Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos do 7º ano Conteúdos do 8º ano

Conteúdos do 8º Ano Teorema de Pitágoras Funções Semelhança de triângulos Ainda os números Lugares geométricos Estatística

Conteúdos do 7º Ano Do Espaço ao Plano Semelhança de Figuras ( está abordado nos conteúdos do 8º ano) Conhecer melhor os números Conjuntos e operações Equações Proporcionalidade directa Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)

Teorema de Pitágoras a c C2= a2+b2 b Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a c C2= a2+b2 b Determinação da hipotenusa Determinação de um cateto 15 2 = c2 + 92  225 = c2 + 81  225 - 81 = c2  C2 = 144  C = 12 h2 = 52 + 122  h2 = 25 + 144  h2 = 169  h = 13 cm h 15 cm c 12 cm 9 cm 5 cm

Semelhança de triângulos Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se: Tiverem dois ângulos geometricamente iguais Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos Escola EB 2,3 Prof. Dr. Egas Moniz - Avanca Semelhança de triângulos Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos 1. Determina a altura da árvore. Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB. Determinação da altura da árvore. 5,2 = h  h = 5,2 x 0,8 : 1,6 1,6 0,8 h = 5,2 x 0,8 : 1,6 h = 2,6 m A altura da árvore é de 2,6 metros. 3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulos Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: A razão entre os perímetros de A e B é r. A Razão entre as áreas de A e B é r2. PB:PA= r AB:AA =r2

Funções Formas de definir uma função: Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B Formas de definir uma função: Por um diagrama Por uma tabela Por uma expressão analítica Por um gráfico

Funções definidas por um diagrama Ex. Funções Ex. Não são funções A f B 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -7 -2 -4 -3 Df = {1;2,3} D’f = {-1;-2,-3} Objectos: 1;2,3 Imagens: -1;-2;-3 A – Conjunto de Partida B – Conjunto de chegada f ( 2 ) = -2 f ( x ) = -x 1 2 -1 2

Funções definidas por uma Tabela Seja a função f definida pela tabela seguinte Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4 Perímetro do quadrado (P) 8 12 16 Df = {1;2,3;4} D’f = {4;8;12;16} Objectos: 1;2,3;4 Imagens: 4;8;12;16 Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado f ( 2 ) = 8 f ( x ) = 4x

Funções definidas por uma expressão analítica Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica f(x ) = 2x -1 Calcular a imagem sendo dado o objecto f(3) = 2 x 3 -1 f(3) = 5 Calcular o objecto sendo dada a imagem f(x) = 15 2x – 1 = 15  2x = 15 + 1  2x = 16  x = 8 (3;5) e (8;15) pertencem á recta que é gráfico da função f.

Funções definidas por um gráfico Variável independente: Peso Variável dependente: Custo F( … ) = 12 F(1) = ….. Tipo de função: Linear Expressão analítica: f(x) = 6x

Ainda os Números Múltiplos e divisores Potências Notação cientifica

Múltiplos e divisores ( m.m.c) Determina o m.m.c(12;30) 1º processo M12 = {0;12;24;36;48;60…} M30 = {0;30;60…} m.m.c = {60} 2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c = 22 x 3 x5 = 60 Produto dos factores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente

Múltiplos e divisores ( M.d.c) Determina o m.d.c(12;30) 1º processo D12 = {1;2;3;4;6;12} D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30} M.d.c = {6} 2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 M.d.c = 2 x 3 = 6 Produto dos factores primos comuns elevados ao menor expoente

Regras operatórias das potências Multiplicação Com a mesma base 2-2 x 27 = 25 Com o mesmo expoente (-2)3 x (-7)3 = 143 Divisão Com a mesma base 2-2 : 27 = 2-9 = Com o mesmo expoente (-24)3 : (-6)3 = 43 Potencia de potência (23)5 = 215 Potencia de expoente nulo 50 = 1 Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5

Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10 Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica 253 x 10 -3 6769800 0,0000008 76,9 x 105 Operações com números escritos em notação científica Multiplicação (2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105 Divisão (8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12

Lugares geométricos Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência. O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior. exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

Mediatriz de um segmento de recta Lugares geométricos Coroa circular: É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C. r2 r1 Mediatriz de um segmento de recta É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB]

Lugares geométricos Bissectriz de um ângulo A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo. circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo. Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triangulo. Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo

Lugares geométricos no espaço Superfície esférica e esfera Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica. A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

Lugares geométricos no espaço Plano mediador O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta. O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.

