ESTATÍSTICA

UDIII - INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Ass 02: INTERVALOS de CONFIANÇA ( 2a Parte )

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Determinar intervalo de 95% de confiança para a diferença entre 2 médias ( 1 - 2 ) ; Determinar intervalo de 95% de confiança para uma proporção; Determinar intervalos de 95% de confiança unilaterais ;

SUMÁRIO 1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) 2- Proporções 3- Intervalos de Confiança Unilaterais

1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) Comumente comparam-se duas médias populacionais através de sua diferença: ( 1- 2 ) Uma estimativa razoável para tal diferença é a diferença correspondente entre as médias amostrais: Nosso interesse é construir uma estimativa intervalar em torno daquele valor.

1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) a ) Variâncias Populacionais Conhecidas Pode-se demonstrar que: Portanto,

Intervalo de 95% de confiança para a diferença entre médias, em amostras independentes: Quando se sabe que 1 e 2 têm um valor comum, conhecido, , o intervalo de 95% de confiança se reduz a:

1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) b ) Variâncias Populacionais Desconhecidas Intervalo de 95% de confiança para amostras independentes, quando as variâncias populacionais são iguais e desconhecidas: sp é uma estimativa de . É a variância combinada ( “ pooled ” )

X1 ( ou X2 ) representa a observação típica na primeira ( ou segunda ) amostra. Graus de liberdade para t: g.l.= ( n1 - 1 ) + ( n2 - 1 )

Exemplo: De uma grande turma extraiu-se uma amostra de quatro notas: 64,66,89 e 77. Uma amostra independente de três notas de uma segunda turma foi: 56,71 e 53. Se é razoável admitir que as variâncias das duas turmas sejam aproximadamente iguais, calcule um intervalo de 95% de confiança para a diferença entre as médias das duas turmas. Observação: A menos que haja evidência em contrário, é costume, com pequenas amostras, supor que as variâncias populacionais seja iguais.

Análise de 2 Amostras Independentes Turma 1 Turma 2 X1 obs X2 obs -10 -8 15 3 100 64 225 9 56 71 53 -4 11 -7 16 121 49 64 66 89 77 398 186

Assim temos:

1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) c ) Amostras Emparelhadas Consideremos apenas uma turma de alunos examinada em duas épocas distintas, digamos, os períodos de outono e primavera. Vamos supor que queiramos utilizar os mesmos indivíduos em ambas as amostras. O primeiro passo natural é ver como a situação de cada estudante se modificou calculado a diferença D=X1-X2 X1- notas na primavera;X2- notas no outono

Trataremos de agora em diante as diferenças D como uma única amostra. Em primeiro lugar, calcula-se a diferença média amostral . Em seguida, utiliza-se essa diferença amostral para construir um intervalo de confiança para a diferença média populacional . Intervalo de 95% de confiança para amostras emparelhadas

Análise de 2 Amostras Emparelhadas Notas Observadas Diferença Estu-dante X1 X2 (prima-vera) D=X1-X2 (outono) A B C D -4 -2 5 1 64 66 89 77 54 70 62 10 12 19 15 16 4 25 1 - - -

Assim, temos:

1 - Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) d ) Por que Amostras Emparelhadas? - O erro amostral no caso de dados emparelhados é muito menor do que no caso de dados independentes . - Razão: o emparelhamento mantém constante muitas das variáveis estranhas. Utilizando os mesmos 4 estudantes, mantemos o sexo, o QI e muitos outros fatores exatamente os mesmos em ambas as amostras. Há, pois, um melhor nivelamento do problema.

SUMÁRIO 1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) 2- Proporções 3- Intervalos de Confiança Unilaterais

2 - Proporções Ao lidar com uma variável categorizada em que cada indivíduo ou item da população pode ser classificado como possuidor ou não-possuidor de determinada característica, aos dois resultados possíveis poderiam ser atribuídas pontuações de 1 ou 0 para representar a presença ou a ausência da característica, respectivamente.

Exemplo: Nas eleições presidenciais nos EUA, a população de votantes pode ser encarada como uma urna de fichas marcadas 0 ou 1. Quantos votos você dará ao candidato republicano? Tratando-se de uma eleição honesta, o eleitor só poderá responder 0 ou 1. Chamaremos de  a proporção populacional de republicanos.

