LEI DE GAUSS Prof. Bruno Farias CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA III LEI DE GAUSS Prof. Bruno Farias

Introdução Na Física, uma ferramenta importante parra a simplificação de um problema consiste em usar as propriedades de simetria dos sistemas. A lei de Gauss é uma parte da chave para usar considerações de simetria a fim de simplificar a determinação de campos elétricos.

Na aplicação da Lei de Gauss considera-se uma superfície fechada (superfície gaussiana) que envolve uma dada distribuição de cargas . A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana à carga envolvida pela superfície.

Fluxo Entretanto, para obtermos uma expressão para a lei de Gauss precisamos calcular a quantidade de campo elétrico que é interceptada pela superfície gaussiana. A medida da quantidade de campo interceptada por uma superfície é denominada de fluxo. O Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é o resultado da integração, em toda superfície, do produto escalar entre o campo vetorial e cada elemento infinitesimal da superfície.

Fluxo Como exemplo de fluxo, consideramos uma espira quadrada de área A exposta a um vento uniforme cuja velocidade é v. O fluxo de ar através da espira depende do ângulo entre o vetor velocidade v e um vetor área A e dado por: O vetor área A é definido de forma que seu módulo é igual a uma área (área da espira) e cuja direção é perpendicular ao plano da área.

Como o conjunto de todos os vetores velocidade é um campo de velocidades, podemos interpretar a Equação para o fluxo como uma expressão para o fluxo do campo de velocidades através da espira.

FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO Consideramos uma superfície gaussiana arbitrária (assimétrica) imersa em um campo elétrico não-uniforme.. Todos os vetores ΔA são perpendiculares à superfície e apontam para fora da superfície. O campo elétrico E pode ser considerado constate no interior de cada quadrado. Uma definição provisória do fluxo do campo elétrico para a superfície gaussiana da Figura ao lado é a seguinte:

A definição exata do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é obtida fazendo a área dos quadrados da Figura abaixo tender a zero, tornando-se uma área diferencial dA, assim: O fluxo do campo elétrico é um escalar, e sua unidade no SI é o newton-metro quadrado por coulomb (N.m2/C).

 quando existe mais linhas saindo do que entrando na superfície.  quando existe mais linhas entrando do que saindo da superfície.

Exemplo

Exemplo

Exercício

Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total qenv que é envolvida por essa superfície: Usando a definição do elétrico Φ, podemos escrever a lei de Gauss na forma: Se qenv é positiva, o fluxo é para fora; se qenv é negativa, o fluxo é para dentro.

Exemplo

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Exercício f) Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano da Fig. 23-5?

Aplicando a lei de Gauss: Linha de cargas infinita (simetria cilíndrica) O fluxo total na superfície gaussiana Φ é: Como a carga envolvida pela superfície gaussiana é λh, temos a partir da lei de Gauss (ε0Φ=qenv) que: o que resulta em:

Exemplo

Aplicando a lei de Gauss: Placa não-condutora (simetria planar) O fluxo total na superfície gaussiana Φ é: Como a carga envolvida pela superfície gaussiana é σA, temos a partir da lei de Gauss (ε0Φ=qenv) que: o que resulta em:

Cálculo do Campo Elétrico para uma Placa não-condutora (Método anterior) Vamos calcular o campo elétrico num ponto P, situado no eixo central a uma distância z de um disco carregado. Escrevemos a densidade superficial de cargas na forma: Dividindo o disco em anéis concêntricos elementares, cada um de raio r e largura dr, temos que:

Utilizando a expressão do campo elétrico para um anel de cargas, substituindo q por dq e R por r, ficamos com Integrando sobre o toda superfície do disco Fazendo R → ∞ e mantendo Z finito, obtemos o campo elétrico para uma placa não-condutora infinita:

Aplicando a lei de Gauss: Casca esférica uniformemente carregada (simetria esférica) Fora da casca esférica (r ≥ R) tomamos a superfície gaussiana S2 que contém uma carga q, assim pela lei de Gauss: Como tanto o vetor dA e E são radiais e apontam para fora sobre todo superfície gaussiana, temos que o fluxo é dado por:

Então o campo elétrico pode ser escrito como:

Dentro da casca esférica (r < R) tomamos a superfície gaussiana S1 que não contém nenhuma carga, assim pela lei de Gauss: o que resulta em: