DINÂMICAS POPULACIONAIS COM CAOS Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem DINÂMICAS POPULACIONAIS COM CAOS Emeline Alves Hugo Tavares Ricardo_Couceiro@yahoo.com.br Ricardo Couceiro Samuel Pereira Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Dinâmica de Populações Descrição do número de indivíduos de uma população ao longo do tempo, o qual é uma variável que pode ser representada discreta ou continuamente.

A Dinâmica de Populações é uma importante síntese matemática que permite identificar e estudar diversas teorias da Biologia Teórica: nível molecular em Processos Físico-químicos nível celular em Fisiologia Epidemiologia Sociobiologia de organismos superiores

Neste trabalho vamos abordar modelos de sistemas lineares e não lineares, dando maior importância aos sistemas não lineares com caos. Os sistemas lineares caracterizam-se por depender apenas de um factor constante.

Modelo de Malthus T – tempo decorrido desde o início da experiência. A premissa básica deste modelo consiste “na taxa na qual uma população cresce ser directamente proporcional ao seu tamanho". Para criar esse modelo, serão utilizadas várias variáveis: T – tempo decorrido desde o início da experiência. P – tamanho da população no tempo T.

k - é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade. A taxa de mudança da população, ou a taxa de crescimento, é representada pela quantidade dP/dT ou . Introduzidas estas quantidades, a ideia de Malthus é: k - é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade. se k > 0, a população é crescente. se k < 0 a população decai ao longo do tempo. se k=0 a população permanecerá constante no tempo (a taxa de natalidade é igual à taxa de mortalidade).

Quando T=0 a população é. Assim, a condição inicial é P(0)= Quando T=0 a população é . Assim, a condição inicial é P(0)= . Introduzindo isso na equação diferencial original, obtemos: Integrando:

fertilidade saúde da população Assumimos taxas de natalidade e mortalidade constantes o que simplificou ainda mais o modelo, no entanto, no mundo real, não o são. Portanto a função P(T) que obtemos é uma aproximação contínua da população, a qual aumenta por números inteiros. Este modelo não é muito realístico, pois, na verdade, k é raramente uma constante, já que pode depender de vários factores, como: fertilidade saúde da população nutrientes disponíveis, etc., os quais têm relação directa com as taxas de natalidade e de mortalidade.

O modelo Malthusiano descreve com razoável aproximação o crescimento da espécie humana. Contudo, estudos de crescimento populacional em laboratório e na natureza mostram que as populações podem crescer exponencialmente durante um curto intervalo de tempo até um determinado limite, inerente às circunstâncias da natureza.

Modelos de sistemas não lineares Modelo Logístico Modelo de Ricker Modelo de Verhulst ou de Beverton & Holt

Modelo de Verhulst Deriva do modelo de Malthus Considerar: Estirpe de bactérias que depende de histidina para se reproduzir Reproduz-se de a cada 40 minutos (condições ideais) Deriva do modelo de Malthus

Com falta de histidina os ciclos são maiores Seja, Então, K – constante de saturação ou nível de substrato

Como solucionar o modelo anterior Iterações analíticas Iterações geométricas Métodos de simulação computacional

Iterações analíticas Seja, Então, Através de substituições recursivas obtemos a equação:

Podemos concluir que: A população tende para o valor K logo,

Iteração geométrica Limitações: Difícil de traçar a função de reprodução Difícil de traçar a teia Diagrama de Picard

Modelo de Verhulst com predação É implementado um predador no sistema População não depende só do factor “meio” Seja, Então o modelo será,

Considerando três raízes (O,T,P) Entre O e P a população extingue-se Entre P e T a população estabiliza

Dinâmicas Populacionais com Caos SISTEMAS NÃO LINEARES Modelo Logístico

Modelo logístico A taxa de fecundidade da população Equação de Malthus Equação logística A taxa de fecundidade da população tamanho da população na n-ésima geração

Implementação do modelo em Simulink Neste modelo, a população está normalizada à unidade; Assumimos como condição inicial: ; Podemos agora analisar a evolução de populações fazendo variar o valor da taxa de fecundidade.

Evolução temporal da população A=2,8 A=3 Em ambos os casos o sistema tende para um valor final Se A=2,8 população tende para 0.64286 Se A=3 população tende para 0,666 (aprox.)

