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Dona Chica foi a feira e comprou 1 abacaxi, 2 pencas de bananas e 3 carambolas gastando, no total, R$260. Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani Seu Juca foi a mesma feira e comprou 2 abacaxis, 1 penca de bananas e 1 carambola gastando R$150. Gigi comprou 4 abacaxis, 3 pencas de bananas e 1 carambola gastando R$290. Qual o valor de cada fruta?

Equação linear a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b a 1, a 2, a 3,..., a n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x 1, x 2,x 3,..., x n, b é um número real chamado termo independente Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Equação linear Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani EXEMPLOS:CONTRA- EXEMPLOS:

Sistema Linear Conjunto de duas ou mais equações lineares Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Sistema Linear Em um sistema, cada incógnita deverá ter, pelo menos, uma equação associada a ela. Assim, só se resolve um sistema se o número de equações for maior ou igual ao número de incógnitas, isto é, se existir 100 incógnitas, deverá existir, pelo menos 100 equações. Cada sistema recebe uma classificação quanto ao número de soluções. Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Classificação de um sistema linear Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani SPD – Sistema Possível e Determinado Quando cada uma das incógnitas assume um único valor, isto é, o sistema tem uma ÚNICA SOLUÇÃO. x + y = 10 2x + y = 13 x = 10 - y y + y = 13 ⟹ y = 7 ⟹ x = 10 – 7 ⟹ x = 3

Classificação de um sistema linear Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani SPI – Sistema Possível e Indeterminado Quando cada uma das incógnitas pode assumir mais de um valor, isto é, o sistema é possível, mas não se pode determinar, pois tem INFINITAS SOLUÇÕES. x + y = 2 2x + 2y = 4 Quando as outras equações são combinações lineares de outra, tem-se um SPI ! S = {(1, 1); ( ½, 3/2); (3/2, ½);...}

Classificação de um sistema linear Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani SI – Sistema Impossível Quando as incógnitas assumem valores absurdos, isto é, o sistema NÃO TEM SOLUÇÃO. x + y = 2 x + y = 5

Forma matricial de um sistema Todo sistema de equações pode ser representado por um produto de duas matrizes (a primeira dos coeficientes numéricos e a segunda das incógnitas) resultando numa terceira matriz (dos termos independentes). Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Solução de um sistema linear Em um sistema de muitas equações e variáveis, a maneira mais simples de resolver é transformá-lo em uma matriz e zerar todos os coeficientes abaixo da diagonal principal. Isso faz com que a matriz final dos coeficientes fique na forma de uma ESCADA, ou seja, ESCALONADA. Quando a matriz está escalonada, o sistema fica muito mais simples de ser resolvido. Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Solução de um sistema linear Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani MATRIZ ESCALONADA: Diagonal principal

Solução de um sistema linear Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani MATRIZ ESCALONADA: ⟹ SISTEMA LINEAR ASSOCIADO À MATRIZ:

Escalonamento O processo de escalonamento de um sistema é: 1.Transformar o sistema em uma matriz, onde cada linha corresponde a uma equação e cada coluna, uma variável, exceto a última, que é a coluna dos termos independentes. 2.Fixar como primeira equação aquela em que o primeiro coeficiente é diferente de zero (de preferência 1 ou -1). 3.Iniciar o processo de zerar os coeficientes abaixo da diagonal principal. Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Escalonamento Os recursos possíveis para zerar os coeficientes são: 1.Multiplicar uma linha da matriz por um número real; 2.Substituir uma linha pela soma dela com qualquer outra do sistema; 3.Trocar a posição de duas linhas. Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Escalonamento Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani ⟹ L 2 ⟵ L 2 – 2L 1 L 3 ⟵ L 3 – 4L 1 L 3 ⟵ 3L 3 - 5L 2

Escalonamento Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani ⟹ L2 ⟷ L1L2 ⟷ L1 L 2 ⟵ L 2 – 3L 1 L 3 ⟵ L 3 – 2L 1 L 3 ⟵ L 3 – L 2 Duas equações < três variáveis ⟹ SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)

Escalonamento Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani ⟹ L 2 ⟵ 2L 2 + 5L 1 L 2 ⟵ 2L 3 - 3L 1 L 3 ⟵ 5L 3 + L 2 SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)

Escalonamento Após escalonar um sistema e retirar as equações do tipo 0 = 0 (linhas nulas da matriz do sistema), restem p equações com n variáveis.  Se a última das equações restantes é 0x x n = b i (b i ≠ 0) então o sistema é impossível (SI); Caso contrário sobra duas alternativas:  Se p = n o sistema é possível e determinado (SPD);  Se p < n, então o sistema é possível e indeterminado (SPI). Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani

Escalonamento OBSERVAÇÕES: Toda matriz escalonada origina um sistema equivalente ao original, ou seja, possui o mesmo conjunto solução. Sistemas Lineares Profª Juliana Schivani