução:... Conclusão:   A população tem média µ x = 6 O valor esperado das médias amostrais E [ X ] = 6 Em outras palavras o valor esperado das médias amostrais é o próprio valor da média da população.

34 Prof. Josenildo dos Santos HISTOGRAMA DAS MÉDIAS AMOSTRAIS DE TAMANHO N = 2 3 4 5 6 7 8 9 Probabilidade 10% 20% X P

35 Prof. Josenildo dos Santos Na prática temos: A distribuição em questão pode ser aproximadamente normal. Qualquer amostra real pode se desviar das características teóricas esperadas.  

36 Prof. Josenildo dos Santos DISTRIBUIÇÃO NORMAL Prob.: X ~ N ( µ 1 σ 2 ) X tem distribuição normal ( N ) com média µ e variância σ 2. Características da Distribuição Normal  Em termos de forma, ela é simétrica e tem o formato de um sino

37 Prof. Josenildo dos Santos  Suas medidas de tendência central (média aritmética, mediana, moda, média de intervalo e média das juntas) são todas idênticas (Exercício: Usar o livro texto e o SPSS).  Sua dispersão média é igual a 1,33 desvio padrão. Isto significa que o intervalo interquantil está contido dentro de um intervalo de dois terços de desvio padrão, abaixo da média aritmética e dois terços de um desvio padrão acima da média (exerc.)  Sua variável aleatória associada possui uma intervalo infinito ( - oo < X < oo )

38 Prof. Josenildo dos Santos N a verdade, um fenômeno que possa ser aproximado por um modelo de distribuição normal, pode ter as seguintes características: C 1 - Seu polígono pode apenas aproximadamente ter formato de um sino e ter aparência simétrica.

39 Prof. Josenildo dos Santos C 2 - Suas medidas de tendência central pode divergir ligeiramente uma da outra. C 3 - O valor de seu intervalo interquantil pode definir ligeiramente de 1,33 desvio padrão. C 4 - Se o intervalo prático não será infinito, não geralmente estará entre 3 (três) desvios padrões acima e abaixo da média aritmética ( isto é intervalo de amplitude ~ 6 desvios padrões)

40 Prof. Josenildo dos Santos MODELANDO: Modelo Funcional da Distribuição Normal.

41 Prof. Josenildo dos Santos O modelo matemático da função de densidade da probabilidade para a distribuição normal é dado por: f(x) = 1 σ 2π ҽ -½ ( X-µX-µ σ ) 2 Onde: µ = ( média da população ) = σ = ( variância da população ) = σ = ( desvio padrão ) = 2 M N i=1 XiXi N M N N ( X i - µ ) 2 M N i=1 N ( X i - µ ) 2

42 Prof. Josenildo dos Santos TABELA DE FREQÜÊNCIA DE CLASSES Define-se como sendo o arranjo da massa de dados em uma tabela de freqüência, na qual os dados são agrupados em classes de intervalo de comprimento constante. Para estabelecer o intervalo de comprimento das classes que irão representar os dados, pode-se utilizar a seguinte expressão: m = 0,9 n Onde: m - número de classes N - número de observações

43 Prof. Josenildo dos Santos Segundo Sturges() existe, também a proposta m = 1 + log 2 n, com o objetivo de estabelecer o número de classes. No entanto, faz-se necessário ressaltar que estas formulações (ver fig.II) não são rígidas, ou seja tenham que ser aplicadas. O critério para se estabelecer o comprimento das classes depende, em muito, do conhecimento do pesquisador sobre o assunto.

44 Prof. Josenildo dos Santos 0 50 100 150 200 250 300 m = 0,9 n m n w 16 -- 14 -- 12 -- 10 -- 8 -- 6 -- 4 -- 2 -- Tamanho da amostra (n) Número de classes (m) --

45 Prof. Josenildo dos Santos ASSIMETRIA E CURTOSE Ao se representar uma série de observações (ou uma massa de dados) através dos pontos médios das classes, em função da freqüência, percebe-se que o gráfico pode ser simétrico, ou seja, possui a mesma forma à esquerda e à direita da moda ( fig. III), ou pode ser assimétrica (fig.IV).

46 Prof. Josenildo dos Santos Moda = média = mediana freqüência classes 3M d - M o Ma=Ma= 2 Fig. III Fig III - distribuição de freqüência

47 Prof. Josenildo dos Santos freqüência classes Fig. IV moda mediana média moda mediana média

48 Prof. Josenildo dos Santos CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA Para determinar o coeficiente de assimetria CA utiliza-se a seguinte relação: Então: Se CA 3 = 0 - a massa de dados tem representação simétrica Se CA 3 < 0 - indica uma assimetria negativa Se CA 3 > 0 - indica uma assimetria positiva (X i - X) 3 n S 3 w i=1 n CA 3 = (X i - X) 2 n -1 w i=1 n S =, onde O desvio padrão da amostra

49 Prof. Josenildo dos Santos CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CURTOSE Denomina-se de curtose, o grau de achatamento da curva em torno do eixo máximo (moda). Esta característica é exclusiva para a distribuição simétrica. O coeficiente de curtose CC 4 é calculado pela seguinte relação: Então : Se CC 4 = 3 temos uma mesocurtose Se CC 4 > 3 temos uma leptocurtose Se CC 4 < 4 temos uma platicurtose (X i - X) 4 n S 4 w i=1 n CC 4 = (X i - X) 2 n -1 i=1 n S =, onde O desvio padrão da amostra w

50 Prof. Josenildo dos Santos De fato, existem vários níveis de achatamento da curtose, no entanto iremos considerar neste trabalho apenas os três citados acima. freqüência classes leptocurtose mesocurtose platicurtose

51 Prof. Josenildo dos Santos TABELA DE FREQÜÊNCIA A apresentação de uma série de observações (dados) em uma tabela de freqüência, é o arranjo que se dá ao organizá-los em colunas. Na primeira coluna, normalmente, colocam-se os dados em ordem crescente e sem repetí-los. Nas outras colunas, adicionam-se a freqüência observada (f o ) e ou relativa com a probabilidade observada (p o ).

52 Prof. Josenildo dos Santos A freqüência observada (f o ) é o número de vezes que cada elemento se repete, enquanto que a freqüência relativa (f r ) - ou probabilidade observada- é a relação percentual da "f o " pelo total de dados (no caso da probabilidade observada é razão entre a freqüência observada e o número total de dados). Por vezes faz- se necessário apresentar a probabilidade esperada (p e ), a diferença p o - p e, Z-Teste ou X 2 -Teste ou outros testes.