DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E ESTIMAÇÃO

Distribuição Normal

Histograma - Distribuição Normal

Distribuição Normal GRÁFICO SIMÉTRICO em torno da média. MÉDIA, MODA e MEDIANA: são idênticas . A área sob a curva define 100 % da probabilidade. Cada metade tem 50% de probabilidade. Forma: SINO média moda mediana

Distribuição Normal O gráfico é simétrico em torno da média, e tem o formato de sino. Todas as medidas de tendência central: média, moda e mediana; são idênticas (simetria). A área sob a curva define 100% da probabilidade. Cada metade da curva tem 50% de probabilidade.

Função Densidade da Distribuição Normal A função densidade da normal deve ser entendida como uma extensão natural de um histograma A probabilidade é a área sob a curva de densidade. Para qualquer variável x, a Probabilidade de x: P (X) ≥ 0

Função Densidade da Distribuição Normal A distribuição normal é definida por 2 parâmetros: μ representa a média populacional, e σ representa o desvio padrão da população A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição normal é:

Distribuição Normal: Propriedades

Distribuição Normal: Propriedades

Distribuição Normal: Propriedades mesmo σ diferentes μ

Distribuição Normal Padronizada A média e o desvio padrão da distribuição normal padronizada são: σ - desvio padrão σ = 1 μ - média aritmética μ = 0 A distribuição normal padronizada facilita o cálculo de probabilidade, evita o uso da fórmula e permite qualquer análise mediante utilização dos ESCORES (Z)

Distribuição Normal Padronizada

Distribuição Normal Padronizada A fórmula de transformação abaixo permite converter qualquer variável aleatória normal X em uma variável normal padronizada Z : X – μ Z = ------------ σ O valor padronizado Z representa o número de desvios-padrão que uma variável X se dispersa em torno da média (para mais ou para menos)

Distribuição Normal Padronizada

Distribuição Normal Padronizada Propriedades A área sob a curva corresponde a probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor real entre: 0 e 1. Valores acima ou abaixo da média têm a mesma probabilidade de ocorrer, pois a curva é simétrica. A distribuição normal padronizada permite calcular a área debaixo da curva de qualquer outra distribuição normal, pois as áreas associadas com a normal padronizada estão calculadas em tabelas.

Distribuição Normal Padronizada Propriedade 1 A área sob a curva corresponde a probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor real entre 0 e 1. Áreas sob a curva = probabilidade Probabilidade 50 % Probabilidade 50 %

Distribuição Normal Padronizada Propriedade 2 Valores acima ou abaixo da média têm a mesma probabilidade de ocorrer, pois a curva e simétrica. 50% 50%

Distribuição Normal Padronizada Propriedade 3 A distribuição normal padronizada permite calcular probabilidades de qualquer distribuição normal, pois funciona como uma escala de comparação. A as áreas associadas com a normal padronizada estão calculadas em tabelas.

Distribuição Normal Padronizada Análise Gráfica 68% dos valores de Z estão entre (μ-1σ) e (μ+1σ) 95,5% dos valores de Z estão entre (μ-2σ) e (μ+2σ) 99,7% dos valores de Z estão entre (μ-3σ) e (μ+3σ) (μ-3σ) (μ-2σ) (μ-1σ) (μ+1σ) (μ+2σ) (μ+3σ)

Distribuição Normal Padronizada

Distribuição Normal Padronizada

Distribuição Normal Padronizada

Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z<z)

Distribuição Normal Exemplo: Notas dos alunos da FAU num teste aplicado em toda USP. Total alunos: 40 Evento/Variável Frequência 10 2 20 3 30 4 40 7 50 60 6 70 5 80 90 1 100

Distribuição Normal

Distribuição Normal Distribuição Normal Variável Frequência Xi . fi   Variável Frequência Xi . fi xi - α (xi - α)2 -48,5 2352,25 10 2 20 -38,5 1482,25 3 60 -28,5 812,25 30 4 120 -18,5 342,25 40 7 280 -8,5 72,25 50 500 1,5 2,25 6 360 11,5 132,25 70 5 350 21,5 462,25 80 160 31,5 992,25 90 1 41,5 1722,25 100 51,5 2652,25 ∑ 1940 11.025 ∑ xi . f / n  média α = 48,5 282,6858974 √ ∑ (xi - α)2 / n  desvio padrão s = 16,81

