SNA 0001 Profa Éverlin Marques 2015/2

Álgebra de Boole George Boole em 1854 apresenta “An Investigation of the Laws of Thought” Teoria matemática das proposições lógicas Claude Shannon no livro “Symbolic Analysis of Relay and Switching” relacionou funções lógicas com circuitos de chaveamento em

Álgebra de Boole Álgebra de 2 valores : 0 e 1 Organizada em conjunto P cujos elementos são P = { A,B,C,...,Z,a,b,c,...,z, 0, 1} E (.) e OU(+) são as duas operações válidas sobre P

Álgebra de Boole Postulados Afirmações que são estabelecidas como verdadeiras sem necessidade de demonstração Estabelecem os limites da álgebra. Dão consistência à Álgebra de Boole. Explicam os operadores E e OU. São base para demonstrar novas proposições ( teoremas).

Postulado 1 Associatividade de E e OU Sejam X, Y ou Z pertencentes a P, considere : P1) a) O resultado da “soma” de 3 elementos quaisquer de P não depende da ordem das parcelas: X + Y + Z = ( X + Y) + Z = X + ( Y + Z) Exemplo a + 0 + 1 = ( a + 0) +1 = a + ( 0 + 1) “soma” é a operação lógica OU soma lógica

Postulado 1 Associatividade de E e OU Sejam X, Y ou Z pertencentes a P, considere : P1) b) O resultado do “produto” de 3 elementos quaisquer de P não depende da ordem das parcelas: X . Y . Z = ( X . Y) . Z = X . ( Y . Z) Exemplo a . 0 . 1 = ( a . 0) . 1 = a . ( 0 . 1) “produto” é a operação lógica E produto lógico

Postulado 2 Comutatividade de E e OU a) O resultado de uma soma não é alterado se a ordem das parcelas for mudada: X + Y = Y + X Exemplo 0 + 1 = 1 + 0 b) O resultado de um produto não é alterado se a ordem dos termos for mudada: X . Y = Y . X 0 . 1 = 1 . 0

Postulado 3 Elemento unitário para OU Um elemento M pertencente a P é unitário numa dada operaç!ão booleana quando a aplicação da operação entre M e um elemento X qualquer de P resulta no próprio elemento X. O elemento unitário do OU é o dígito 0: 0 + X = X Exemplo 0 + 1 = 1

Postulado 4 Elemento unitário para E Um elemento unitário M da operação E é o dígito 1. 1. X = X Exemplo 1 . 0 = 0

Postulado 5 Distributividade de E sobre OU O produto de um elemento X qualquer de P pela soma (Y + Z) é igual a uma soma dos produtos de X pelos elementos da soma ( Y + Z ) X . ( Y + Z ) = ( X . Y ) + ( X . Z )

Postulado 6 Distributividade de OU sobre E A soma de um elemento X qualquer de P pela soma (Y . Z) é igual ao produto das somas de X pelos elementos ( Y . Z ) X + ( Y . Z ) = ( X + Y ) . ( X + Z )

Postulado 7 Existência de complemento Para qualquer X pertencente a P, existe um X, pertencente a P, chamado de complemento de X. X . X = 0 e X+ X = 1 Exemplo 0 . 0= 0 e 0 + 0 = 1

Postulados de 1 a 7 Os postulados 1 a 5 tem suporte na álgebra convencional Os postulados 6 e 7 são exclusivos da Álgebra de Boole. As prioridades estabelecidas na álgebra convencional para ( ) , { } e [ ] também valem na Álgebra de Boole. A operação E é prioritária em relação à OU.

2.2. Lei da Dualidade Ao substituir a operação OU pelo E e o dígito 0 por 1 numa expressão booleana, obtém-se uma expressão booleana diferente, mas verdadeira , chamada dual da expressão original. E vice-versa também se verifica. Exemplo 2.1 0 + X = X ( Postulado 3) equivale a 1 . X = X ( Postulado 4)

Lei da Dualidade Exemplo 2.2 A aplicação da lei da dualidade no Postulado 1 ( X + Y ) + Z = X + ( Y + Z) ( Postulado 1 a) equivale ( X . Y ) . Z = X. ( Y . Z ) Após provar um teorema, a lei da dualidade permite obter novo teorema, também verdadeiro.

2.3. Teoremas Fundamentais Qualquer sugestão de novo teorema, requer comprovação. Podemos provar um teorema usando outro já provado. Usa-se os postulados e artifícios algébricos na Álgebra de Boole.

Teorema dos Elementos Nulos Teorema 1 :A soma de um elemento X qualquer de P com 1 é igual a 1. Ou seja, X + 1 = 1. Prova X + 1 = 1 Postulado 4 1. ( X + 1 ) = 1 P. 7 ( X + X)(X +1 ) =1 P. 6 X + 1 . X= 1 P. 4 X + X = 1 1= 1

Teorema 2 Dual do Teorema 1 O produto de X por 0 é igual a 0. Ou seja, X. 0 = 0 Prova X + 1 = 1 Equivale pela Lei da Dualidade X . 0 = 0

Teorema 3 Idempotência parte a “A soma de um elemento X qualquer pertencente a P, com ele mesmo, é igual a X.” Ou seja, X + X = X

Teorema 4 Idempotência parte b “O produto de um elemento X qualquer pertencente a P, por ele mesmo, é igual a X.” Ou seja, X . X = X A prova é válida pela aplicação da lei da dualidade ao teorema 3.

Teorema 5 Convolução O complemento do complemento de um elemento X é igual ao próprio elemento X. Ou seja, X = X''

Teorema 6 Teoremas de De Morgan a) O complemento de uma soma de elementos é igual ao produto de seus complementos, i.e., (X1+ X2 + + + Xn ) = X1 . X2 … Xn Exemplo ( a + 0 + b) = a . 0 . b

Teorema 6 Teoremas de De Morgan b) O complemento de um produto de elementos é igual à soma de seus complementos, i.e., (X1. X2 ... Xn ) = X1 + X2 +++ Xn Exemplo ( a . 0 . b) = a +0 +b

Teorema 7 Teoremas da Exclusão Quaisquer X e Y pertencentes a P, temos X + X . Y = X + Y