Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio - 2ª ano ANÁLISE COMBINATÓRIA

PRINCÍPIO DA CONTAGEM Análise combinatória Determina o número de possibilidades de algum evento. Princípio Fundamental da Contagem: Formas adequadas para ordenar/organizar/contar possibilidades. Matemática, 2ª Série do Ensino Médio Princípio Multiplicativo

Para se resolver problemas envolvendo possibilidades de escolha utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo. Com esse princípio é possível obter a solução de certos problemas sem a necessidade de se enumerar os elementos envolvidos.

Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar. Assim, por exemplo, para saber o total de combinações possíveis feitas com peças suas roupas, deveremos saber inicialmente o total de peças separadas por tipos: calças, blusas, sapatos, . . . Exemplo 1 Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

Diagrama de Árvore ou Árvore das Possibilidades

Neste exemplo há duas decisões a serem tomadas: D1:escolher uma dentre as 2 saias D2:escolher uma dentre as 3 blusas

O princípio multiplicativo, nesse exemplo, temos que uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra decisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras de tornarmos as decisões d1 e d2 será n · m. Assim, Maria dispõe de 2 · 3 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2 , ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir.

Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e para cada uma dessas maneiras um evento B pode ocorrer de n maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrerem os eventos A e B é dado pelo produto n x m.

EXEMPLO 2 Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo-se que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?

1 A 2A 3A 4A 5A 1B 2B 3B 4B 5B 1C 2C 3C 4C 5C 1D 2D 3D 4D 5D Total de Possibilidades: 5 x 4 = 20 Portanto há 20 maneiras possíveis de viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo.

EXEMPLO 3 Um restaurante prepara 3 pratos quentes (frango, carne assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, doce de leite e frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

Observe que nesse problema temos três níveis de decisão: D1:escolher um dentre os 3 tipo de pratos quentes. D2:escolher uma dentre as 2 variedades de salada. D3:escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 3 · 2 · 3 = 18 maneiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 18 opções de cardápio.

EXEMPLO 4 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 quantos números naturais de 3 algarismos existem?

Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Temos então três decisões: D1:escolher o algarismo da centena diferente de zero (8 opções). D2:escolher o algarismo da dezena (8 opções). D3:escolher o algarismo da unidade (8 opções). ------- ------- ------- 8 . 8 . 8 = 512 Portanto, o total de números formados será 512 números

EXEMPLO 5 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?

Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Temos então três decisões: D1:escolher o algarismo da centena (8 opções). D2:escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi escolhido para ocupar a centena (7 opções). D3:escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram utilizados (6 opções). ------- ------- ------- 8 . 7 . 6 = 336 Portanto, o total de números formados será 336 números.

EXEMPLO 6 Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem?

Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões. Temos então três decisões: D1:escolher o algarismo da centena diferente de zero (7 opções). D2:escolher o algarismo da dezena (8 opções). D3:escolher o algarismo da unidade (8 opções). ------- ------- ------- 7 . 8 . 8 = 448 Portanto, o total de números formados será 448 números.

EXEMPLO 7 Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos distintos existem?

Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero , temos então três decisões: D1:escolher o algarismo da centena diferente de zero (7 opções). D2:escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi escolhido para ocupar a centena (7 opções). D3:escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram utilizados (6 opções). ------- ------- ------- 7 . 7 . 6 = 294 Portanto, o total de números formados será 294 números.

EXEMPLO 8 Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa? Solução: Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a  {C,K},b  {C,K} e c  {C,K}, logo, o resultado procurado é 2.2.2 = 8

E se fossem com algarismos distintos? EXEMPLO 9 Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)? Solução:   ¯ ¯ ¯ 9 x 9 x 9 = 729 números E se fossem com algarismos distintos? ¯ ¯ ¯ 9 x 8 x 7 = 504 números

O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536 EXEMPLO 10 Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?  Solução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536  Resposta: 4.536 números

EXEMPLO 11 Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7? Solução: 5 x 4 x 3 ® 5 x 4 x 3 = 60   Respostas: 60 números

EXEMPLO 12 Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo? 

Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Prefixo ® 7 x 6 x 5 x 4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840 Resposta: 840 números

EXEMPLO 13 Um torneiro esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F.

Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: Solução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: Escola E ® 6. 4 = 24 maneiras Escola F ® 5 . 3 = 15 maneiras Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras. Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de:  (6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342  maneiras

EM RESUMO: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo!  Se o problema não depender da ordem ( por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cidade B a uma cidade C de quantas maneiras se pode ir de A a C , passando por B? De quantas maneiras diferentes, pode-se vestir uma pessoa de tenha camisas,3calças,2pares de meia e 2 pares de sapato? Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes quantas e quais são as possibilidades de resultado?

4) Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche,4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto de 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete? 5) Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades corresponde a um múltiplo de 3?

6) Usando somente os algarismos 1,2,3,4,5 e 6  a) Quantos números de dois algarismos podemos formar? b)Quantos números pares de dois algarismos podemos formar ? c)Quantos números ímpares de dois algarismos podemos formar ? d)Quantos números distintos de dois algarismos podemos formar ? e)Quantos números de dois algarismos pares podemos formar ?