POTENCIAL ELÉTRICO Prof. Bruno Farias CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA III POTENCIAL ELÉTRICO Prof. Bruno Farias

Forças Conservativas As condições para que uma força seja conservativa são expressas abaixo: A força elétrica é uma força conservativa e, portanto, é possível associar a ela uma energia potencial elétrica.

Energia Potencial Elétrica Energia potencial é a energia associada à configuração de um sistema submetido à ação de um forma conservativa. Como a força elétrica é uma força conservativa, podemos expressar o trabalho realizado pela força elétrica em função da energia potencial elétrica U . Quando um sistema se move de um estado inicial i para um estado final f, a força eletrostática realizado um trabalho W sobre as partículas, e assim a variação de energia potencial ΔU é dada por

Se a energia potencial é definida como sendo zero no infinito, a energia potencial elétrica U do sistema é dado por onde W∞ é o trabalho executado pela força eletrostática sobre o sistema quando o sistema é deslocado do infinito para o ponto considerado.

Potencial Elétrico A energia potencial por unidade de carga em um ponto do espaço é chamada de potencial elétrico (ou simplesmente potencial) e é representada pela letra V. Assim, O potencial elétrico é uma grandeza escalar e sua unidade no SI é volt (V), onde

A diferença de potencial elétrico ΔV entre dois pontos i e f é igual à diferença entre os potencias elétricos dos dois pontos: Como ΔU = - W, temos ainda:

Se tomarmos Ui = 0 no infinito como referência para a energia potencial, o potencial V no infinito também será nulo. Assim o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço é obtido através da relação:

Exemplo

Superfícies Equipotenciais É o nome dado, ao lugar geométrico dos pontos, que têm o mesmo Potencial Elétrico. Portanto, ao deslocarmos uma carga de prova entre pontos de uma mesma superfície eqüipotencial, não realizamos trabalho, veja figuras: Ao deslocarmos uma carga, pelas trajetórias I e II o trabalho é nulo, já em III e IV temos trabalho sendo realizado.

Superfícies Equipotenciais (em laranja) Carga isolada Dipolo elétrico Obs.: O campo elétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial.

Cargas pontuais positivas e de mesmo módulo Carga Elétrico Uniforme

Cálculo do Potencial a partir do Campo Podemos calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f do espaço, determinando o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de prova q0 quando a carga se desloca do ponto i até o ponto f. Considerando o sistema da figura ao lado, o trabalho elementar dW realizado sobre uma carga de prova por uma força durante um deslocamento ds é dado por:

Porém sabemos que a força elétrica é dada por F = q0E, assim: Para determinar o trabalho total W realizado pelo campo sobre a partícula quando a mesma se desloca do ponto i para o ponto f fazemos a seguinte soma por integração:

Substituindo a expressão anterior na equação Chegamos numa expressão para calcular a diferença de potencial entre dois pontos a partir do campo elétrico, a saber:

E ainda, se escolhermos o potencial Vi = 0, podemos calcular o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial do ponto i através da equação:

Exemplo

Potencial Produzido por uma Carga Pontual Para obtermos uma expressão para o potencial elétrico V criado no espaço por uma carga pontual q, vamos considerar o deslocamento de uma carga de prova q0 do ponto P até o infinito (figura abaixo). Considerando que a carga de prova segue uma trajetória retilínea do ponto P até o infinito, temos que:

Como o campo elétrico E é paralelo ao deslocamento ds em toda a trajetória, θ = 0 e cos θ =1, assim: Como a trajetória é retilínea, podemos fazer ds = dr, assim: Substituindo a expressão acima em temos: Onde tomamos ri = R, rf = ∞.

Lembrando que o campo elétrico gerado por uma carga pontual é , temos que: Finalmente, realizando a integral e tomando Vi = V(R) = V e Vf = V(∞) = 0, ficamos com:

E ainda, substituindo R por r, temos:

Exemplo

Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais Podemos calcular o potencial produzido em um certo ponto do espaço por um grupo de cargas pontuais utilizando o princípio da superposição, assim temos: (n cargas pontuais)

Exemplo Considere o sistema formado por duas cargas puntiformes q1 = +12 nC e q2 = - 12 nC (conforme figura abaixo), sendo a distância entre elas igual a 10 cm. Calcule os potenciais nos pontos a, b e c.

Exercício

Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Cargas Quando uma distribuição de cargas é contínua devemos escolher um elemento de carga dq, calcular o potencial dV produzido por dq e integrar para toda distribuição de cargas. Tomamos o potencial no infinito como sendo nulo. Tratando o elemento de carga dq como uma carga pontual, podemos expressar dV no ponto P, na forma: onde r é a distância entre P e dq.

Para o calcular o potencial total V no ponto P, integramos a equação anterior para todos os elementos de carga da distribuição:

Linha de Cargas Vamos determinar o potencial elétrico V produzido por uma barra fina não condutora de comprimento L no ponto P, conforme figura ao lado. Considerando um elemento de comprimento dx da barra, temos que a carga desse elemento dq é dada por: onde λ é a densidade linear de cargas.

Tratando o elemento dq como uma carga pontual podemos escrever o potencial dV como: O potencial total V produzido pela barra no ponto P é obtido integrando a equação anterior ao longo da barra, de x = 0 a x = L, assim: Então:

Exercício

Disco Carregado Vamos determinar o potencial elétrico V em um ponto qualquer sobre o eixo central de um disco de plástico de raio R e com uma densidade superficial de cargas σ, conforme Figura ao lado. Consideramos um elemento de área dA constituído por um anel de raio R’ e largura radial dR’. A carga desse elemento é dada por:

O potencial dV no ponto P produzido pelo anel citado anteriormente, pode ser escrito como: Para calcularmos o potencial total V somamos as contribuições de todos os anéis, de R’ = 0 até R’ = R:

Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Se conhecermos o valor do potencial elétrico V numa região do espaço podemos obter o vetor campo elétrico nessa região através da equação: onde é o operador gradiente.

Exemplo

Exercício Em uma dada região do espaço, potencial elétrico é dado por V = 5x – 3x2y + 2yz2. Encontre as expressões para as componentes x, y, e z do campo elétrico nessa região. Qual é a magnitude do campo no ponto P, cujas coordenadas são (1, 0, -2) m?