Juros Compostos Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado: vai automaticamente procurar emprego Autônomo: vai freqüentemente fazer algo só Dono: vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiro Investidor: vai procurar uma oportunidade de investir num ativo que produza dinheiro

Valores Futuros ou Montante Na aula anterior vimos que: Valor Futuro ou Montante– Quantia para a qual um investimento crescerá após receber juros. Juros Compostos – Juros ganhos sobre o total (montante) a cada período. Juros Simples – Juros ganhos somente sobre o investimento original. 3

Valores Futuros ou Montante Exemplo – Juros Simples Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre um principal de $100. Juros Ganhos Por Ano = 100 x .06 = $ 6 5

Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. 6

Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos Valor 100 7

Valores Futuros Exemplo – Juro Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6 Valor 100 106 8

Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6 6 Valor 100 106 112 9

Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6 6 6 Valor 100 106 112 118 10

Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6 6 6 6 Valor 100 106 112 118 124 11

Valores Futuros Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 6% por cinco anos sobre um saldo principal de $100. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6 6 6 6 6 Valor 100 106 112 118 124 130 Valor no fim do Ano 5 = $130 12

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. 13

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Juros Ganhos Por Ano = Saldo do Ano Anterior x .06 14

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos Valor 100 15

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6.00 Valor 100 106.00 16

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 Valor 100 106.00 112.36 17

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 6.74 Valor 100 106.00 112.36 119.10 18

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 6.7 7.15 Valor 100 106.00 112.36 119.10 126.25 19

Valores Futuros Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 6% por cinco anos sobre o saldo do ano anterior. Hoje Anos Futuros 1 2 3 4 5 Juros Ganhos 6.00 6.36 6.74 7.15 7.57 Valor 100 106.00 112.36 119.10 126.25 133.82 Valor no final do Ano 5 = $133.82 20

Pagamentos Simples x Série Uniforme Como dissemos anteriormente no sistema de Juros Compostos, os juros vão acumulando-se ao capital e rendendo juros também no período seguinte. É o que chamamos de juros sobre juros. Existem duas formas de capitalização composta: Pagamento Simples e Série Uniforme

Pagamento Simples Uma única aplicação e um único montante. O dinheiro foi rendendo juros sobre juros durante a aplicação.

Série Uniforme Várias aplicações (ou retiradas) iguais que foram se acumulando (ou sacadas).

Juros Compostos – Pagamentos Simples Vamos inicialmente estudar os Juros Compostos sob o regime de capitalização simples

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL – FAC Pagamento Simples PROBLEMA: Determinar a quantia VF que seria obtida pela aplicação do principal VP, à taxa de juro i, durante n períodos. Ou seja, qual o montante VF acumulado a partir do principal VP? Qual o Valor Futuro dado o Valor Presente?

Investindo VP a taxa i, tem-se: FÓRMULA: Investindo VP a taxa i, tem-se: ao final do primeiro período: VP + i VP = VP(1 +i) ao final do segundo período: [VP(1 + i)] (1 + i) = VP (1 + i)2 e, assim. sucessivamente, teremos: VF : montante no regime de juros compostos, também representado por FV (Future Value) VP: principal ou capital inicial, também representado por PV (Present Value) (1 + i)n : fator de acumulação de capital, também representado por FAC’(n,i).

Valores Futuros ou Montante Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% por cinco anos? 22

Valores Futuros Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% por cinco anos? 23

Valores Futuros com Composição Taxas de Juros 24

Exemplo 1 Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a . a .Quanto terei no final? SOLUÇÃO VP = R$ 1.000,00 i = 5% = 5/100 = 0.05 n = 10 VF = VP (1 + i)n = 1000 (1 + 0,05)10 = 1000 (1,05)10 = 1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00 10 Na HP-12C F FIN f 2 1000 CHS PV 5 i 10 n FV

Exemplo 2 Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês, capitalizável mensalmente? SOLUÇÃO Pela FÓRMULA VP = R$ 1.000,00 i = 2,5% a.m. n = 12 meses VF = VP (1 + i)n = 1.000,00 (1 + 0,025)12 = 1.000,00 (1,025)12 = 1.345,00 Na HP-12C teremos: f FIN f 2 1 000 CHS PV 12 n 2.5 i FV 1.344,49