Estatística Recolha de dados Tabelas de frequências Gráficos Medidas de tendência CENTRAL

Estatística – Recolha de dados Tipo de dados quantitativos qualitativos Exemplos: Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua. Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação. Exemplo Exemplo Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período. Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes. Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatistica - Contagem dos dados Que número calças? 37;41;38;39;42;37; 40;39;41;39;39;40; 39;39;40;39;38;36 36 1 37 2 38 2 39 7 40 3 41 2 42 1 total 18

Estatística - Tabelas de frequências X 100% Frequência absoluta (f) Frequência relativa (fr) Fr em percentagem 36 1 1 : 18 = 0,06 6 % 37 2 2 : 18 = 0,11 11 % 38 2 2 : 18 = 0,11 11 % 39 7 7 : 18 = 0,39 39 % 40 3 3 : 18 = 0,16 16 % 41 2 2 : 18 = 0,11 11 % 42 1 1 : 18 = 0,06 6 % 1,00 100 % total 18

Estatística - Gráficos de barras

Estatística - Pictograma = 1 aluno Estatística - Pictograma

Estatística - Gráficos circulares Frequência absoluta (f) Graus 36 1 20º 37 2 40º 38 2 40º 39 7 140º 40 3 60º 41 2 40º 42 1 20º total 18 360º

Estatística - Gráficos circulares

Estatística – Medidas de tendência central Média Frequência absoluta (f) 36 1 37 2 38 39 7 40 3 41 42 Total 18 A média do número do sapato dos alunos é 39,1

Estatística – Medidas de tendência central Frequência absoluta (f) 36 1 37 2 38 39 7 40 3 41 42 Total 18 Moda - É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos. Neste caso a moda é 39. Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana. (39 + 39) : 2 = 39 36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

Equações 3x+5=2-x+4 Sou equação 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras . 3x+5=2-x+4 Sou equação 3+(5-2-4) = 3+1 Não sou equação 1º membro 2º membro termos: ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x incógnita: x termos com incógnita: 3x ; - x ; termos independentes: -2 ; -4

Equações 6 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO Equações equivalentes: Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira 6 SOLUÇÃO 5 SOLUÇÃO Equações equivalentes: Mesmo conjunto solução

Resolver uma equação é determinar a sua solução. Equações sem parênteses e sem denominadores Resolver uma equação é determinar a sua solução. Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes efectuamos as operações. Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. Conjunto solução Determinamos a solução.

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES simplificação de expressões com parênteses: Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos termos que estão dentro Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que estão dentro. Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva.

Como resolver uma equação com parênteses. Eliminar parênteses. Agrupar os termos com incógnita. Efectuar as operações Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita Determinar a solução, de forma simplificada. C.S =

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador. Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.

Sinal menos antes de uma fracção O sinal menos que se encontra antes da fracção afecta todos os termos do numerador. Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores. 1 (2) (6) (3)

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores (3) (2) C.S.=

Proporcionalidade directa Razão

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

Preço (em €) n.º iogurtes 1 2 3 O,5 1,5

5 % de 120 chocolates são _______ Percentagens 5 % de 120 chocolates são _______ 0,05 x 120 = 6 6 chocolates em 50 são ___% 50------- 100% x = 6 x 100 : 50 6 -------- x 150 acrescidos de 10% são ____ 150 + 10% = 150 +15 = 165 500 com um desconto de 20% ____ 500 - 20% = 500-100 = 400

Resolução de problemas envolvendo Percentagens 1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA. Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá? 21% de 300 = 300 x 21% = 63 300 + 63 = 363 O preço final do sofá é 363 euros. 2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % 56 -------------------------- 100 42 --------------------------- x x = 42 x 100 : 56 = 75% 100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.

Conjuntos numéricos IN IN0 Z Q Completa com os simbolos ; ; ;  -3 -56 -12 -4 IN - Conjunto dos números Naturais IN = {1;2;3;4;5;6…} IN0 - Conjunto dos números Inteiros IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…} Z - Conjunto dos números Inteiros relativos Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…} Q- Conjunto dos números racionais Q = z U { números fraccionários} Completa com os simbolos ; ; ;  -1 ….. N 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… N 3 …… N 4 …… Z- N…… Z 2,3 …… Q