Evolução temporal da população A=3,3 A=3,5 A função oscila entre 2 valores: 0,47943 0,8236 Período 2 A função oscila entre 4 valores: 0,3828 0,5009 Período 4 0,8269 0,8750

Evolução temporal da população A=3,55 A=3,6 A função oscila entre 8 valores: 0,3548 0,81265 0,54049 0,88168 Período 8 0,37034 0,82781 0,50601 0,88737 CAOS!!

Caos Não há repetição de padrões; sequência não é aleatória ; fenómenos caóticos são imprevisíveis; Recorre-se ao uso do computador para evidenciar a complexidade do modelo.

4 situações: Extinção: para valores de A<1 a população extingue-se; Para valores de A entre 1 e 3, o sistema tende para um valor fixo; Sistema periódico: a série alterna entre dois ou mais estados discretos consoante o valor de A escolhido; Estado caótico.

Diagrama de bifurcações ou mapa logístico

Diagrama de bifurcações ou mapa logístico Ampliando a zona em que o período do sistema duplica:

Diagrama de bifurcações ou mapa logístico Mostra os valores que o sistema toma para diferentes valores de A; ilustra a aproximação do caos através de uma duplicação de períodos da equação logística. Na prática gera-se escolhendo ao acaso um valor inicial de A, e analisando de seguida os N primeiros termos da série obtida;

Constante de Feigenbaum Obtém-se fazendo: Nº de Feigenbaum = 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 ....

Dinâmicas Populacionais com Caos SISTEMAS NÃO LINEARES Modelo de Ricker

Modelo de Ricker Não linear Interacções complexas que surgem no seio de uma população população taxa de reprodução Equação de diferenças:

Modelo de Ricker Equação de diferenças:  taxa de crescimento geométrico populacional quando a população é pequena: quando  constante de saturação da população

Modelo de Ricker Implementação em Simulink: = 0,5 varia (x104)

Modelo de Ricker população não se auto-repõe Extinção

Modelo de Ricker A população tende para um valor estável

Modelo de Ricker A função oscila entre 2 valores 1,8353 0,4673 Período 2

Modelo de Ricker A função oscila entre 4 valores Período 4 2,3831 2,0231 0,26371 0,45996 Período 4

Modelo de Ricker Não existem repetições de padrões É O CAOS!!!

Modelo de Ricker n Bn (r=0,4) Bn (r=2) Bn (r=13) Bn (r=20) 1 0,5 2 0,073576 0,36788 1,8394 2,3912 3,6788 3 0,025403 0,35253 0,46451 0,26036 0,046922 4 0,009658 0,34836 1,8345 2,0108 0,85438 5 0,003789 0,34712 0,46781 0,46853 3,0944 6 0,001504 0,34674 1,8354 2,3863 0,12701 7 0,34662 0,46721 0,2624 1,9704 8 0,34659 1,8353 2,0183 0,76582 9 0,34658 0,46731 0,46327 3,3111 10 2,3844 0,088107 11 0,34657 0,4673 0,26317 1,4774 12 2,0211 1,539 13 0,46134 1,4174 14 2,3837 1,6649 15 0,26348 1,1921 16 2,0223 2,1974 17 0,46055 0,54237 18 2,3834 3,6663 19 0,26361 0,047945 20 2,0227 0,87123

Modelo de Ricker Comportamento estranho?  Método do histograma Determinar onde cada iteração se localiza: Dividir o intervalo em 400 unidades iguais. Colocar um marcador numa unidade cada vez que uma iteração a “atinge”. No final da simulação, o número de marcadores acumulados são plotados.

Modelo de Ricker Histogramas: r=0,4 r=2 r=10 r=20

Modelo de Ricker Para todos os valores de r: Diagrama de Bifurcação

Modelo de Ricker Para todos os valores de r: Diagrama de Bifurcação

CAOS Circuitos eléctricos, Surtos epidémicos, Batimentos cardíacos, Actividade eléctrica cerebral, Fluidos Reacções químicas Família/Comunidade Agitação política Bolsa etc.…

CAOS As dinâmicas populacionais apresentam comportamentos caóticos, ocorrendo inúmeras flutuações, e os seus gráficos podem assemelhar-se a FRACTAIS.

FIM