Exemplo 3 Qual o juro devido a um capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos na taxa de 5,5% a . a . por um prazo de 10 anos? SOLUÇÃO O que se quer é o rendimento produzido por um capital em determinado tempo. J = VF - VP ou seja J = Valor Futuro (VF) - Valor Presente (VP) J = [1.000 (1 + 0,055)10 ] - 1.000 = [1.000 (1,055)10] - 1.000 = [1.000 (1,7081)] -1.000 = 1.708,10 - 1.000 = 708,10 J = R$ 708,10 f FIN f 2 1000 CHS PV 5.5 i 10 n FV RCL PV +

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juros de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resp:- R$ 40.317,49 2. Calcule o montante de R$ 20.000,00 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. Resp:- 66.671,81 3. Calcule o montante de R$ 50.000,00, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. Resp:- R$ 54.654,17 4. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês. Resp:- R$ 9.237,24 5. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 75.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 2 % ao mês, no fim de 6 meses. Resp:- R$ 88.257,63 6. Qual o VF produzido por R$ 12.000,00, em regime de juro composto, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses? Resp:- R$ 26.496,48

Venda da Ilha de Manhattan Peter Minuit comprou dos índios a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio? Para responder, determine quanto vale aqueles $24 no ano de 2003, composto a 10%. OBS – Isto é muito dinheiro. Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!.

Venda da Ilha de Manhattan Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa. Primeiro, a taxa de juros de 10% que usamos para comparar valores futuros é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5% a.a., mais consistente com a experiência histórica, o valor futuro dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x(1,035)377 = $10.297.294, ou seja 10 bilhões de dólares! Segundo, nós subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores:ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $24 mpela ilha com muito prazer.

Sobre o Peter Minuit Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos? 5 anos ......$ 30,63 50 anos.....$ 275,22 Imóveis são excelentes investimentos a longo prazo!

FATOR DE VALOR ATUAL - FVA PROBLEMA: Determinar a quantia VP que deve ser investida, a juros i, para que se tenha o montante VF após n períodos de capitalização, ou seja, determinar o valor atual de VF. Qual o Valor Presente (ou Atual) dado o Valor Futuro?

FATOR DE VALOR ATUAL - FVA

Exemplo 1 Qual o capital que, aplicado a 10% ao semestre , capitalizado semestralmente, produz o montante de R$ 1.331,00 após 3 semestres? SOLUÇÃO VP = ? VF = R$ 1.331,00 n = 3 semestres i = 10% a . s. = 0,1 ao semestre Pela FÓRMULA: VP = VF/(1+i)n = 1331/(1+0,1)3 = 1331/1,331 = 1331*0,751315 = 1000 VP = R$ 1.000,00 FIN f 2 1331 CHS FV 10 i 3 n PV

Exemplo 2 Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 320,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 404,90 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? SOLUÇÃO VP = R$ 320,00 VF = R$ 404,90 n = 6 i = ? Pela FÓRMULA: VP = VF/(1+i)n  320 = 404,90/(1+i)6  320(1+i)6 = 404,90  (1+i)6 = = 1,26531  (1+i)6 = 1,26531  1+i =(1,26531)1/6  i = (1,26531)1/6 - 1  i = (1,26531)0.167 – 1  i = 1,040 -1 =0,040 f FIN f 2 404.9 CHS FV 320 PV 6 n i Sempre podemos calcular i, usando a expressão

Exemplo 3 Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. SOLUÇÃO Pela FÓRMULA: VF = R$ 22.125,00 VP = R$11.000,00 i = 15% a .s. n = ? VP = VF/(1+i)n  11000 = 22125/(1+0,15)n  (1,15)n = 22125/11000  1,15n = 2,01136 Devemos agora aplicar LOG em ambos os lados da igualdade, assim: log 1,15n = log 2,01136  n log 1,15 = log 2,01136. Mas, log 1,15 = 0,06070 e log 2,01136 = 0,30349. Então, n = 0,30349/0,06070 = 4,999 semestres ou n = 5 semestres ou 2 anos e 6 meses. f FIN f 2 22125 CHS FV 11000 PV 15 i n

