Campus de Mal. Cdo. Rondon - PR. SISTEMAS ESCALONADOS – FORMA ESCADA. CURSO de AGRONOMIA E ZOOTECNIA. Campus de Mal. Cdo. Rondon - PR. MATEMÁTICA: SISTEMAS ESCALONADOS – FORMA ESCADA. PROF. VILSON SCHWANTES Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

SISTEMAS ESCALONADOS- FORMA ESCADA. Um sistema de equações não se altera, (solução é a mesma) quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. 2) Um sistema de equações não se altera, (solução é a mesma) quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

3) Um sistema de equações não se altera, (solução é a mesma) quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação anterior (2). Quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações excede três, é conveniente (menos trabalhoso), usarmos a técnica de escalonamento, pois facilita a resolução do sistema. Dado o sistema linear: Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

PROCEDIMENTOS PARA ESCALONAR UM SISTEMA: onde existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do 1º coeficiente não-nulo aumenta de equação para equação. PROCEDIMENTOS PARA ESCALONAR UM SISTEMA: 1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero. O elemento a11 é o único pivô que deve ser igual a 1 (um). 2) Utilizando as propriedades dos sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. (começando, então pela 1ª coluna). Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

2.1) PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES – 3 OPERAÇÕES ELEMENTARES. a) Permuta ou troca de posição de duas linhas inteiras ou 2 colunas. b) Multiplicação de uma linha inteira i (ou coluna j) por um escalar (constante k) não nulo. c) Substituição de uma linha pela soma desta com outra multiplicada por um escalar. 3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação. 4) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

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Regras de escalonamento: 1) O primeiro número da primeira linha deve ser 1 (chamamos de pivô)  Pivô da primeira linha deve ser 1, para isso podemos realizar todas as operações elementares sobre linhas de matriz (multiplicar, permutar, somar/subtrair). Uma matriz escada está na forma escalonada reduzida se os seus pivots são 1 e cada pivot é o único elemento não nulo na sua coluna. A matriz A está na forma escalonada A matriz B está na forma escalonada Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

2) Cada coluna que contém o pivô tem sempre 0 nas demais entradas. Nesta imagem todos os números circulados em vermelho são os pivôs de cada linha, somente na primeira linha é necessário que o pivô seja o número 1. Os números circulados em azul são os números que ficam abaixo dos pivôs de cada coluna, estes números devem ser sempre 0. Há somente um pivô em cada linha ou em cada coluna. Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

Tipos de Operações Elementares. 3) O pivô da linha inferior ocorre mais a direita do pivô da linha superior. Tipos de Operações Elementares. 1) Trocar duas linhas; Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

2) Multiplicar uma linha por um escalar não nulo; L1= 0,5.L1 3) Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar; L2= L2 - 0,5.L1 Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

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Resolução do sistema: 1) a11 = 1 1.1. Trocar as equações (E1) e (E2) Ordenando ….     L3= - 2.L1 + L3     Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

RESOLVENDO NA FORMA DE MATRIZ. Matriz do sistema Matriz Ampliada Vamos registar as operações sucessivas efetuadas nas equações do sistema fazendo transformações nas linhas da matriz ampliada. 2) L3= - 2.L1 + L3 Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

SOLUÇÃO JÁ É POSSÍVEL. 3) L3= 2. L2 +L3 Nº X Y Z   Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

1ª Questão: Vamos resolver escalonando o sistema: 1º Passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita, a partir da 2ª equação. 2º Passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação. Solução: x= 14/9 e y= 1/9 RESOLUÇÃO: Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

Solução: x= 14/9 e y= 1/9 Zerar a21 Nº Escrever a matriz ampliada   Troca L2 por L 1   Solução já é possível: Zerar a21 X y Nº Solução: x= 14/9 e y= 1/9 Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

2ª Questão: Resolva por escalonamento o sistema abaixo: x= - 1/3 y= 1/6 t = - 5/6 e k= 7/6 Nº X Y T K     SEGUE Ordenamento…. Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

L2=L1-L2 2. X = - 5 x= - 1/3; y= 1/6; t = - 5/6 e k= 7/6 L3=L1-L3   L2=L1-L2 Zerar a31 Zerar a21   L3=L1-L3 L4=2L1+L2 Zerar a41     L3=L2-2.L3 L4=L2. -5/2+L4 2. X = - 5 Zerar   L4=L3. -1/2+L4 x= - 1/3; y= 1/6; t = - 5/6 e k= 7/6 2. X = - 1 XX KX Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br YX TX

Desafio . . x1= 3/2 x2 = 9/5 e x3 = 17/5 3ª Questão: Idem , idem : Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br

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4ª Questão: Resolva escalonando o sistema: x= 5 y= 7 e z = 12 5ª Questão: Idem , idem : Professor Vilson Schwantes - www.pvilson.com.br