GEOMETRIA ANALÍTICA CIRCUNFERÊNCIA Profª Juliana Schivani

Uma pequena cidade resolveu distribuir a partir da delegacia central, postos policiais em várias direções. Alguns dos postos estão localizados conforme o mapa a seguir. Os rádios intercomunicadores utilizados pelos policiais têm raio de alcance máximo de 5km.

Quais os conjuntos de pontos que está no máximo a 5km da central? Como determinar quais dos 5 postos conseguem se comunicar diretamente com a central, sendo cada lado do quadrado equivalente a 1 km? Quais os conjuntos de pontos que está no máximo a 5km da central? Colocar no prezzi a figura e sair do ponto “central” e arredores as perguntas?

EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA Assim como uma reta, toda circunferência tem uma equação que a representa. Dada uma circunferência λ de centro C (a,b) e raio r: dCP = raio = r r = r²

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA (x – a)² + (y – b)² = r² x² - 2xa + a² + y² - 2yb + b² = r² x² + y² - 2ax – 2by + a² + b² - r² = 0

EQ. GERAL -> EQ. REDUZIDA x² + y² - 6x – 4y – 23 = 0 x² - 6x + y² - 4y = 23 x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = 23 + 9 + 4 (x – 3)² + (y – 2)² = 36 (x – 3)² + (y – 2)² = 6² raio = 6 centro C = (3, 2) NÃO ESQUECER DE INVERTER OS SINAIS DOS ELEMENTOS a e b do CENTRO!

Ache o centro e o raio da circunferência definida por x² + (y – 8)² = 16 (x² + 0) + (y – 8)² = 16 (x + 0)² + (y – 8)² = 4² Logo, raio = 4 e C = (0, 8)

Encontre a equação reduzida da circunferência a seguir, sabendo que a reta r de equação 3x + 4y – 36 = 0 é tangente a ela. dCr = raio dCr = |3 ∙ (1) + 4 ∙ (2) – 36| √3² + 4² dCr = 25/5 = 5 Logo, a equação será: (x – 1)² + (y – 2)² = 5² C r

Posições Relativas entre circunferência e PONTO RETA CIRCUNFERÊNCIA

Posições relativas entre circunferência e ponto P ⊄ λ ↔ (xP – a)² + (yP – b)² > r²

Posições relativas entre circunferência e ponto P ⊂ λ ↔ (xP – a)² + (yP – b)² < r²

Posições relativas entre circunferência e ponto P є λ ↔ (xP – a)² + (yP – b)² = r²

Posições relativas entre circunferência e ponto O que vai determinar se um ponto P (xP , yP) pertence ou não a circunferência é se a equação da circunferência valerá para xP e yP . Dados a circunferência λ: (x – a)² + (y – b)² = r² e o ponto P(xP, yP): P є λ ↔ (xP – a)² + (yP – b)² = r² Ex: Seja λ: x² + y² - 6x – 4y + 9 = 0 e A(1, 2), A є λ ?

Posições relativas entre circunferência e ponto Se o ponto P (xP , yP) está dentro da circunferência, então a sua distância até o centro é menor que o raio. Analogamente, se P está fora da circunferência, a distância PC é maior que o raio. Dados a circunferência λ: (x – a)² + (y – b)² = r² e o ponto P(xP, yP): P ⊂ λ ↔ (xP – a)² + (yP – b)² < r² P ⊄ λ ↔ (xP – a)² + (yP – b)² > r² Como saber o conjunto de pontos que pertencem a circunferência? Quais valores de xp e yp para não pertencer a circunferencia? Como descobrir quem são os pontos (x, y) que estão dentro, fora ou na circunferência? x e y terá um intervalo de máximo e mínimo, pois a circunferencia é uma regiao limitada.

TANGENTE SECANTE EXTERNA Outra forma de saber a posição da reta em relação a circunferência é fazendo um sistema de equações, que sempre resultará em uma equação do 2° grau. Se ∆=0, por exemplo, então x’=x” e, portanto, só existe um ponto comum às duas equações e por isso, a reta é tangente à circunferência. Distância do ponto central C até a reta é igual ao raio da circunferência. Distância do ponto central C até a reta é menor que o raio da circunferência. Distância do ponto central C até a reta é maior que o raio da circunferência.

Posições relativas entre circunferência e reta se a reta s é exterior a circunferência: dsC > raio Δ < 0 C

Posições relativas entre circunferência e reta se a reta s é tangente a circunferência: dsC = raio Δ = 0 x’ = x” ∃ 𝑷( 𝒙 ′ , 𝒚 ′ ) C

Posições relativas entre circunferência e reta se a reta s é secante a circunferência: dsC < raio Δ > 0 x’ ≠ x” ∃ 𝑷( 𝒙 ′ , 𝒚 ′ ) e 𝑸(𝒙",𝒚") C

Posições relativas entre circunferência e reta y = ax + b x² + (ax + b)² - 2ax – 2b(ax + b) + a² + b² - r² = 0 .... = a’x² + b’x + c’ = 0 Ex: y = x + 1 x² + y² - 6x + 4y – 5 = 0 C s: y = ax + b λ: x² + y² - 2ax – 2by + a² + b² - r²

Qual a posição da reta r: y = x + 4 em relação a circunferência λ: x² + y² - 2x – 4y – 4 = 0. x² + (x + 4)² - 2x – 4(x + 4) - 4 = 0 x² + x² + 8x + 16 – 2x – 4x – 16 – 4 = 0 2x² + 2x – 4 = 0 Δ = b² – 4 ∙ a ∙ c Δ = 36 => Δ > 0 => x’ ≠ x” x = -b ± √Δ/2a x’ = 1 e x” = - 2 y’ = 5 ou y” = 2 A reta é secante à circunferência, cortando-a nos pontos (1, 5) e (-2, 2).

Posições relativas entre duas circunferências Em circunferências exteriores, dC1C2 > r1 + r2

Posições relativas entre duas circunferências Em circunferências tangentes, exteriormente, dC1C2 = r1 + r2

Posições relativas entre duas circunferências Em circunferências secantes: r1 - r2 < dC1C2 < r1 + r2

Posições relativas entre duas circunferências Em circunferências tangentes interiormente: dC1C2 = r1 - r2

Posições relativas entre duas circunferências Em circunferências interiores: dC1C2 < r1 - r2

Qual a posição das circunferências β1: x² + y² = 49 e β2: x² + y² - 6x – 8y – 11 = 0? β1: r1 = 7 e C1 = (0,0) λ: x² - 6x + _____ + y² - 8y + _____ = 11 x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 11 + 9 + 16 ( x – 3)² + (y – 4)² = 6² β2: r2 = 6 e C2 = (3, 4) dC1C2 = 5 r1 + r2 = 13 r1 - r2 = 1 1 < 5 < 13 =>r1 - r2 < dC1C2 < r1 + r2 => circunferências secantes

Referências SMOLE, Kática Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, vol. 3. São Paulo: Saraiva, 2010. IEZZI, Gelson; et al. Matemática: Ciência e Aplicações. Ensino Médio, vol. 3. São Paulo: Saraiva, 2010. PACCOLA, Herval; BIANCHINI. Matemática 3.