Mineração e Previsão de Séries Temporais Tiago Alessandro Espínola Ferreira taef@cin.ufpe.br Recife – 2o Semestre de 2001

Sumário Introdução Séries Temporais Modelos Automáticos Modelos de Box & Jenkins - ARIMA Aplicações do Modelo ARIMA Conclusões

Introdução “Previsão é um elemento chave na tomada de decisão” Controle de Processo Planejamento de Produção Planejamento de Oportunidades Sistema de Previsão Planejamento Financeiro Escalonamento de Pessoal Gerenciamento de Estoque

Nível de Esforço Para Previsão Predição de eventos futuros, com o intuito de diminuição de risco na tomada de decisão. Previsão Ponto Ótimo! Custos Nível de Esforço Para Previsão Custo da Previsão Custo Total Perdas Devido a Incerteza Erro Custo Vs Benefício

Decisão Baseando-se em sistemas de Previsão: = + Decisão Previsão Erro

Algumas Definições Período da Previsão  Unidade básica de tempo na previsão. Horizonte da Previsão No. de períodos cobertos. Intervalo de Previsão Freqüência de atualização Poderíamos requerer uma previsão para as próximas dez semanas, com uma análise semanal, assim o horizonte seria dez semanas e o período de uma semana

Séries temporais Uma série temporal é uma seqüência de observações sobre uma variável de interesse. A variável é observada em pontos temporais discretos, usualmente eqüidistantes, e a análise de tal comportamento temporal envolve a descrição do processo ou fenômeno que gera a seqüência.

Padrões de Séries Temporais Processamentos que permanecem constantes sobre um certo nível todo o tempo, com variações de período a período devido a causas aleatórias. Padrões que ilustram tendências no nível dos processos, de maneira que a variação de um período ao outro é atribuída a uma tendência mais uma variação aleatória. Processos que variam ciclicamente no tempo, como em processos sazonais (exemplo: o clima).

Modelos de Previsão de Séries Temporais Os procedimentos de previsão de séries temporais podem ser divididos, grosseiramente, em duas categorias:  a) Automáticos, que são aplicados diretamente, com a estilização de programas simples de computador; b) Não-Automáticos, que exigem a intervenção de pessoal especializado, para serem aplicados

Previsão de Séries Localmente Constantes Modelos Automáticos Previsão de Séries Localmente Constantes t é o nível da série At é um ruído branco

Médias Móveis Simples (MMS) Cálculo da média aritmética das r últimas observações Previsão Principal Vantagem: Simples Utilização Principal desvantagem: Determinação de r

Exemplo de MMS 1 1095,10   2 1067,10 3 1364,30 1081,10 4 1510,90 1215,70 1175,50 5 1260,20 1437,60 1314,10 1259,35 6 1229,50 1385,55 1378,47 1300,63 1259,52 7 1205,60 1244,85 1333,53 1341,23 1286,40 8 1237,60 1217,55 1231,77 1301,55 9 1414,60 1221,60 1224,23 1233,23 1288,76 10 1299,30 1326,10 1285,93 1271,83 1269,50 11 1420,60 1356,95 1317,17 1289,28 1277,32 12 1360,30 1359,95 1378,17 1343,03 1315,54 13 1304,40 1390,45 1360,07 1373,70 1346,48 14 1213,20 1332,35 1361,77 1346,15 1359,84 15 1360,60 1258,80 1292,63 1324,63 1319,56 16 1587,60 1286,90 1292,73 1309,63 1331,82 17 1431,60 1474,10 1387,13 1366,45 1365,22 18 1267,50 1509,60 1459,93 1398,25 1379,48 19 1429,00 1349,55 1428,90 1411,83 1372,10 20 1517,00 1348,25 1376,03 1428,93 1415,26 21 1506,50 1473,00 1404,50 1411,28 1446,54 22 1627,30 1511,75 1484,17 1430,00 1430,32 23 1650,50 1566,90 1550,27 1519,95 1469,46 24 1606,00 1638,90 1594,77 1575,33 1546,06 Período Valor real de Zt EQM 24091,94 19869,50 13763,68 14534,43

Exemplo de MMS Previsão 25 1696,40 1597,57 26 1767,50 1645,05 27 1554,80 1680,10 28 1727,50 1656,17 29 2231,80 1686,55 Período Valor real de Zt Previsão 30 2111,70 1800,40

