Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade I Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes mbotelho@usp.br www.marcelobotelho.com

Estatística Descritiva: Medidas Numéricas Capítulo 3 Parte A

Estatística Descritiva: Medidas Numéricas Medidas de Posição Medidas de Variabilidade (Dispersão)

Medidas de Posição Média Mediana Moda Percentis Quartis Se as medidas calculadas referem-se para a dados de uma amostra, são chamadas estatísticas da amostra Se as medidas calculadas referem-se a dados de uma população, são chamadas parâmetros populacionais Uma estatística amostral refere-se a um estimador por pontos do parâmetro populacional correspondente

Notação Estatística Estatísticas sobre a amostra são representadas por letras latinas (alfabeto) Estatísticas sobre a população são representadas por letras gregas

Média A média consiste em uma medida de posição central dos dados A média amostral 𝑥 é um estimador por pontos da média populacional 𝜇

𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 Média da Amostra 𝑥 Soma dos valores das n observações 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 Número de observações na amostra

𝜇= 𝑥 𝑖 𝑁 Média da População 𝜇 Soma dos valores das N observações 𝜇= 𝑥 𝑖 𝑁 Número de observações da população

Média Amostral Exemplo: Aluguel de Apartamentos Setenta apartamentos foram aleatoriamente amostrados em uma pequena cidade universitária Os preços de aluguel para estes apartamentos estão listados em ordem crescente no próximo slide

Média Amostral 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Média Amostral 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 = 34.356 70 =𝟒𝟗𝟎,𝟖𝟎 425 430 435 440 445 450 𝑥 = 𝑥 𝑖 𝑛 = 34.356 70 =𝟒𝟗𝟎,𝟖𝟎 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Mediana A mediana de um conjunto de dados é o valor no meio quando os itens de dados são dispostos por ordem crescente (em rol) Quando se trata de um número ímpar de observações a mediana é o valor intermediário Quando se trata de um número par de observações a mediana é a média dos dois valores intermediários A mediana é a medida de posição mais utilizada para dados de receitas anuais e valor patrimonial Algumas receitas ou valores extremamente elevados podem inflar a média

Mediana Para um número ímpar de observações 12 14 19 26 27 18 em ordem crescente 7 observações A mediana é o valor intermediário Mediana = 19

Mediana Para um número par de observações 12 14 19 26 27 18 30 A mediana é a média dos dois valores intermediários Mediana = (19 + 26)/2 = 22,5 em ordem crescente 8 observações

Mediana Média do 35º e 36º valores: Mediana = (475 + 475)/2 = 475 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Moda A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência Pode haver situações em que a maior frequência ocorre em dois ou mais valores diferentes Se os dados possuem exatamente duas modas, dizemos que são bimodais Se os dados possuem mais de duas modas, os dados são multimodais Podem existir casos em que a amostra não possui moda, sendo amodal

450 ocorre mais frequentemente (7 vezes) Moda 450 ocorre mais frequentemente (7 vezes) Moda = 450 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Percentis Um percentil fornece informação sobre como os dados se distribuem ao longo do intervalo entre o menor valor e o maior valor Muito utilizado em exames de admissão em universidades (Ex. ENEM e Teste Anpad)

Percentis O p-ésimo percentil é um valor tal que pelo menos p por cento das observações são menores ou iguais a esse valor e pelo menos (100 – p) por cento das observações são maiores ou iguais a esse valor

Percentis Coloque os dados em ordem crescente Calcule o índice i, a posição do p-ésimo percentil i = (p/100)n Se i não é inteiro, arredonde-o para cima O p-ésimo percentil é o valor na i-esima posição Se i é um número inteiro, o p-ésimo percentil é a média dos valores nas posições i e i +1.

90º Percentil i = (p/100)n = (90/100)70 = 63 Média do 63º e 64º valores: 90º Percentil = (580 + 590)/2 = 585 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

90º Percentil “Pelo menos 90% dos itens possuem um valor de 585 ou menos" “Pelo menos 10% dos itens possuem um valor de 585 ou mais" 63/70 = 0,9 ou 90% 7/70 = 0,1 ou 10% 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Quartis Quartis são percentis específicos Q1 = Primeiro Quartil = 25º Percentil Q2 = Segundo Quartil = 50º Percentil = Mediana Q3 = Terceiro Quartil = 75º Percentil

Terceiro quartil = 75º percentil i = (p/100)n = (75/100)70 = 52,5 = 53 Terceiro Quartil = 525 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Medidas de Variabilidade Muitas vezes, é desejável considerar as medidas de variabilidade (dispersão), bem como medidas de posição Por exemplo, na escolha de um fornecedor A ou B podemos considerar não só o tempo médio de entrega para cada um, mas também a variabilidade no tempo de cada entrega

Medidas de Variabilidade Amplitude Amplitude Interquartil Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação

Amplitude A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor dos dados É a medida mais simples de variabilidade É muito sensível a existência de valores muito pequenos ou grandes

Amplitude = maior valor – menor valor 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Amplitude Interquartil A amplitude interquartil de um conjunto de dados é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil É a amplitude do intervalor correspondente os 50% dos dados intermediários Elimina o problema de valores extremos nos dados

Amplitude Interquartil 3º Quartil (Q3) = 525 1º Quartil (Q1) = 445 Amplitude Interquartil = Q3 - Q1 = 525 - 445 = 80 425 430 435 440 445 450 460 465 470 472 475 480 485 490 500 510 515 525 535 549 550 570 575 580 590 600 615

Variância Variância é a medida de variabilidade que utiliza todos os dados A variância baseia-se na diferença entre o valor de cada observação ( 𝑥 𝑖 ) e a média ( 𝑥 para a amostra, 𝜇 para a população)

Variância 𝑠 2 = (𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑛−1 𝜎 2 = (𝑥 𝑖 −𝜇) 2 𝑁 A variância corresponde ao desvios em torno da média elevados ao quadrado A variância é calculada: 𝑠 2 = (𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑛−1 𝜎 2 = (𝑥 𝑖 −𝜇) 2 𝑁 Para Amostra Para População

Desvio Padrão O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância O desvio padrão é mensurado na mesma unidade de medida dos dados, tornando sua interpretação mais simples que da variância

Desvio Padrão 𝑠= 𝑠 2 𝜎= 𝜎 2 O desvio padrão é calculado: Para Amostra 𝑠= 𝑠 2 𝜎= 𝜎 2 Para Amostra Para População

Coeficiente de Variação O coeficiente de variação indica qual é o tamanho do desvio padrão em relação à média O coeficiente de variação é calculado: 𝜎 𝜇 ×100 % 𝑠 𝑥 ×100 % Para Amostra Para População

Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação 𝑠 2 = (𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑛−1 =2.996,16 O desvio padrão é de cerca de 11% da média 𝑠= 𝑠 2 = 2996,16 =54,74 𝑠 𝑥 ×100 %= 54,74 490,80 ×100 %=11,15%

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