Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2
Objeto de estudo A econometria de séries temporais dedica-se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.
Séries Discretas no Tempo Seja y = f(t), portanto Δy = f(t0 + h) – f(t0) Na prática, as séries econômicas são geradas em intervalos discretos de tempo Toma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série em questão
Séries discretas Note que o fato do tempo ser discreto não implica que a variável y seja discreta. A variável discreta y é dita aleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1 Caso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é determinística
Séries Discretas Os elementos de uma série econômica {y0, y1, ..., yt} podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo estocástico. Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, yt é uma variável aleatória. Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.
Objetivo do modelo A partir de valores observados de uma séries temporal (i.e., uma amostra), identificar os aspectos essenciais do “verdadeiro” processo gerador de dados (i.e., do universo). As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.
Equações de diferenças Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex: yt = 8,2 + 0,75yt-1 – 0,12yt-2 + εt
Ruído Branco Uma seqüência {εt} é dita ruído branco se cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação serial.
Ruído Branco
Ruído Branco Var(εt) = Var(εt) = ... = 2 E(εt) = E(εt) = ... = 0 Var(εt) = Var(εt) = ... = 2 E(εt.εt-s) = 0 para todo s 0
Solução de equações de diferenças A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução particular e a solução homogênea. A parte homogênea da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazo A equação homogênea é importante porque dá as raízes características, que determinam se a série é convergente (estável)
Exemplo: Equação de ordem 2 yt = a0 + a1yt-1+ a2yt-2 + εt Equação homogênea yt - a1yt-1- a2yt-2 = 0 Equação característica x2 - a1x - a2 = 0 As raízes dessa equação são chamadas raízes características
Raízes e estabilidade As raízes características serão funções dos coeficientes a1 e a2 As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável (divergente) Isto é, a estabilidade da série depende dos coeficientes a1 e a2
Série convergente (estável)
Série divergente (instável)
Condições de Estabilidade Condição necessária Condição suficiente Se algum ai = 1, o processo tem raiz(es) unitária(s)
Estabilidade e Estacionariedade Se yt é uma equação estocástica de diferenças, então a condição de estabilidade é uma condição necessária para que a série temporal {yt} seja estacionária.
Estacionariedade Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário se: E[y(t)] = Var[y(t)] = E[y(t) - ]2 = 2 E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k) Obs.: um processo fortemente estacionário não precisa de média e variância constantes. (É um conceito menos restritivo).
Interpretação Uma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam com o tempo A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da “distância” temporal entre eles. Cov(Yt,Yt-k) = k k
Interpretação Cov(Yt,Yt-k) = k k significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um valor “alto” de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento. A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo, permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.
Não-estacionariedade No nível da média. A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária. Se a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo do tempo
Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1) É representado como: Yt = a1 Yt-1 + t significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória. Note que se tomou a0 = 0.
Média do modelo AR(1) E(yt) = a0/(1 – a1)
Variância do modelo AR(1) Var(yt) = 2/[1 – (a1)2]
Covariância do modelo AR(1) Cov(yt, yt-s) = 2(a1)s/[1 – (a1)2]= γs Portanto γ0 é a variância de yt
Autocorrelação Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre yt e yt-s como: s = γs /γ0 A função de autocorrelação (FAC) mostra os valores de s para valores crescentes de s.
Restrições para estacionariedade do AR(1) Seja Yt = a0 + a1 Yt-1 + t Dada a condição inicial y = y0 para t = 0, a solução da equação é: Yt = a0i=0t-1 a1i + a1t Y0 + i=0t-1 t-i
Restrições (continuação) Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que: E (yt) E(yt+s) Isto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionário
Restrições (conclusão) Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de yt: lim yt = a0/(1 – a1) + i=0∞ t-i = a0/(1 – a1) Portanto a estacionariedade requer |a1| < 1, e requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo infinitamente longo Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.
Autocorrelação parcial Mede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demais Yt = 11Y1 + t 11= 11 Yt = 11Y1 + 22Y2 + t 22= 22 Yt = k1Y1 + k2Y2 + ...+ kkYk + t kk= kk a seqüência de pares (k, kk) constitui a função de autocorrelação parcial
Interpretação Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Yt forem altamente correlacionados com os valores de Yt-12, então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.