Alisamento Exponencial Simples (AES) Com 0 <  <1, constante de alisamento Previsão Principal Vantagem: Fácil Entendimento Principal desvantagem: Determinação de 

Preços Médio da Saca de Feijão Exemplo do AES Preços Médio da Saca de Feijão

Exemplo do AES 121 1228,90 944,70 122 1316,90 1226,06 123 1735,20 1315,99 124 1978,20 1731,01 125 2116,30 1975,73 126 2191,80 2114,89 127 2436,10 2191,03 128 2946,40 2433,65 129 3002,10 2941,27 130 4708,20 3001,49 131 4500,80 4691,13 Período Valor real de Zt Previsão 132 4262,40 4502,70

Modelos Automáticos Previsão de Séries com Tendência t é o nível da série T1 é a tendência (linear em t) At é um ruído branco

Alisamento Exponencial Linaer de Brown Previsão onde

Série do ICV - São Paulo de 1970 a 1980 Exemplo do AELB Série do ICV - São Paulo de 1970 a 1980

Exemplo do AELB

Previsão de Séries Sazonais Modelos Automáticos Previsão de Séries Sazonais Sazonalidade Multiplicativa Sazonalidade Aditiva Gera-se três equações de alisamento, uma para a sazonalidade, uma para a tendência e outra para a série Este método é chamado de Alisamento Exponencial Sazonal de Holt-Winters

Método HW Multiplicativo Forma Multiplicativa: Equações de Alisamento: Equação de Previsão:

Exemplo do HW Multiplicativo Índice do Produto Industrial do Brasil – 1969 até 1980

Exemplo do HW Multiplicativo 128 21614,00 21418,04 129 19717,00 20787,00 130 22133,00 21540,37 131 20503,00 20480,11 132 18800,00 19715,21 133 19577,00 18921,75 134 18992,00 18276,10 135 21022,00 20676,11 136 19064,00 20034,13 137 21067,00 20861,99 138 21553,00 21133,07 Período T Valor Real Previsão 139 21513,00 21919,51

Filtragem Adaptativa Esta é uma técnica baseada em uma média ponderada da observações passadas da séries temporal São ponderados os k períodos mais recentes porque:         São considerados os mais relevantes; Se considerarmos todos os t valores da série temporal, seria necessário t pesos, que poderiam ser determinados de modo a obter exatamente o termo de ordem (t + 1), o que não é desejável porque estaríamos fazendo com que eles se adaptassem não só ao padrão de comportamento da série, mas também à componente aleatória.

Pesos Iniciais A determinação dos pesos inicias pode ser feita de duas maeiras: Método de Makridaski Método Silva

Método Makridakis Primeiramente são especificados valores iniciais todos iguais a 1,0, isto é, Pi = 1,0, i = 1, ... k. A seguir é calculada a previsão para Zt+1, , utilizando-se a equação de previsão, que é comparada com o valor observado Zt+1 e sendo calculado o erro de previsão. Os pesos são então ajustados de modo a reduzir o erro na próxima previsão. Este processo é repetido até que se encontre o melhor conjunto de pesos.

Método Silva Neste método quer minimizar o erro: onde O problema resume-se a resolver o sistema:

Atualização dos Pesos Depois de se gerar os pesos iniciais, este método de Filtragem adaptativa pode passar a atualiza os pesos dinamicamente, segundo a expressão: Onde

Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis

Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis Para  = 0,36 – Calculado tal que minimize os erros

Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis 131 432,90 388,35 132 455,10 413,58 430,32 133 432,30 437,16 463,91 134 465,30 452,81 468,66 135 620,07 494,06 509,22 136 677,80 573,66 632,32 137 633,60 577,62 657,48 138 539,70 564,07 639,28 139 613,50 562,68 603,65 140 653,40 625,21 671,80 141 635,70 629,12 670,53 Período T Valor Real Zt Previsão 142 715,50 618,08 648,08

Modelos de Box & Jenkins Box & Jenkins propuseram um método iterativo para a identificação do modelo de uma série temporal – Modelo ARIMA. Este método envolve investigações sobre os dados da série, sem a necessidade de se ter informações prévias sobre a série Este é um procedimento muito poderoso, porém necessita de um conhecimento muito apurado

Modelos De Box & Jenkins Modelo é satisfatório? Escolhe um ou mais modelos candidatos ARIMA Estima os parâmetros dos modelos escolhidos Checagem dos modelos quando à adequação Previsão Sim Não Estagio 1: Identificação Estágio 2: Estimação Estágio 3: Verificação