Distribuição Normal Distribuição Normal z <= X - µ /(σ / √n) Ex: Qual a probabilidade de selecionar um aluno na FAU que tenha obtido uma nota igual ou abaixo de 40,0 ou igual ou acima de 80,0. x - µ Z = σ / √n z <= X - µ /(σ / √n) z <= 48,5 – 40,0 / (16,81) Z <= 0,505 x - µ Z = σ / √n Z >= x - µ / (σ / √n) Z >= 48,5 - 80/ (16,81) Z >= 1,87

ESTIMAÇÃO

Estimação O objetivo desta seção é estimar o valor da média de uma população a partir das informações contidas numa única amostra. Este processo de uma inferir sobre a média da população é chamado estimação

Estimação A média α de uma amostra de tamanho n retirada de uma população com média µ x e desvio padrão σx está contida numa distribuição de médias amostrais que tem um valor médio esperado igual ao da média da população: αmédio = µ x e um desvio padrão igual a: s = σx / √n

Distribuição de Médias Amostrais Estimação Distribuição de Médias Amostrais s = σx / √n s α1 α2 µ x α3 α4

Intervalo de Confiança É um intervalo de valores — delimitado por um valor mínimo e um valor máximo. É utilizado para estimar um parâmetro desconhecido da população. Permite afirmar se o valor do parâmetro procurado (no caso a média da população) está contido dentro deste intervalo.

Intervalo de Confiança Propriedades 1 2 95,44% das médias das amostras estão entre +2 e -2 desvios padrões em torno da média da população. A média da população está situada dentro do intervalo de +2 e -2 desvios padrões em torno da média amostral em 95,44% das vezes. α α µ µ α +2σ αmédio α+2σ

Intervalo de Confiança Propriedades 3 4 Se retirarmos infinitas amostras podemos dizer que em 95,44% das vezes o valor da média da população estará dentro do intervalo: 2 σ ≤ α ≤ +2 σ Assim pode-se dizer que: - 2σ ≤ µ ≤ + 2σ Na forma de probabilidade: P (- 2σ ≤ µ ≤+ 2σ ) = 0,9544 µ - 2 σ α +2 σ

Estimação: Intervalo de Confiança Pela fórmula da distribuição Z (abaixo) estima-se o valor da média da população com base na média de uma amostra: α - µ Z = µ = α ± Z (σ / √n) σ / √n α - Z (σ / √n) ≤ µ ≤ α +Z (σ / √n)

Intervalo de Confiança Eventos Frequência 10 2 20 3 30 4 40 7 50 60 6 70 5 80 90 1 100 Exemplo: Notas dos alunos da FAU num teste aplicado na USP. Total alunos: 40

Distribuição Normal Variável Frequência Xi . fi xi - α (xi - α)2 α =   Variável Frequência Xi . fi xi - α (xi - α)2 -48,5 2352,25 10 2 20 -38,5 1482,25 3 60 -28,5 812,25 30 4 120 -18,5 342,25 40 7 280 -8,5 72,25 50 500 1,5 2,25 6 360 11,5 132,25 70 5 350 21,5 462,25 80 160 31,5 992,25 90 1 41,5 1722,25 100 51,5 2652,25 ∑ 1940 11.025 ∑(xi .f)/n  média α = 48,5 282,6858974 √ ∑((xi - α)2 / n  desvio padrão s = 16,81

Intervalo de Confiança α = 48,5 σ = 16,81 α -2σ α - σ α α + σ α + 2σ 14,8 31,6 48,5 65,3 82,13

Estimação Notas dos alunos da FAU num teste aplicado em toda USP a nota média obtida na amostra foi: α = 48,5 O desvio padrão encontrado foi σ = 16,81 A amostra tem 40 respostas n = 40 Estimar a nota média do teste em toda USP tendo por base as notas da FAU adotando-se as seguintes margens de erro? erro 0,5% intervalo 99% erro 2,5% intervalo 95% erro 5% intervalo 90%

