Teoria das carteiras Risco e Aversão ao Risco Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Risco Carteiras Óptimas com Risco

O processo de investimento consiste em duas tarefas: Risco e aversão ao risco O processo de investimento consiste em duas tarefas: Segurança e análise de dados do mercado; Formação de uma carteira óptima de activos.

σ 2 = p[w1-E[w]]2+(1-p)[w2-E[w]] 2 σ = € 34,292,86 Risco e aversão ao risco Lucro W1 = € 150 € 50 p =.6 Inv. com Risco 1-p =.4 W2 = € 80 - € 20 W= € 100 € 5 T-bills Risco Numa Perspectiva Simples E[w] = pw1+(1-p)w2 = € 122,000 σ 2 = p[w1-E[w]]2+(1-p)[w2-E[w]] 2 = € 1,176,000,000 σ = € 34,292,86 Prémio de Risco = € 17

Genéricamente E[r] = å Pr(s)r(s) s=1 2 = å Pr(s)[r(s)-E[r]]2 s=1 n Risco e aversão ao risco Genéricamente n E[r] = å Pr(s)r(s) s=1 REGRA 1 n 2 = å Pr(s)[r(s)-E[r]]2 s=1 REGRA 2

Principio da Dominância Risco e aversão ao risco Principio da Dominância 4 2 domina 1 ; tem maior retorno Retorno Esperado 2 3 2 domina 3 ; tem maior risco 1 4 domina 3 ; tem maior retorno Variância ou Desvio Padrão

Tipos de Investidores: Risco e aversão ao risco JOGO ESPECULAÇÃO / Tipos de Investidores: Avessos ao Risco Neutros ao risco Jogadores

Risco e aversão ao risco Aversão ao Risco e Utility Value E[r] Curva de indiferença U = E[rp]-.005A 2 U – Utility value A - Aversão E[rd] sp

Risco da carteira Investir em activos para reduzir o risco da carteira é chamado hedging. Consideremos o problema da Humanex, uma organização sem lucro em que a maior parte do seu rendimento provém do retorno de doações. Anos atrás, os fundadores da Best Candy deram acções da sua empresa à Humanex com a condição de não as poder vender. Este bloco de acções é agora de 50% do dote da Humanex. A Humanex é livre de escolher onde investir o resto de sua carteira.

Tendência de subida do mercado Tendência de descida do mercado Risco da carteira O valor das acções da Best Candy é sensível ao preço do açúcar. À anos atrás quando a Caribbean Sugar faliu, o preço do açúcar aumentou significativamente e a Best Candy perdeu perdas consideráveis. A fortuna da Best Candy é descrita pela seguinte análise: Ano normal do açúcar Ano Anormal do açúcar Tendência de subida do mercado Tendência de descida do mercado Crise do açúcar Probabilidade 0.5 0.3 0.2 Taxa de retorno 25% 10% -25%

Humanex Humanex= 0.5Best + 0.5bills = 0.5*18.9 + 0.5*0 = 9.45% Risco da carteira Humanex Com vista a reduzir o risco a Humanex investiu a parte restante do seu dote em T-bills, que garantem uma taxa de retorno de 5%. E[rHumanex] = 0.5E[rBest] + 0.5rbills= (0.5*10.5) + (0.5*5) =7.75% Humanex= 0.5Best + 0.5bills = 0.5*18.9 + 0.5*0 = 9.45%

Tendência de subida do mercado Tendência de descida do mercado Risco da carteira Sugar Kane Ano normal do açúcar Ano Anormal do açúcar Tendência de subida do mercado Tendência de descida do mercado Crise do açúcar Probabilidade 0.5 0.3 0.2 Taxa de retorno 1% -5% 35% E[rSugar Kane] = 6% Sugar Kane = 14.73%

Sally 10.50% 18.90% 7.575% 9.45% 8.25% 4.83% Risco da carteira Retorno Esperado Desvio Padrão Tudo em Best Candy 10.50% 18.90% Metade em T-Bills 7.575% 9.45% Metade em Sugar Kane 8.25% 4.83% Os números são expressivos. A Carteira Sugar Kane domina a estratégia simples da redução do risco de investir nos seguros T-bills. Este exemplo demostra que as acções que estão inversamente relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco.

Quantificação do poder de diversificação Risco da carteira Quantificação do poder de diversificação Cov[rBest,rsugar]= å Pr(s)[rBest(s)-E[rBest]] * [rSugar (s)-E[rSugar]] s Cov[rBest,rSugar] r (Best,Sugar Kane) = s Best s Sugar Kane

DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE ACTIVOS COM E SEM RISCO Investir num activo sem risco é mais seguro Investir num activo com risco pode implicar um lucro bem mais generoso Então, ONDE INVESTIR ???

