Profª Juliana Schivani

Valor numérico: P (x) = 10x 6 – 15x x 4 P (2) = 10 ∙ 2 6 – 15 ∙ ∙ 2 4 P (2) = 640 – = 480 Schivani

Raiz de um polinômio: É o valor que a variável x assume para o qual o polinômio se torne nulo, isto é P(x) = 0. P (x) = x 3 + x ² - 4x + 6 P (-3) = (-3)³ + (-3)² - 4 ∙ (-3) + 6 P (-3) = P (-3) = 0 Schivani

N = 5c + 28 c A numeração usada na confecção de sapatos depende do comprimento do pé das pessoas. Os fabricantes de calçados brasileiros usam a fórmula N = 5c + 28, em que c é o tamanho do pé em cm e N N é o número do calçado Existe algum tamanho de pé que zere o polinômio N? 2 2. Qual o valor numérico deste polinômio para o seu pé? Schivani

N = 5c + 28 c A numeração usada na confecção de sapatos depende do comprimento do pé das pessoas. Os fabricantes de calçados brasileiros usam a fórmula N = 5c + 28 em que c é o tamanho do pé em cm e N N é o número inteiro do calçado. 4 Schivani

Decomposição de um polinômio Todo polinômio pode ser decomposto em fatores do primeiro grau da forma: a n ∙ (x – r 1 ) ∙ (x – r 2 ) ∙... ∙ (x – r n ) P(x) = a n ∙ (x – r 1 ) ∙ (x – r 2 ) ∙... ∙ (x – r n ) Onde r 1, r 2,.., r n são raízes do polinômio e a n é o coeficiente dominante. Todo polinômio de grau n tem exatamente n raízes complexas. Schivani

Decomposição de um polinômio Exemplo: (x – 2) (x + 3) (x – 5) P(x) = x³ - 4x² - 11x + 30 = (x – 2) (x + 3) (x – 5) 2, - 3 e 5 são as raízes de P(x), valores estes que cortam Ox no plano cartesiano. P(x) é divisível por cada um dos seus fatores. Schivani

CURIOSIDADE: Quando o grau do polinômio é 3 ou 4, é possível determinar as raízes das equações por meio de fórmulas, as quais, não são estudadas no ensino médio. Estas fórmulas foram descobertas por volta do séc. XVI por matemáticos que participam de duelos os quais cobriam- lhes de créditos, prestígios e proteções da nobreza. A foto mostra o Pátio da Igreja de Santa Maria dei Servi na Itália onde eram realizados desafios de matemática. Schivani

Quando o grau do polinômio é maior ou igual a 5, não existe uma fórmula resolutiva, Galois provou esta impossibilidade e encontrou um método para alguns casos. Schivani

Resolver a equação x³ - 8x² + 29x – 52 = 0, sabendo que uma das raízes é 4. Como grau p(x) é 3, então existem, além do 4, mais outras duas raízes, (r 2 e r 3 ). P(x) = 1 ∙ (x – 4) (x – r 2 ) (x – r 3 ) P(x) é divisível por cada fator, então, P(x) é divisível por (x – 4) e o quociente desta divisão é exatamente (x – r 2 ) (x – r 3 ) P(x) / (x – 4) = x² - 4x + 13 com raízes = (4 ± √-36) / 2 Schivani

Multiplicidade de Raízes Quais são as raízes da equação polinomial x² - 12x + 36 = 0 ? x’ = x” = 6 6 é raiz dupla / raiz de multiplicidade 2 da equação Schivani

Multiplicidade de Raízes Resolver a equação (x + 4)³ ∙ (x – 1)² ∙ (x + 5) = 0.(x + 4)³ ∙ (x – 1)² ∙ (x + 5) = 0 (x + 4) ∙ (x + 4) ∙ (x + 4) ∙ (x – 1) ∙ (x – 1) ∙ (x + 5) = 0 x + 4 = 0 => x = - 4 (três vezes): -4 é raiz tripla ou x – 1 = 0 => x = 1 (duas vezes): 1 é raiz dupla ou x + 5 = 0 => x = -5 (uma vez): -5 é raiz simples Portanto, P(x), cujo grau é 6, tem 6 raízes. Schivani