Estimação Resolução: Busca-se na tabela de distribuição normal, os valores de Z para, 90%, 95%, 99% de intervalo de confiança são: P (X) Z 90% ±1,64 95% ±1,96 99% ±2,58

Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z<z)

Estimação α - µ Z = σ / √n µ = α ± Z (σ / √n) µ = 48,5 ± 1,64. (16,8/ √40) Intervalo de Confiança 90% 44,1 ≤ µ ≤ 52,8 Margem de Erro: 5% α - µ Z = σ / √n µ = α ± Z (σ / √n) µ = 48,5 ± 1,96 . (16,8/ √40) Intervalo de Confiança 95% 43,29 ≤ µ ≤ 53,71 Margem de Erro: 2,5%

Estimação α - µ Z = σ / √n µ = α ± Z σ / √n µ = 48,5 ± 2,58. (16,8/ √40) Intervalo de Confiança 99% 41,64 ≤ µ ≤ 55,35 Margem de Erro: 0,5% Margem Confiança Margem de Erro Intervalo Confiança 90% 5% 44,1 ≤ µ ≤ 52,8 95% 2,5% 43,3 ≤ µ ≤ 53,7 99% 0,5% 41,6 ≤ µ ≤ 55,3

Estimação Estimação Exemplo: Numa amostra de 64 estudantes levanta-se o gasto médio diário com transporte p/ vir ao campus. Obtém como média amostral R$5. Sabe-se que o desvio padrão do gasto dos estudantes é de R$1,6. Pede-se estimar o valor médio gasto com transporte para toda população do campus para um intervalo de confiança de 95%.

Estimação Resolução: µ = α ± Z . σ/√n µ = α ± Z σ Z= -1,96 e Z= + 1,96 Na tabela de distribuição normal Z, os valores de Z para uma probabilidade de 95% em torno da média são: Z= -1,96 e Z= + 1,96 Usando a fórmula: α - µ Z = σ / √n µ = α ± Z . σ/√n Obtém-se então: µ = α ± Z σ µ = 5 ± 1,96.(1,6/ √64) Intervalo de Confiança 4,6 ≤ µ ≤ 5,4  

Estimação Uma amostra de 100 domicílios selecionada ao acaso em vários bairros da cidade de São Paulo revela que em média existem 5 pessoas morando por domicílio. O desvio padrão da amostra foi de 4. Pede-se estimar a média de pessoas por domicílio para a cidade como um todo, para um intervalo de confiança de 80%, 90%, 95%, 99%..

Estimação Resolução: P (X) Z 80% ±1,28 90% ±1,64 95% ±1,96 99% ±2,58 Na tabela de distribuição normal, o valor da probabilidade para 80%, 90%, 95%,99% de intervalo de confiança os valores de Z são: P (X) Z 80% ±1,28 90% ±1,64 95% ±1,96 99% ±2,58

Estimação α - µ Z = σ / √n µ = α ± Z σ / √n µ = 5 ± 1,28. (4/ √100) µ = 5 ± 1,28. (4/ √100) Intervalo de Confiança 80% 4,48 ≤ µ ≤ 5,51   α - µ Z = σ / √n µ = α ± Z σ / √n µ = 5 ± 1,64. (4/ √100) Intervalo de Confiança 90% 4,34 ≤ µ ≤ 5,65

Estimação α - µ Z = _________ σ / √n µ = α ± Z σ / √n µ = 5 ± 1,96. (4/ √100) Intervalo de Confiança 95% 4,21 ≤ µ ≤ 5,78 α - µ Z = _________ σ / √n µ = α ± Z σ / √n µ = 5 ± 2,58. (4/ √100) Intervalo de Confiança 99% 3,96 ≤ µ ≤ 6,0

- + P (X) Z Estimação 80% ±1,28 4,48 5,51 90% ±1,64 4,34 5,65 95% ±1,96 4,21 5,78 99% ±2,58 3,96 6,03

Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z<z)