 X p(X) 1 (1-  )  X p(X) (  ) X- -  1-  (X-)2  2 (1-  )2 Média e Variância Populacionais de uma Variável 0 -1 X p(X) 1 (1-  )  X p(X) (  ) X- -  1-  (X-)2  2 (1-  )2 (X-)2p(X)  2 (1-  ) (1-  )2  (1-  ) ( 2 )  -

2 - Proporções a) Fórmula para Grandes Amostras Uma proporção amostral P nada mais é do que uma média disfarçada de uma população 0 -1. Por exemplo, se observarmos 7 republicanos em uma amostra de 10 eleitores, a proporção amostral de republicanos é:

Estimativa Intervalar de 95% de Confiança para uma Proporção Da mesma forma, a proporção populacional  nada mais é que a média disfarçada de uma população 0 - 1. Estimativa Intervalar de 95% de Confiança para uma Proporção

Intervalo de 95% de Confiança para a Proporção ( para n grande ) Para se ter uma boa aproximação, o tamanho amostral n deve ser suficientemente grande de tal sorte que n e n(1- ) sejam, cada um deles, pelo menos iguais a 5.

b) Método Gráfico (ÁBACO), Grandes ou Pequenas Amostras P=0,8 n=20 0,56<<0,96

2 - Proporções c) Diferença entre Duas Proporções, Grandes Amostras Intervalo de 95% de Confiança para a Diferença entre Populações, para n1 e n2, grandes e amostras independentes:

Exemplo: Em uma amostra aleatória de pneus fabricados por certa companhia, 20% não satisfazem os padrões da mesma. Construa um IC95 para a proporção  ( em toda a população de pneus ) dos que não satisfazem os padrões: i) se o tamanho da amostra é n=10 ii) se n=25; iii) se n=2500.

Solução: P = 0,2; (1-P ) = 0,8 i) n=10; nP=10 x 0,2 = 2; n(1-P)=10 x 0,8=8 Ábaco 0,01 <  < 0,57 ii) n=25; nP=25 x 0,2 = 5; n(1-P)=25 x 0,8=20 Ábaco 0,06 <  < 0,41 iii) n=2500; nP=2500 x 0,2 = 500; n(1-P)=2500 x 0,8=2000 =0,20 0,0157

SUMÁRIO 1- Diferença entre duas médias ( 1- 2 ) 2- Proporções 3- Intervalos de Confiança Unilaterais

3 - Intervalos de Confiança Unilaterais a ) O caso Mais Simples Há ocasiões em que, para estabelecer uma premissa, devemos fazer uma afirmação de que certo valor populacional é no mínimo tão grande quanto determinado valor. A técnica adequada é então um intervalo de confiança unilateral, com tolerância de erro de 5% toda localizada em uma cauda:

Intervalo de 95% de Confiança ( Unilateral )

Exemplo: Escolheram-se aleatoriamente 16 notas de uma turma muito grande com desvio padrão de 12. Se a média amostral é 58, construa um intervalo de confiança unilateral adequado para mostrar quão boa é a média de toda a turma. Solução

Pode-se, pois, concluir, com 95% de confiança, que a média da turma é no mínimo 53. Observação: O intervalo de confiança abrange não só todos os valores acima da média amostral = 58, como também um conjunto de valores abaixo dela suficiente para garantir 95% de confiança na correção do resultado.

Embora o intervalo de confiança unilateral dê melhor cota inferior que o intervalo bilateral, devemos pagar um preço bastante elevado: o intervalo de confiança unilateral não tem absolutamente qualquer cota superior.

b ) Outros Casos Qualquer intervalo de confiança bilateral pode ser ajustado analogamente de modo a gerar um intervalo de confiança unilateral. Por exemplo, quando  é desconhecido e deve ser substituído por s, temos:

Analogamente para duas amostras:

Naturalmente, se desejamos testar se um valor populacional é inferior a uma certa cifra, o intervalo de confiança unilateral terá a forma:

PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS . BOA SORTE!