Árvores Binárias de Pesquisa (ABP) Prof. Luiz José Hoffmann Filho ljhfilho@gmail.com

Roteiro Definição de ABP Operações sobre ABP Análise de Complexidade de ABPs

Roteiro Definição de ABP Operações sobre ABP Análise de Complexidade de ABPs

Definição Uma árvore binária de pesquisa (ou de busca) obedece à seguinte propriedade: Seja x um nó de uma ABP. Se y é o nó raiz da sae de x, então chave[y]  chave[x]. Se y é o nó raiz da sad de x, então chave[y] > chave[x].

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Operações sobre ABP As principais operações são: Consulta; Inserção; Remoção. As operações inserção e remoção devem ser realizadas respeitando a propriedade das ABP.

Consulta de nós (1) Consulta com sucesso. Exemplo: Na ABP abaixo, consultar os dados referenciados pelo nó de valor 3.

Consulta de nós (2) Consulta sem sucesso. Exemplo: Na ABP abaixo, consultar os dados referenciados pelo nó de valor 9.

Inserção de nós (1) Esta operação identifica a posição correta e insere. A ordem em que os valores são inseridos é relevante. Exemplo 1: Inserir os nós 14 e 15. Exemplo 2: Inserir os nós 15 e 14. 12 16 10 9 1 7 2 8 4 3 raiz 11 12 16 10 9 1 7 2 8 4 3 raiz 11 14 15 15 14 Exemplo 1 Exemplo 2

Inserção de nós (2) Exemplo: Construir uma ABP a partir da seguinte lista de valores: 4,1,6,5,3,2 e 7.

Remoção de nós Três casos distintos a serem tratados: nó a ser removido tem zero, um ou dois filhos.

Remoção de nós – Caso 1 Caso 1: nodo a ser removido tem zero filhos Simplesmente remove o nodo 12 16 10 9 1 7 2 8 4 3 raiz 11 12 16 10 raiz 9 1 7 2 8 4 3 Após a remoção

Remoção de nós – Caso 2 Caso 2: nodo a ser removido tem um filho Substitui o nodo por seu filho 12 16 10 9 1 7 2 8 4 3 raiz 11 11 16 10 raiz 9 1 7 2 8 4 3 Após a remoção

Remoção de nós – Caso 3 Caso 3: nodo a ser removido tem dois filhos Substitui o nodo por seu sucessor 16 10 9 1 7 2 8 4 3 raiz 11 12 11 16 10 raiz 9 1 2 8 7 3 Após a remoção nodo sucessor Pergunta: Poderíamos ter feito a substituição pelo nodo antecessor?

Nodo Sucessor e Antecessor Considerando que as chaves sejam todas distintas: O sucessor de um nodo x é o nodo y, tal que chave[y] é o menor valor maior que chave[x]. O antecessor de um nodo x é o nodo y, tal que chave[y] é o maior valor menor que chave[x].

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Análise de complexidade (1) Com relação a pesquisa  Depende da quantidade de nós internos que eu precise visitar. Qual é a complexidade de uma busca com sucesso? Depende da ordem de inserção dos nós ao construir uma ABP. Figura 1 Figura 2 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Análise de complexidade (2) Complexidade de uma busca sem sucesso Melhor Caso: Árvore binária perfeita: O(log n)  Figura 1 Árvore não balanceada: O(n)  Figura 2 Figura 1 Figura 2 4, 6, 2, 5, 1, 7, 3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7