EXEMPLO EXTRA Em 1995, a Coca-Cola precisou tomar quase um quarto de bilhão de dólares emprestado por 25 anos. Ela fez isso vendendo IOU*, cada uma simplesmente prometendo pagar $1.000 ao portador no final de 25 anos. A taxa de juros do mercado naquela época era de 8,53%. Quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU da empresa? * IOU = I Owe You = “Eu Devo a Você”. É o apelido das OBRIGAÇÕES (ou BONDS), onde os investidores recebem um pagamento regular de juros ou um cupom. As IOU da Coca-Cola fará apenas um único pagamento no final do ano 25. Portanto, era chamada de uma obrigação de cupom zero. Falaremos mais sobre Obrigações em capítulos posteriores.

SOLUÇÃO Para calcular o valor presente, faremos: Este é o maior valor que poderíamos pagar hoje por uma IOU da Coca-Cola!!!

Mais um pouco sobre a IOU da Coca-Cola Suponhamos que a Coca-cola tivesse prometido pagar $ 1.000 ao final de 10 anos. Se a taxa de juros do mercado fosse de 8,53%, quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU de $ 1.000 por 10 anos? 10 anos.......$ 441,06

EXTRA - Calculando o valor de uma promoção A Canguru Autos está oferecendo uma promoção para os carros de $ 10.000. Você paga $ 4.000 de entrada e o saldo no final de 2 anos. A loja ao lado, a Tartaruga Motors, não oferece essa facilidade, mas desconta $ 500 do preço de tabela. Se a taxa de juros for de 10%, qual das empresas está oferecendo o melhor negócio?

SOLUÇÃO Observe que você pagará mais no total se comprar da Canguru, mas , como parte do pagamento é adiado, você poderá guardar esse dinheiro no banco, onde continuará a render juros. Para comparar as duas ofertas, você precisa calcular o valor presente dos pagamentos para a Canguru. O diagrama de fluxo de caixa a seguir, mostra os pagamentos em dinheiro para a Canguru.

SOLUÇÃO cont. 6.000 4.000 O primeiro pagamento, de $ 4.000, ocorre hoje. O segundo pagamento, de $ 6.000, ocorrerá no final de 2 anos. Portanto, o valor presente do total dso pagamentos da Canguru é de:

SOLUÇÃO cont. Suponhamos que você comece com $ 9.958,68. Você dá uma entrada de $ 4.000 para a Canguru Autos e investe o saldo de $ 4.958,68. A uma taxa de juros de 10%, isso crescerá durante os próximos 2 anos para $ 6.000, exatamente o que você precisa para fazer o pagamento final de seu automóvel. O custo total de $ 8.958,68 é melhor negócio do que os $9.500 cobrados pela Tartaruga Motors.

Valores Presentes Valor Presente Valor hoje de um fluxo de caixa futuro. Fator de Desconto Valor presente de um pagamento futuro de $1. Taxa de Desconto Taxa de juro usada para calcular valores presentes de fluxos de caixa futuros. 31

Aplicações A fórmula VP tem muitas aplicações. Dadas 3 variáveis na equação, você pode encontrar a variável restante. 38

Aplicações Propaganda Enganosa! Recentemente, alguma empresas têm dito coisas como “Venha experimentar nosso produto. Se vier, lhe daremos $ 100 apenas por ter vindo!” Se você ler as letras miúdas, descobrirá que eles lhe darão um certificado de poupança que lhe pagará $ 100 daqui a 25 anos ou coisa parecida. Se a taxa de juros de tais certificados for 10% a.a., quanto você iria realmente receber hoje? 39

Economizando para cursar a Faculdade Você precisará por volta de $ 80.000 para enviar seu filho à universidade daqui a 8 anos. Hoje você tem $ 35.000. Qual a taxa de juros para alcançar este objetivo a partir dos $ 35.000?

Aposentadoria Você deseja aposentar-se daqui a 50 anos, como milionário. Se você tem $ 10.000 hoje, qual a taxa de rendimento para atingir $ 1.000.000?

