Gráficos e Equações Polinomiais Prof. Marquinhos

UFRGS 2012  Raízes candidatas: 1,  2 e  4. Nem é preciso utilizar...  Aplicar Briot-Ruffini DUAS VEZES! 2 -7 3 8 -4 2 2 -3 -3 2 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 2 -3 -3 2 2 2 1 -1 2x2 + x – 1 = 0  Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x3= – 1 e x4 = ½, cuja soma é – ½ = – 0,5.  SOMA  –b/a = – ½ = – 0,5.

UFRGS 2008  Raízes candidatas: 1, apenas.  Aplicando Briot-Ruffini com x = 1. 1 4 6 4 1 1 1 5 11 15 16 Não serve!!!  Aplicando Briot-Ruffini com x1 = – 1. 1 4 6 4 1 –1 1 3 3 1  Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x3 = – 1 e x4 = – 1. x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0  Assim, a equação possui 4 raízes iguais; – 1 é raiz quádrupla.  Aplicando Briot-Ruffini com x2 = – 1. 1 3 3 1 –1 1 2 1 x2 + 2x + 1 = 0

UFRGS 2011  Teorema: Numa equação algébrica com coeficientes reais, se a + bi é raiz dessa equação, então a – bi também é raiz dela. 1) raízes imaginárias sempre aparecem aos pares; 2) uma equação de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real. Coeficientes reais  Teorema!  Se – 2 + i é raiz, então – 2 – i também é...  Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é...  Temos um equação de 5º grau, onde 4 são imaginárias. Assim, a outra é REAL.

= x3 – 3x2 + 3x – 1 UFRGS 2009 Forma Fatorada de um Polinômio P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )  A partir do enunciado, temos que: r1 = r2 = r3 = 1.  Da mesma forma, temos que a = 1.  Assim, temos que: P(x) = 1.(x – 1 ).(x – 1 ). (x – 1 ) = = (x – 1 )3 = = x3 – 3x2 + 3x – 1

Forma Fatorada de um Polinômio O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.  Raízes: 1, 2 e –1 (Observe que -1 é dupla.)  Termo independente: P(0) = – 4 Forma Fatorada de um Polinômio P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn ) P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2)  P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2) P(0) = a.2 = – 4  a = – 2  P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4 A soma dos coeficientes também pode ser dada por P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0, pois 1 é uma raiz de P(x).

UFRGS 2005  O polinômio possui 4 raízes simples  GRAU 4 Alternativas (A) e (B) eliminadas!  O gráfico de f(x) passa pela origem  T. I. é NULO Alternativas (C) e (D) eliminadas!  Resposta  Alternativa (E)

UFRGS 2004  O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência)  Forma Fatorada P(x) = a . (x – 2)2. (x + 2)  P(0) = 2 P(0) = a . (0 – 2)2. (0 + 2) = 2 a . 4. 2 = 2 a = ¼ P(x) = 1/4 . (x – 2)2. (x + 2) = ¼ . (x3 – 2x2 – 4x + 8) = = ¼.x3 – ½.x2 – 2x + 4  Soma dos Coeficientes = = ¼ – ½ – 2 + 4 = ¾  Soma dos Coeficientes  P(1) P(1) = ¼ . (1 – 2)2. (1 + 2) = = ¾ = 0,75  Resposta  Alternativa (B)

p(–2) = – 1 . (–2 + 1)2. (–2 – 2) = = (– 1). 1 . (– 4) = 4 UFRGS 2007  O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência)  Forma Fatorada p(x) = a . (x + 1)2. (x – 2)  p(0) = 2 p(0) = a . (0 + 1)2. (0 – 2) = 2 a . 1. (– 2) = 2 a = –1  p(x) = – 1. (x + 1)2. (x – 2)  Valor de p(– 2) p(–2) = – 1 . (–2 + 1)2. (–2 – 2) = = (– 1). 1 . (– 4) = 4  Resposta  Alternativa (C)