MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 1º Ano Inequação logarítmica

Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Uma colônia de bactérias, que já possui 100000 bactérias, aumenta a quantidade das mesmas a uma taxa de 20% ao dia. Com base nessas informações, podemos estabelecer uma equação que expresse a quantidade de bactérias em função do tempo, em dias: y = 100 000 ∙ (1 + 0,2)t y = 100 000 ∙ (1,2)t

Aplicando, então, as propriedades dos logaritmos, teremos: Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Podemos, assim, obter t em função de y, aplicando logaritmo aos dois membros da equação anterior: log1,2 y = log1,2 [100 000 ∙ (1,2)t] Aplicando, então, as propriedades dos logaritmos, teremos: log1,2 y = log1,2 100 000 + log1,2 (1,2)t log1,2 (1,2)t = log1,2 y − log1,2 100 000 t ∙ log1,2 1,2 = log1,2 y . 100 000 t = log1,2 y .

Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Com essa expressão matemática, é possível prever o que acontecerá em relação à quantidade de bactérias da colônia em determinada quantidade de dias, se as condições não forem modificadas. Por exemplo: Se não for aplicado nenhum antibiótico em 10 dias, a quantidade de bactérias y será tal que: log1,2 y > 10 100 000

Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Inequações como essa, que têm a variável no logaritmando ou na base de um logaritmo, são chamadas de inequações logarítmicas. Assim: Inequação logarítmica é toda inequação que apresenta a variável no logaritmando ou na base de um logaritmo.

log5 (x² − 4) − log5 (x + 2) ≥ log5 (2x + 1) Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Exemplos: log2 (3x + 4) > 5 log3 (2x − 5) ≤ log3 (5x + 1) log4 x + log4 (x + 2) < 8 log5 (x² − 4) − log5 (x + 2) ≥ log5 (2x + 1) log (x + 3) + log (4x − 5) > log (2x − 7) + log (3x + 2)

loga b > loga c se, e somente se, b > c, com a > 1; Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica A resolução de uma inequação logarítmica baseia-se nas seguintes propriedades das funções logarítmicas: loga b > loga c se, e somente se, b > c, com a > 1; loga b > loga c se, e somente se, b < c, com 0 < a < 1. Vamos, então, resolver algumas inequações logarítmicas como exemplo.

Primeiro, vejamos a condição de existência: 2x − 6 > 0 2x > 6 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica log3 (2x − 6) < log3 4 Primeiro, vejamos a condição de existência: 2x − 6 > 0 2x > 6 x > 3 Agora, aplicando a primeira propriedade, vista no slide anterior (pois a base do logaritmo é maior que 1), teremos que:

x > 3 (condição de existência) e x < 5 Logo: Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica 2x − 6 < 4 2x < 4 + 6 2x < 10 x < 5 Temos, então que: x > 3 (condição de existência) e x < 5 Logo: S = {x  R | 3 < x < 5}

A condição de existência será: 2x − 8 > 0 2x > 8 x > 4 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica log0,5 (2x − 8) > log0,5 6 A condição de existência será: 2x − 8 > 0 2x > 8 x > 4 Aplicando, agora, a segunda propriedade das funções logarítmicas (pois a base é maior que 0 e menor que 1), teremos que:

x > 4 (condição de existência) e x < 7. Logo: Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica 2x − 8 < 6 2x < 6 + 8 2x < 14 x < 7 Temos, então que: x > 4 (condição de existência) e x < 7. Logo: S = {x  R | 4 < x < 7}

x = − 0  2 x’ = − 2 = − 1 e x” = 2 = 1 log2 (x² − 1) ≥ log2 3 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica log2 (x² − 1) ≥ log2 3 Observando a condição de existência: x² − 1 > 0 = 0² − 4 ∙ 1 ∙ (− 1) = 4 x = − 0  2 2 ∙ 1 x’ = − 2 = − 1 e x” = 2 = 1 2 2

