PRINCÍCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA E.E. Dona Antônia Valadares Matemática 1º Ano Análise COMBINATÓRIA PRINCÍCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA http://donaantoniavaladares.comunidades.net

Pontos no plano cartesiano/pares ordenados MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados ANÁLISE COMBINATÓRIA É uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar de enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc. Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc., além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc. Prof: Alexsandro de Sousa

Fatorial Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que: MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Fatorial Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que: - Para n=0: 0!=1 - Para n=1: 1!=1 - Para n=2: 2!=21=2 - Para n=3: 3!=321=6 - Para n=4: 4!=4321=24 - Para n=5: 5!=54321=120 Generalizando: n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)  ...  2  1, sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}. Prof: Alexsandro de Sousa

CONTAR É ... Contar é uma atividade comum do nosso cotidiano. Desde cedo contamos por diversas razões: saber quantos números de telefones diferentes podem ser instalados numa cidade, quantos brinquedos temos, quantas combinações de roupa podemos formar com certa quantidade de peças. O processo se torna tão automático que, muitas vezes, não usamos nenhuma estratégia para contagens longas e demoradas. Estes processos e formas de contagem podem ser facilitados com a Matemática Prof: Alexsandro de Sousa

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Também chamado de princípio multiplicativo, o princípio fundamental da contagem consiste em uma técnica que esquematiza a resolução de problemas que envolvem situações de contagem, sem enumeração. Sua principal ferramenta é a árvore de possibilidades que permite sistematizar o problema e, assim, chegar à sua solução. O PFC é o elemento fundamental do pensamento combinatório, pois é a partir dele que todas as construções cognitivas posteriores (permutações, arranjos e combinações) se constituirão para o sujeito. Prof: Alexsandro de Sousa

Refeição Entrada Prato Sobremesa ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P F ( S,B,F ) Acompanhe o raciocínio da resolução do problema a seguir: Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? Refeição Entrada Prato Sobremesa Prato Arroz ao forno Bife acebolado Lasanha Sobremesa: Frutas Pudim Entrada Sopa Camarão ao alho e óleo ( S,A,F ) F A ( S,A,P ) P F ( S,B,F ) S B P ( S,B,P ) F ( S,L,F ) L P ( S,L,P ) F ( C,A,F ) A P ( C,A,P ) C F ( C,B,F ) B P ( C,B,P ) F ( C,L,F ) L P ( C,L,P ) A quantidade de refeições é obtida multiplicando-se todas as possibilidades. Sendo assim: 2  3  2 = 12 refeições Prof: Alexsandro de Sousa

Pelo o Diagrama da Árvore MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. O resultado procurado é 2.2.2 = 8 K C C – C – C C – C – K C – K – C C – K – K K – C – C K – C – K K – K – C K – K - K Pelo o Diagrama da Árvore Prof: Alexsandro de Sousa

160 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados A lanchonete de uma escola oferece em seu cardápio 8 tipos de sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 5 sabores de sorvete. Renata quer escolher 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete. Quantas opções ela tem para pedir um lanche? TOTAL DE OPÇÕES 160 8 tipos X 4 tipos X 5 tipos = Prof: Alexsandro de Sousa

36 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados TOTAL DE OPÇÕES 36 3 tipos X 6 tipos X 2 pares = Prof: Alexsandro de Sousa

3 2 6 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Quantidade de portas para ENTRAR Quantidade de portas para SAIR Total de possibilidades 3 2 6 x = Prof: Alexsandro de Sousa

QUANTOS NÚMEROS DE TELEFONES DIFERENTES TERMINADOS EM ZERO PODEM SER INSTALADOS NUMA CIDADE COM O PREFIXO 3887? Imagem disponível em http://pinterest.com/pin/177329304048170584/, acesso em 19/07/2015 3 8 7 5 4 1 1 5 5 3 4 5 3 2 5 Prof: Alexsandro de Sousa

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados RESOLVENDO Quantas opções de algarismos? Quantas opções de algarismos Quantas opções de algarismos 3 8 7 10 10 10 Pelo PFC podemos obter até 10.10.10 números de telefones terminados em zero com o prefixo 3887, ou seja, 1000 números distintos. Prof: Alexsandro de Sousa

Pontos no plano cartesiano/pares ordenados MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?   ¯ ¯ ¯ 9 x 9 x 9 = 729 números E se fossem com algarismos distintos? 9 x 8 x 7 = 504 números Prof: Alexsandro de Sousa

O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?  Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536  Resposta: 4.536 números Prof: Alexsandro de Sousa

Pontos no plano cartesiano/pares ordenados MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?   1º lugar 2º lugar 3º lugar ¯ ¯ ¯ 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades Prof: Alexsandro de Sousa

PERMUTAÇÃO SIMPLES MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos. Exemplo: Quantos anagramas existem da palavra azul? Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem. A maneira mais fácil de construir todas as possibilidades é pelo “diagrama de árvores”. Observe: Prof: Alexsandro de Sousa

Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: No total ? Resolução: __ __ __ __ __ __ b) Começados por BR nessa ordem? Resolução: 4! = 24  |BR| 4.3.2.1 c) Começando por vogal e terminando em consoante ? Resolução: ___ ___ ___ ___ ___ ___ Vogal consoante Prof: Alexsandro de Sousa

d) Com as letras BR juntas nesta ordem? Resolução: BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120 e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem? Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240 Prof: Alexsandro de Sousa

EXERCÍCIOS 1 – Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? 2 – A placa de um automóvel é formada por três letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A, R e U e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido? 3 – Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7? Prof: Alexsandro de Sousa

4 – De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor? 5 – (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a) 9 b) 15 c) 20 d) 24 e) 30 Prof: Alexsandro de Sousa

6 – A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 52 e) 100 7 – Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! Prof: Alexsandro de Sousa

8 – Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes 8 – Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201 Prof: Alexsandro de Sousa

9 – (IEZZI, DOLCE, MACHADO, 2009 - Adatada) Marco Antônio quer visitar Talita no próximo sábado. Para chegar à casa da amiga, Marco Antônio pode escolher um entre três caminhos. Para voltar, ele também pode escolher qualquer um dos três caminhos. De quantos modos ele pode fazer o percurso de ida e volta? Quantas visitas ele pode fazer, sem repetir o mesmo percurso de ida e volta? De quantos modos ele pode visitar Talita indo por um caminho e voltando por outro? Casa de Talita Casa de Marco Antônio Prof: Alexsandro de Sousa