Encontrando Raízes Racionais Teorema das raízes racionais: Seja o polinômio a n x n + a n-1 x n a 1 x + a o = 0, com a n ≠ 0 e todos os coeficientes inteiros. Se a o e a n são primos entre si, isto é, formam uma fração irredutível, as possíveis raízes racionais do polinômio serão todos os divisores de p/q, onde p = a o e q = a n. Schivani

Teorema das raízes racionais DEMOSTRAÇÃO Schivani Se p/q é raiz da equação, então: Multiplicando ambos os membros por q n : Isolamos a n p n e colocamos q em evidência:

Teorema das raízes racionais DEMOSTRAÇÃO Schivani Se p/q é raiz da equação, então: Multiplicando ambos os membros por q n : Isolamos a 0 q n e colocamos p em evidência:

Teorema das raízes racionais DEMOSTRAÇÃO Schivani

Encontrar as raízes racionais da equação Schivani

Verificar se o polinômio a seguir possui raiz racional Schivani

Encontrar as raízes racionais da equação Schivani Assim, x³ - 7x + 6 = (x – 1) (x – r 2 ) (x – r 3 )

Encontrar as raízes racionais da equação Schivani x³ - 7x + 6 = (x – 1) (x – r 2 ) (x – r 3 ) Portanto, Q(x) = x² + x – 6 e R(x) = 0 Por Bhaskara, descobrindo as outras duas raízes: 2 e – 3. quociente

Encontrar as raízes racionais de 3x³ - 7x² + 8x - 2 = 0 a 3 = 3 e a n = -2 Se existe alguma raiz real p/q então p será divisível por -2 e q por 3. p = {-1, -2, 1, 2} e q = {-1, -3, 1, 3} p/q = {±1, ±1/3, ±2, ±2/3} Apenas P (1/3) = 0, portanto, a única raiz racional deste polinômio é 1/3. Schivani

Encontrar as raízes racionais de 3x³ - 7x² + 8x - 2 = 0 Já sabendo que 1/3 é raiz, então: 3x³ - 7x² + 8x – 2 = 3 (x – 1/3) (x – r 2 ) (x – r 3 ) Q(x) = 3x² - 6x + 6 x’ = 1 - √-1 e x” = 1 + √-1 Schivani1/

O gráfico toca Ox nos pontos em que tem-se raízes reais. O gráfico sempre tocará Oy em a o. Se o polinômio só possuir raízes complexas, então o gráfico não corta Ox. As raízes complexas sempre aparecem aos pares, portanto, o polinômio de grau ímpar sempre terá pelo menos uma raiz real, e por isso, sempre cortará Ox. Polinômios de grau par tem gráfico indo para o infinito em forma de parábola. Polinômios de grau ímpar tem gráfico indo para o infinito em forma de reta. Gráfico de funções polinomiais Schivani

Gráfico de funções polinomiais 4 raízes reais Gráfico ao infinito como parábola Grau par 4° grau Schivani

Gráfico de funções polinomiais 1 raiz real Gráfico ao infinito como reta Grau ímpar 2 raízes complexas a o = -8 Schivani

50 30 h 30 – 2h 50 – 2h V(h) = (30 – 2h) (50 – 2h) h = 4h³ - 160h h 4h³ - 160h h4h³ - 160h h 1.Para quais valores de h, não existirá volume? 2.Para qual valor de h, tem-se o volume máximo? 3.Para qual valor de h, tem-se o volume mínimo? Schivani

São relações existentes entre as raízes de um polinômio. Relações de Girard Schivani

Demonstração das Relações de Girard Schivani

Demonstração das Relações de Girard Schivani

Demonstração das Relações de Girard Schivani

Referências: SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações. Vol. 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, analitico-polinomios.pdf Schivani