=> TUDO ou NADA ? Distribuir o capital entre os Distribuição de capital entre activos com e sem risco TUDO ou NADA ? => Distribuir o capital entre os activos com e sem risco MAS QUAL SERÁ O PESO DO INVESTIMENTO EM CADA ACTIVO ?

Movimentação de Valores Distribuição de capital entre activos com e sem risco Movimentação de Valores 25% Carteiras 45% 55% Activos 75% 40% 45% Carteiras 55% Activos 60%

Activos sem risco Obrigações de Tesouro Certificados do Banco de Depósitos Papel Comercial

Formulário rC = yrp + (1 – y)rf E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) sC = ysp Carteiras de um activo com risco e um activo sem risco Formulário Taxa de retorno da carteira global rC = yrp + (1 – y)rf Valor esperado da taxa de retorno da carteira global E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) Desvio padrão da carteira global sC = ysp

E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) = 7 + (8/22) sC Distribuição de capital entre activos com e sem risco Exemplo Numérico Vamos tomar os seguintes valores: E(rp) = 15 % ; sp = 22 % ; rf = 7 % Temos então que o Risco de Prémio será: RP = 15 % - 7 % = 8 % e y = sC/22 vindo que o valor esperado procurado será: E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) = 7 + (8/22) sC O valor esperado de retorno de uma carteira global, como função do seu desvio padrão, é uma recta cujo declive será: S = (E(rp) – rf) / sp = 8/22

Gráfico de combinações Retorno Esperado/Desvio Padrão Distribuição de capital entre activos com e sem risco Gráfico de combinações Retorno Esperado/Desvio Padrão E(r) CAL P } S2 15 Prémio de risco S1 rf = 7 s 22

Tolerância ao risco e distribuição de activos Tolerância ao risco e distribuição do activo Tolerância ao risco e distribuição de activos Como já vimos: U = E(r) – 0,005As2 O investidor procura maximizar o nível de utilidade. Temos então que : Max U = E(rC) – 0,005As2C y = rf + y(E(rp) – rf) – 0,005A y2s2p Resolvendo este problema de maximização vem que: E(rp) – rf 0,01As2p y* =

sC = 0,41*22 = 9,02 % Tolerância ao risco e distribuição do activo Voltando ao exemplo numérico, consideremos um investidor com um grau de aversão 4, isto é, A = 4. Temos então que: y* = (15 – 7) / (0,01*4*222) = 0,41 Vindo, E(rC) = 7 + 0,41*(15 – 7) = 10,28 % e sC = 0,41*22 = 9,02 % O prémio de risco seria: PR = 10,28 – 7 = 3,28 %

Certainty Equivalent diferente para dois investidores diferentes Tolerância ao risco e distribuição do activo A = 4 A = 2 Certainty Equivalent diferente para dois investidores diferentes E(r) P 15 rf = 7 s 22

Solução gráfica para uma decisão de carteira Distribuição de capital entre activos com e sem risco Solução gráfica para uma decisão de carteira E(r) CAL P E(rf) C E(rC) rf s sC sp

Estratégias Passivas Uma estratégia activa não é grátis Estratégias passivas: Recta de mercados de capitais Estratégias Passivas Uma estratégia activa não é grátis Benefício livre

Carteiras óptimas com risco

Diversificação s s n n Diversificação e risco de uma carteira Risco Único Risco do Mercado n n Risco Único Risco de Mercado

Carteira de dois activos com risco Carteiras de dois activos com risco Carteira de dois activos com risco Bonds Acções Retorno esperado 8% 13% Desvio Padrão 12% 20% Covariância 72 Coef. de correlação 0,30 rp = wdrd + were E(rp) = wd E(rd) + we E(re)

Matriz de covariância s2p= w2es2e + w2ds2d + 2wewdCov(re,rd) Carteiras de dois activos com risco Matriz de covariância Covariâncias Proporção na carteira wd wd wd s2d Cov(rd,re) we Cov(rd,re) s2e s2p= w2es2e + w2ds2d + 2wewdCov(re,rd) NOTA: Cov(re,re) = s2e ; Cov(rd,rd) = s2d Cov(rd,re) = cov(re,rd)

Influência do coeficiente de correlação Carteiras de dois activos com risco Influência do coeficiente de correlação Variância da carteira Desvio Padrão da carteira r = -1 ( wdsd - wese )2 | wese - wdsd | r = 0 w2es2e + w2ds2d w2es2e + w2ds2d r = 1 ( wese + wdsd )2 wese - wdsd Cov(re,rd) = redsesd s2p= w2es2e + w2ds2d + 2wewd redsesd

se se + sd wd = sd sd + se we = = 1 - wd Carteiras de dois activos com risco Como escolher as proporções do activo de forma a criar uma posição perfeita de hedging ? r = -1 se se + sd wd = sd sd + se we = = 1 - wd

Retorno esperado em função das proporções dos investimentos Carteiras de dois activos com risco Retorno esperado em função das proporções dos investimentos E[r(carteira)] 13% Fundo de Acções 8% Fundo de bonds we -0,5 0,0 1,0 2,0 wd 1,5 1,0 0,0 -1,0

