Prof. Ilydio Sá Introdução ao Estudo das Matrizes Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira – CAp/UERJ Prof. Ilydio Sá Introdução ao Estudo das Matrizes

Matrizes: Exemplos iniciais 1) Em um observatório meteorológico um cientista foi incumbido de registrar, de hora em hora (nas 12 primeiras horas de cada dia), a temperatura de uma certa região, durante os 4 primeiros dias do mês de junho de 2012. Após a realização desse trabalho o cientista apresentou um relatório com a tabela ao lado: 27 26 25 23 12 24 11 22 21 20 10 28 9 19 8 18 7 17 6 5 16 4 3 2 15 1 j i Interpretando a tabela, responda ao que se pede: Qual a temperatura anotada no dia 3 de junho de 2012, às 9 horas? SOLUÇÃO: 23º C b) Tabelas como a que vimos acima é o que a matemática chama de matrizes (m x n), onde m representa o número de linhas (horizontais) e n indica o número de colunas. É usual se representar a matriz por uma letra qualquer (maiúscula), seguida da indicação (entre parênteses - m x n). Como seria representada, matematicamente a matriz acima, designada pela letra A? SOLUÇÃO: A (12 x 4)

c) Usualmente representamos por aij a um elemento qualquer da matriz A, sendo que i é o indicativo da linha e j, o indicativo da coluna ocupadas pelo elemento em questão. Na matriz acima qual o valor do elemento a10 4? O que essa notação representa? 27 26 25 23 12 24 11 22 21 20 10 28 9 19 8 18 7 17 6 5 16 4 3 2 15 1 j i Solução: O valor é 22. Isto representa que a temperatura, no dia 4 de junho de 2004, às 10 horas, foi de 22º C. d) Qual a temperatura máxima registrada nesse período considerado? Em que dia e hora tal temperatura foi anotada? Como se indica tal fato, matematicamente? Solução: A temperatura máxima foi de 28º C. Este fato ocorreu no dia 4 de junho de 2004, às 9 h. Matematicamente, se representa por a94 = 28 d) Qual a temperatura mínima registrada nesse período considerado? Em que dia e hora tal temperatura foi anotada? Como se indica tal fato, matematicamente? Solução: A temperatura mínima foi de 15º C. Este fato ocorreu no dia 1º de junho de 2004, 1 h. Matematicamente, se representa por a11 = 15.

2) Um técnico de basquetebol descreveu o desempenho dos 5 titulares de sua equipe, nos 7 jogos de um campeonato, através da seguinte matriz: a) Quantos pontos marcou o titular 3, no jogo 5? 18 17 21 20 15 16 22 7 19 32 14 23 6 25 12 SOLUÇÃO: 14 Pontos b) Qual o total de pontos marcados por esses titulares, no jogo 4? SOLUÇÃO: 17 + 18 + 21 + 25 + 14 = 95 pontos c) Qual o total de pontos marcados pelo jogador 2, nas 7 partidas disputadas? SOLUÇÃO: 15 + 16 + 18 + 18 + 22 + 21 + 18 = 128 pontos d) Numa dessas 7 partidas disputadas, qual o jogador titular que foi o cestinha? Quantos pontos ele marcou na partida? Em qual partida tal fato se registrou? Como se representa matematicamente tal fato? SOLUÇÃO: Foi o jogador 3. 32 pontos, na terceira partida. Matematicamente o fato se registra por a33 = 32 d) Numa dessas 7 partidas disputadas, qual o jogador que marcou menor número de pontos? Em qual partida tal fato ocorreu? Quantos pontos ele marcou? Como se representa tal fato, matematicamente? SOLUÇÃO: Foi o jogador 4. 6 pontos, na segunda partida. Matematicamente o fato se registra por a42 = 6

INTRODUÇÃO: Quando utilizamos programas gráficos nos computadores não nos damos conta do que está por trás das operações que efetuamos, mas é bom que saibamos que estas operações só são possíveis porque antes mesmo de serem desenvolvidos os computadores, o homem já havia desenvolvido a teoria das matrizes. Programas como o Word, o Excel e outros, não poderiam ser criados se não existissem as matrizes. Cada movimento executado com uma figura colocada na tela de seu computador corresponde a uma operação de matrizes. A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais de cinema, da televisão, dos games de computadores e em inúmeras simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes. Nestas aplicações, nosso problema reside na rapidez com que precisamos realizar as multiplicações para que os resultados pareçam mais realísticos. É aí, exatamente que entra a informática e quanto mais ágeis forem os co-processadores de nossos computadores, tanto mais e melhores serão os benefícios que deles podemos usufruir.

Problemas que envolvem campos elétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicas, e etc, são reduzidos a sistemas de equações lineares com número excessivamente grande de equações e incógnitas cuja solução só é plausível com o uso de matrizes. Só para termos uma idéia de o quanto as matrizes fazem parte de nossas vidas, basta saber que a distribuição de energia elétrica, de gás e outros serviços como telecomunicação seriam absolutamente inviáveis em grande escala, como nas redes estaduais, não fosse o uso de matrizes gigantescas operadas por computadores. É bem comum no nosso cotidiano estarmos interessados em comparar medidas ou aspectos de diversos objetos. A forma mais eficiente de fazermos isso é, através de uma tabela de dupla entrada onde, numa das entradas relacionamos os objetos a serem observados e na outra, as medidas ou aspectos que queremos comparar. Por exemplo, suponha que estamos precisando comprar feijão, arroz, açúcar e café. Vamos pesquisar os menores preços nos supermercados Baratão, Bom Demais e Pague Pouco e para anotarmos seus preços fazemos a seguinte tabela:

Feijão(Kg) Arroz(Kg) Açúcar(Kg) Café(Kg) Baratão 1,98 2,20 2,55 4,30 Bom Demais 2,10 2,38 2,15 3,95 Pague Pouco 1,80 2,40 2,30 4,15 Uma matriz é exatamente uma tabela como a que construímos acima com a única diferença que não enfatizamos os significados das linhas e colunas (talvez por já estar explícito). ou

Em geral nomeamos as matrizes com as letras latinas maiúsculas Em geral nomeamos as matrizes com as letras latinas maiúsculas. Uma matriz A que possui m linhas e n colunas pode ser representada por: Qualquer elemento da matriz A é da forma , onde os índices i e j servem apenas para indicar, respectivamente a linha e a coluna do elemento considerado.

FIXAÇÃO DE CONCEITOS Uma indústria de roupas possui fábricas, que produzem calças e camisas. A matriz abaixo representa, respectivamente, as fábricas A, B, C e as produções de calças e camisas, nessa ordem citada, num determinado dia de trabalho. Observe a matriz e responda ao que se pede: a) Quantas calças foram produzidas pela fábrica B, nesse dia ? Como se representa, matematicamente, este fato? RESPOSTA: 210 CALÇAS; b) Quantas camisas foram produzidas pela fábrica C, nesse dia? Como se representa, matematicamente, este fato? RESPOSTA: 340 CAMISAS; c) Qual a produção total de camisas, da indústria, nesse dia? RESPOSTA: (290 + 240 + 340) = 870 CAMISAS;