VP de Fluxos de Caixa Múltiplos Exemplo Seu fornecedor de automóveis deu a você a chance de escolher entre pagar $15,500 agora, ou fazer três pagamentos: $8,000 agora e $4,000 ao final dos dois anos seguintes. Se o custo do seu dinheiro é 8%, o que você prefere? 42

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros compostos de 10% ao ano? Resp:- R$ 6.209,00 2.Uma pessoa recebe a proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 120.000,00 para receber R$ 161.270,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? Resp:- 3% a . m.. 3.O capital de R$ 87.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 114.563,00. Calcule esse tempo. Resp:- 8 meses

10 + 10 = 21 Imagine que você invista $ 100, que ganha 10% esse ano e 10% no ano que vem. Quanto você ganhou? O ganho de 10% desse ano faz seus $ 100 virarem $ 110. No ano seguinte, você também ganha 10%, mas começa o ano com $110. Resultado? Você ganha $ 11, aumentando sua riqueza para $ 121. Assim, sua carteira ganhou um retorno cumulativo de 21% sobre os dois anos, mas o retorno anualizado é de apenas 10%. O fato de que 21% é mais do que o dobro de 10% pode ser atribuído ao efeito de capitalização do investimento, a maneira em que você ganha dinheiro, a cada ano, não apenas em seu investimento original, mas também nos ganhos dos anos anteriores que você reinvestiu.

A regra do 72 Para ter uma boa idéia de capitalização, tente a Regra dos 72. O que é isso? Se você dividir 72 por um retorno anual em particular, descobrirá quantos anos levará para dobrar seu dinheiro. Assim, a 10% a.a., um investimento dobrará de valor em pouco mais de 7 anos.

O que desce volta a subir lentamente No mundo dos investimentos, ganhar é legal, mas perdas podem realmente doer. Vamos dizer que você invista $ 100, que perca 10% no primeiro ano, mas no ano seguinte volte ganhando 10%. Empatado? Nem sonhando. Na verdade, você chegou apenas a $ 99. Eis o porquê. A perda inicial de 10% derruba seus $ 100 para $ 90. Mas o ganho subseqüente de 10% lhe dará apenas $ 9, aumentando o valor de sua conta para $ 99. No final das contas: para recuperar qualquer porcentagem de perda, você precisa de um ganho percentual ainda maior. Por exemplo, se você perder 25%, vai precisar de 33% para empatar de novo.

Nem todas as perdas são iguais O que prejudica menos: inflação de 50% ou uma queda de 50% no valor de sua carteira? Se você disse a inflação, então acaba de ganhar outro 10. Confuso? Considere o seguinte exemplo: Se você tiver $ 100 para gastar em capuccino, e seu capuccino favorito custa $ 1, você poderá comprar 100 xícaras. E se seus $ 100 perderem valor e valerem apenas $ 50? Você poderá comprar apenas 50 xícaras. E se o preço do capuccino aumentar 50%, para $ 1,50? Se você dividir $ por $1,50, descobrirá que poderá comprar 66 xícaras e ainda deixar uma gorjeta.

Exercícios extras Em 1880, cinco rastreadores aborígenes receberam a promessa de ganhar o equivalente a $ 100 australianos cada por ajudar a capturar o famoso bandido Ned Kelley. Em 1993, as netas de dois dos rastreadores reivindicaram que esse prêmio não havia sido pago. O primeiro-ministro de Victória disse que se isso fosse verdade, o governo ficaria feliz em pagar os $ 100. No entanto, as netas também reivindicaram que tinham o direito aos juros compostos. A quanto cada uma tinha direito se a taxa de juros fosse de 5%? E se fosse de 10%? Você deposita $ 1.000 em sua conta bancária. Se o banco pagar 4% de juros simples, quanto você terá em sua conta após 10 anos? E se o banco pagar juros compostos? Quanto de seus ganhos serão de juros sobre juros? Você preferiria receber $ 1.000 por ano por 10 anos ou $ 800 por ano por 15 anos a. a uma taxa de juros de 5%? b. a uma taxa de juros de 20%? c. Por que suas respostas para (a) e (b) diferem?