Teoria da Demanda Tratamento Algébrico

Os consumidores maximizam sua utilidade dada uma restrição orçamentária Supondo a seguinte função de utilidade A função utilidade marginal do bem X será O consumidor irá tentar maximizar sua função de utilidade, (1) sujeito a restrição orçamentária (2)

Para maximizar uma função sujeita a uma restrição utilizamos o método dos multiplicadores de Lagrange A equação a seguir representa o lagrangiano do problema (3) Note que escrevemos a restrição orçamentária como Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos (4)

As três equações anteriores podem ser reescritas da seguinte forma pois assim poderemos encontrar os valores ótimos de X e Y Cada mercadoria será consumida até o ponto em que a utilidade marginal de seu consumo seja um múltiplo de seu preço A seguir apresentamos o princípio da utilidade marginal (5) que significa que a utilidade marginal de cada mercadoria dividida por seu respectivo preço é a mesma, (6)

Considerando um nível fixo de utilidade U Considerando um nível fixo de utilidade U*, a curva de indiferença correspondente a tal nível de utilidade é A variação total na utilidade deve ser igual a zero, assim (7) Reordenando os termos, temos (8) TMSYX é a taxa marginal de substituição de Y por X, que representa a razão entre utilidades marginais do consumidor, e é igual a razão entre os preços

Agora vamos diferenciar a função de utilidade em relação a renda para encontrar a utilidade marginal da renda (9) Como um incremento na renda deve ser dividido entre X e Y (10) substituindo a equação 5 na equação 9 (11) e substituindo a equação 10 na equação 11 (12)

Exemplo Vamos supor uma função de utilidade de Cobb-Douglas, que pode ser escrita das seguintes formas Dada a restrição orçamentária usual, escrevemos o lagrangiano Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos

As duas primeiras condições têm as seguintes implicações (13) (14) Combinando essas duas com a última condição, que é a restrição orçamentária, temos ou Substituindo essa expressão nas equações 13 e 14, obtemos as funções de demanda

Dualidade na Teoria do Consumidor Podemos enxergar de duas formas as decisões de otimização do consumidor escolha da curva de indiferença mais alta escolha da linha de orçamento mais baixa Vamos agora minimizar o custo de um nível de utilidade Considerando a seguinte restrição criamos o lagrangiano (15)

Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos Resolvendo as duas primeiras equações obtemos Pelo fato de também ser verdadeiro que a escolha dos valores para X e Y que minimizem o custo deve ser no ponto em que a linha de orçamento tangencie a curva de utilidade U*, que é o mesmo ponto que maximiza a utilidade com restrição de renda

Agora vamos utilizar a forma exponencial da função de utilidade de Cobb-Douglas, para provar que as funções de demanda resultantes serão as mesmas Dada a restrição de utilidade, obtemos o lagrangiano (16) Diferenciando em relação a e e igualando as derivadas a zero, encontramos Multiplicando a primeira equação por X e a segunda por Y, e somando ambas, temos

Sendo R o gasto minimizador de custo, teremos que Efetuando a substituição nas equações anteriores, obtemos que são as mesmas funções de demanda obtidas anteriormente! Efeito Renda e Efeito Substituição Denotamos a variação de X que resulta de uma variação de uma unidade no preço de X, mantendo a utilidade constante, por Assim, a variação total de X resultante da variação em PX é

A partir da restrição orçamentária usual, sabemos que por diferenciação obtemos Substituindo esta expressão na equação 17 obtemos a equação de Slutsky onde o primeiro termo representa o efeito substituição e o segundo, o efeito renda Fonte: R. Pindyck & D. Rubinfeld, Microeconomia, 5a Edição