Modelos Auto-Regressivos – AR(p) O modelo AR(p) pode ser escrito por: Onde (B) é o operador Auto-Regressivo: (B) = 1-1B - 2B2 - ... - pBp E B é o operador translação para o passado: Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo AR(p) é:

FAC – AR(p) Podemos provar que a fac pode ser escrita de forma geral: Onde para que o modelo convirja temos que |Gi| < 1, logo. 1. Se Gi for real, o termo AiGij decai geometricamente para zero (amortecimento exponencial); 2. Um par de raízes complexas conjugadas contribui com um termo da forma AdjSen(2fj+F) (senoide amortecida), onde f é uma freqüência, F é uma fase, e o termo Adj é a amplitude que decresce com o incremento de j, uma vez que |d|<1.

FAC – AR(p)

Modelo de Médias Móveis – MA(q) O modelo MA(q) pode ser escrito por: Onde (B) é o Operador Médias Móveis: Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo MA(q) é: Vemos que a fac para um MA(q) é finita de extensão q.

FAC – MA(1) Para um modelo MA(1), q = 1, e supondo que  = -0,8 (para o modelo ser estável, |  | < 1):

Modelos Mistos – ARMA(p,q) O modelo ARMA(p,q) pode ser escrito por: ou Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo ARMA(p,q) é: onde Mas que para j > q: do que se deduz que as Auto-Correlações de “lags” 1, 2, ..., q serão afetadas pelos parâmetros de médias móveis, mas para j > q as mesmas comportam-se como no modelos auto-regressivos.

FAC – ARMA(1, 1) Para um Modelo ARMA(1, 1), pode-se mostrar que: E para j > q Assim, se temos  = 0,8 e  = -0,3, o gráfico da fac será:

FACP As facp podem ser calculadas a partir das eqs. de Yule-Walke: Box & Jenkins proporam um segundo método de análise: A Função de Auto-Correlação Parcial: kk As facp podem ser calculadas a partir das eqs. de Yule-Walke:

FACP – AR, MA, ARMA i. Um processo AR(p) tem facp kk  0 para k menor ou igual a p, e kk = 0 para k maior que p; ii. Um processo MA(q) tem facp que se comportam de maneira similar às fac de um processo AR(p): são dominadas por exponenciais e/ou senoides amortecidas; iii. Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comportam como a facp de um processo MA puro.

FACP – AR, MA e ARMA AR(1) MA(1) ARMA(1, 1)

Modelos ARIMA As séries que podem ser representados pelos modelos já vistos tem que ser estacionária. Assim um procedimento de torna-las estacionárias é tiramos diferenças: Ou tirando d diferenças: ou Que é o modelo ARIMA(p, q, d).

Identificação De forma geral, o modelo ARIMA é parcimonioso, logo em geral d = 0, 1 ou 2 é suficiente para obtermos a identificação dos modelos Faz as diferenças Calcula-se as fac e facp para os dados Analisa-se As funções obtidas com as dos modelos vistos. Identifica-se um conjunto de possíveis modelos

Estimação Existem basicamente dois procedimentos de estimação: Procedimento Condicional Procedimento Não Condicional ou Incondicional Todos dos métodos realizam a minimização da função de verossimilhança(condicional e não condiciona)

Exemplo de Estimação O menor valor de S* é para  = -0,4 Supondo Um Modelo ARIMA (0, 1,1) Wt = Zt = (1-B) at E suponha  = 0,8 , termos At = Wt + 0,8 at-1 Assim, supondo o método condicional , O menor valor de S* é para  = -0,4

Verivicação Existem vários métodos de verificação, contudo exibiremos o método do Periodogram acumulado: E o espectro aculumado é: E o periodograma Acumulado é uma estimativa do espectro acumulado:

Ruído Branco

Aplicação do método ARIMA

FAC e FACP d=0 d=1 d=2 FAC FACP

Estimativa Modelos escolhido: ARIMA (1, 1, 0) e ARIMA (0, 2, 2) 226 0,018 Número de Observações   Modelo Fitados Variância Residual 0,019

Verificação ARIMA(1, 1, 0) ARIMA(0, 2, 2)

Conclusões Os modelos Automáticos são bem mais fáceis de serem utilizados, porem requer um conhecimento prévio sobre a série. O Modelo ARIMA é bem mais preciso do que os modelos automáticos mencionados, porém requer mão de obrar super qualificada.