1 ESTATÍSTICA

2 UDIII - Relação Entre Duas ou Mais Variáveis ESTATÍSTICA Ass 01: Regressão Múltipla (2 a Parte)

3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Calcular um intervalo de 95% de confiança para cada coeficiente angular do verdadeiro plano de regressão Calcular o valor-p para a hipótese nula =0 e para a hipótese nula =0 Fazer predições sobre a variação de Y considerando a variação de um ou mais regressores.

4 SUMÁRIO 1- Intervalos de Confiança e Testes Estatísticos 2. Coeficientes de Regressão como Fatores de Ampliação

5 1. Intervalos de Confiança e Testes Estatísticos a. Erro Padrão Tal como na regressão simples, a verdadeira relação de Y para X é avaliada pelo coeficiente populacional, desconhecido, : estimamo-lo por meio do coeficiente amostral b. Enquanto que o verdadeiro é um valor fixo, a estimativa b varia de amostra para amostra, flutuando em torno do alvo com distribuição aproximadamente normal.

6 Fig.1- Distribuição Amostral de b Valor esperado = b p(b)

7 Da mesma forma, a verdadeira relação de Y para Z é avaliada pelo coeficiente angular populacional, desconhecido, : estimamo-lo por meio do coeficiente angular amostral c. Enquanto que o verdadeiro é um valor fixo, a estimativa c varia de amostra para amostra, flutuando em torno do alvo com distribuição aproximadamente normal. O erro padrão de b e o erro padrão de c são em geral calculados conjuntamente com os próprios valores de b e de c, através de soluções computadorizadas.

8 Tab 1. Coeficientes, Erros Padrão e Razões t Calculados através do Excel Interseção Fertilizante Nível Pluv Coeficiente 28, , , Erro Padrão 2, , , Razão-t 11, , ,400617

9 b. Intervalos de Confiança Para k regressores: g.l.= n-k-1

10 Exemplo 1: Com base nos dados computadorizados da Tab.1, calcule um intervalo de 95% para cada coeficiente de regressão. Solução:

11 c. Valor-p A razão para testar =0 é, como de costume, Da mesma forma, a razão para testar =0 é,

12 Exemplo 2: Com base nos dados computadorizados da Tab.1, calcule o valor-p para a hipótese nula =0 (o fertilizante não influi na safra) Solução: Ou, equivalentemente, podemos ter a mesma razão-t na última coluna da Tab.1 Com tão pequena credibilidade, podemos rejeitar H 0 : concluímos que o fertilizante contribui, realmente, para aumentar a safra.

13 Exemplo 3: Com base nos dados computadorizados da Tab.1, calcule o valor-p para a hipótese nula =0 (a precipitação pluviométrica não influi na safra) Solução: Ou, equivalentemente, podemos ter a mesma razão-t na última coluna da Tab.1 Com tão pequena credibilidade, podemos também aqui rejeitar H 0 : concluímos que a chuva contribui para aumentar a safra.

14 Costuma-se resumir os cálculos dos exemplos 2 e 3 dispondo-os em forma de equação, como se segue:

15 2. Coeficientes de Regressão como Fatores de Ampliação. a) Regressão Simples X Y Fig.2 –Interpretação do coeficiente angular Y=36+0,06X b=variação de Y correspondente a uma variação unitária de X Variação de Y=b(Variação de X)

16 Em estudos observacionais não-controlados coeficiente de regressão simples b nada prova quanto à causalidade. O aumento de Y correspondente a um aumento unitário de X reflete não só o efeito de X mas também o efeito de todas as variáveis estranhas que estejam se modificando simultaneamente. Para determinar especificamente o efeito de X sobre Y, devemos apelar para a regressão múltipla.

17 2. Coeficientes de Regressão como Fatores de Ampliação. b) Regressão Múltipla: Outros Fatores Mantidos Iguais Y= a + bX + cZ Se Z permanece constante, ainda é verdade que Y = b X: Y inicial = a + bX + cZ Y novo = a + b(X+ X) + cZ Y = b X

18 Se o outro regressor Z permanece constante, Variação de Y = b (Variação de X) Qual seria o aumento da safra Y correspondente a um aumento de 5 lb do fertilizante X, supondo inalterada a precipitação pluviométrica? Variação da safra = 0,038(5) = 0,19 bushel Consideremos, por exemplo, o caso da safra de trigo: Y = ,038X + 0,83Z

19 Generalizando para o caso de k regressores: Se Y = a + b 1 X 1 + b 2 X b k X k então b 1 = variação de Y correspondente a uma variação unitária de X 1, quando todos os outros regressores permanecem constantes

20 Que ocorre se todos os regressores X variam simultaneamente? A variação em Y é apenas a soma das variações individuais: Se Y = a + b 1 X 1 + b 2 X b k X k então Y = b 1 X 1 + b 2 X b k X k

21 Exemplo 4: As regressões simples e múltipla da safra sobre o fertilizante e a precipitação pluviométrica (chuva) são: SAFRA = ,059 FERT SAFRA = ,50 CHUVA SAFRA = ,038 FERT + 0,83 CHUVA

22 a) Se um fazendeiro acrescenta 100 lb de fertilizante por acre, qual o aumento de safra que pode esperar? Solução: Quando o fazendeiro aumenta o fertilizante, não está modificando a precipitação pluviométrica em sua fazenda. Portanto, é a regressão múltipla que importa: 0,038(100) = 3,8 bushels

23 b) Se ele irriga com 3 polegadas de água, qual o aumento de safra que pode esperar? Solução: Quando aumenta a água através de irrigação, o fazendeiro não está modificando o fertilizante em sua fazenda. Portanto, novamente aqui o que importa é a regressão múltipla: 0,83(3) = 2,5 bushels

24 c) Se ele acrescenta 100 lb de fertilizante por acre e, simultaneamente, irriga com 3 polegadas de água, qual o aumento de safra que pode esperar? Solução: Quando os dois regressores variam simultaneamente: Y = 0,038(100) + 0,83(3) Y = 3,8 + 2,5 Y = 6,3 bushels

25 d) Já observamos que uma aplicação elevada de fertilizante tende estar associada a uma a uma alta precipitação pluviométrica, nos dados em que foram calculadas essas três equações de regressão. Persistindo esta mesma tendência, qual o aumento de safra que se poderia esperar em um acre que recebesse mais 3 polegadas de água do que outro?

26 Solução: Não utilizaremos o coeficiente 0,83 ( regressão múltipla) porque o mesmo mostra como a safra aumenta em função da chuva somente (com o fertilizante constante). Em lugar disso, usaremos o coeficiente 1,50 que mostra como a safra aumenta com a chuva quando o fertilizante também varia: 1,50(3) = 4,5 bushels

27 Resumindo: O resultado da letra d) (4,5 bushels) é maior do que o da letra b) (2,5 bushels) porque este coeficiente de regressão simples (1,50) mostra como a safra é afetada pela precipitação pluviométrica e pelo aumento associado de fertilizante. Observações: Admitimos que a irrigação artificial tivesse o mesmo efeito que a queda de chuva. Se tal hipótese não é justificada, as previsões em b) e c) podem estar bem longe da realidade.

28 PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS. BOA SORTE!