Relação desvio padrão e proporção dos investimentos Carteiras de dois activos com risco Relação desvio padrão e proporção dos investimentos Desvio Padrão da carteira r=-1 r=0 r=0,3 r=1 we -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 wd 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5

No nosso caso wMin(D)= wMin(E) = 1 - 0,82 =0,18 Carteiras de dois activos com risco No nosso caso s2e -Cov(re,rd) s2e + s2d -2Cov(re,rd) wMin(D)= 202 – 72 122 + 202 – 2x72 = = 0,82 wMin(E) = 1 - 0,82 =0,18 sMin(P) = [0,822x122 + 0,182x202 + 2x0,82x72]½ = 11,45%

Carteira óptima com dois activos com risco e um activo sem risco Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Carteira óptima com dois activos com risco e um activo sem risco Considere-se duas carteiras A e B, sendo A a carteira de variância mínima: Acções Bonds Carteira A 18% 82% Carteira A 30% 70% E(rA) = 8,9% sA = 11,45% E(rB) = 9,5% sB = 11,7% Então temos que: Considere-se Treasury-Bills com r = 5%.

Relação Retorno/Risco Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Relação Retorno/Risco E[r] 13% r=1 r=-1 r=0,3 r=0 8% Desvio Padrão da carteira

SB > SA Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills E[r] B 9.5 8.9 A s 11.45 11.7 Os reward-to-variability ratio das CAL’s considerando, as carteiras A e B, respectivamente, e T-bills são: E(rA) – rf sA 8,9 - 5 11,43 SA = = = 0,34 SB > SA 9,5 - 5 11,7 SB = = 0,38

Determinação da CAL tangente Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Determinação da CAL tangente Resolução do problema: Maximizar Sp E(rp) – rf sp Função objectivo: Sp = Restrição: åwi = 1 No caso de 2 activos com risco, a solução para wd e we é: [E(rd)-rf]s2e – [E(re) – rf]Cov(rd, re) [E(rd) – rf]s2e + [E(re-rf]s2d – [E(rd) – rf + E(re) – rf]Cov(rd, re) wd = vindo, we = 1 - wd

Construção da carteira óptima com risco P Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Construção da carteira óptima com risco P (8-5)x400 – (13-5)x72 (8-5)x400 + (13-5)x144 – (8-5+13-5)x72 wp = =0,4 ; we = 0,6 E(r) CAL Opportunity Set P E (acções) E(rp) = 11% rf = 5% D (Bonds) s sp = 14.2%

Como utilizar o nível individual de aversão ao risco ? Por exemplo, para A = 4, vem que: (E(rp) – rf) 0,01As2p 11-5 0,01x4x14,22 y = = = 0,7439 O investidor deverá, então, investir: 74,39% Þ carteira com risco P 25,61% Þ T-Bills ATENÇÃO: carteira com risco P é constituída por 40% de bonds e 60% de acções, logo ywd = 0,4x0,7349 = 0,2976 ywe = 0,6x0,7349 = 0,4463

Determinação gráfica da carteira óptima completa Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills Determinação gráfica da carteira óptima completa E(r) CAL Opportunity Set D E (acções) s P 11% 5% 14.2 C (Bonds) Carteira óptima Completa Curva da indiferença Carteira Óptima com risco

Caso Geral ( ) ( ) Modelo de selecção de carteiras de Markowitz r E w å = n i P r E w 1 Retorno esperado da carteira P: Desvio Padrão da carteira P: ( ) å ¹ = + n j i P r Cov w 1 2 , s - n estimativas de E(ri) - n estimativas das 2i - n(n-1) estimativas das covariâncias 2

Fronteira de Eficiência Modelo de selecção de carteiras de Markowitz Fronteira de Eficiência E(r) E(r1) E(r2) E(r3) s A B C

Distribuição de capitais e propriedades de separação Modelo de selecção de carteiras de Markowitz Distribuição de capitais e propriedades de separação Introdução do activo sem risco CAL(P) CAL(B) E(r) P CAL(A) F s

Investidor mais tolerante ao risco Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco S Investidor mais tolerante ao risco E(r) Fronteira eficiente de activos com risco P Q s Investidor mais averso ao risco

Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco Investidores que podem emprestar sem risco, mas que estão proibidos de pedir emprestado E(r) CAL B Q P A rf F s

Investidores que podem pedir emprestado Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco Investidores que podem pedir emprestado E(r) CAL1 CAL2 Fronteira eficiente P2 rBf P1 A rf F Investidores na defensiva s

Investidores mais agressivos Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco Investidores mais agressivos CAL2 E(r) B Fronteira eficiente P2 rBf rf s

Investidores intermédios Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco Investidores intermédios E(r) CAL1 CAL2 Fronteira eficiente P2 C rBf P1 rf s