Portanto: x < − 1 ou x > 1 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Portanto: x < − 1 ou x > 1 Aplicando, agora, a primeira propriedade das funções logarítmicas (pois a base é maior que 1), teremos: x² − 1 ≥ 3 x² − 1 − 3 ≥ 0 x² − 4 ≥ 0 = 0² − 4 ∙ 1 ∙ (− 4) = 16

x = − 0  4 x’ = − 4 = − 2 x” = 4 = 2 2 ∙ 1 2 Assim: x ≤ − 2 ou x ≥ 2 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica x = − 0  4 2 ∙ 1 x’ = − 4 = − 2 2 x” = 4 = 2 Assim: x ≤ − 2 ou x ≥ 2

x < − 1 ou x > 1 (condição de existência) e x ≤ − 2 ou x ≥ 2. Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Temos, então que: x < − 1 ou x > 1 (condição de existência) e x ≤ − 2 ou x ≥ 2. A solução da inequação será dada então pela interseção entre essas duas soluções. Ou seja: Assim: S = {x  R | x ≤ − 2 ou x ≥ 2}

Primeiro a condição de existência: 4x − 1 > 0 4x > 1 x > 1 . Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica log3 (4x − 1) > − 2 Primeiro a condição de existência: 4x − 1 > 0 4x > 1 x > 1 . 4

a = 1 . Agora, vamos transformar − 2 em logaritmo de base 3, assim: Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Agora, vamos transformar − 2 em logaritmo de base 3, assim: log3 a = − 2 a = 3− 2 a = 1 . 32 9 Portanto: − 2 = log3 1 .

4x − 1 > 1 . Desta forma, teremos: log3 (4x − 1) > log3 1 . 9 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Desta forma, teremos: log3 (4x − 1) > log3 1 . 9 Aplicando a primeira propriedade das funções logarítmicas (pois a base do logaritmo é maior que 1), teremos: 4x − 1 > 1 . O que resulta em: 9 ∙ (4x − 1) > 1

Daí, vem: 36x − 9 > 1 36x > 1 + 9 36x > 10 x > 10 . 36 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Daí, vem: 36x − 9 > 1 36x > 1 + 9 36x > 10 x > 10 . 36 x > 5 . 18

x > 1 (condição de existência) e x > 5 . Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Temos, então: x > 1 (condição de existência) e x > 5 . 4 18 Logo: S = {x  R | x > 5/18}

Determine o domínio da função: f(x) = log0,5 (x − 2) Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica O conhecimento da resolução de inequações logarítmicas pode servir para determinar o domínio de algumas funções. Veja um exemplo: Determine o domínio da função: f(x) = log0,5 (x − 2) Como se trata de uma raiz quadrada, então: log0,5 (x − 2) ≥ 0

Verificando a condição de existência: x − 2 > 0 x > 2 Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Verificando a condição de existência: x − 2 > 0 x > 2 Transformando o 0 em um logaritmo de base 0,5, teremos que: log0,5 a = 0 a = (0,5)0 a = 1 Portanto: log0,5 (x − 2) ≥ log0,5 1

x > 2 (condição de existência) e x ≤ 3 Logo: Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica Aplicando, agora, a segunda propriedade das funções logarítmicas (0 < 0,5 < 1), teremos: x − 2 ≤ 1 x ≤ 1 + 2 x ≤ 3 Temos, então: x > 2 (condição de existência) e x ≤ 3 Logo: D(f) = {x  R | 2 < x ≤ 3}

ATIVIDADES PROPOSTAS 1) Resolva as inequações: Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica ATIVIDADES PROPOSTAS 1) Resolva as inequações: log12 (x + 9) > log12 144 Log8 x ≥ 2 Log3 (log3 x) < log3 81 Log2 (x + 1) + log2 3 > log2 4 Log0,2 (x + 3) ≤ 1

2) Determine o domínio das seguintes funções: f(x) = log (x + 3) Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica 2) Determine o domínio das seguintes funções: f(x) = log (x + 3) g(x) = 1 . log2 x h(x) = log4 x − 2 i(x) = log (1 − 2x)

LINKS http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf Matemática, 1º Ano, Inequação logarítmica LINKS http://www.fund198.ufba.br/expo/eq-ine.pdf http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-logaritmica/ https://www.youtube.com/watch?v=eGDHbkrX2b8 https://www.youtube.com/watch?v=tr5pucDmuRI