Medidas de Dispersão

Medidas de Dispersão: Considere a seguinte situação: Dois alunos disputam uma única vaga em uma estágio da faculdades. Algumas avaliações foram aplicadas para esses dois candidatos: Júlio e César. A tabela a seguir mostra os desempenhos dos dois alunos nessas avaliações:

Tabela de Desempenho Júlio César Português 8,5 9,5 Matemática 9,0 Física 8,0 Inglês 7,0 Espanhol 5,0

Observe as médias dos 2 alunos: Júlio: César:

Os dois candidatos obtiveram a mesma média! Como proceder matematicamente para determinar qual dos dois teve o melhor desempenho na avaliação? A comparação entre os dois desempenhos pode ser feita através das seguintes medidas estatísticas:

I – Desvio médio(DM):  

D.A.M(Júlio) D.A.M(César)

Conclusão: As notas de Júlio estão, em média, 0,8 acima ou abaixo da média, enquanto as notas de César estão, em média, 1,2 acima ou abaixo da média aritmética (8,0). Isso mostra que as notas de Júlio são menos dispersas que as notas de César. Então: Júlio merece a vaga.

  É uma outra medida estatística que indica o afastamento de uma amostra em relação a média aritmética. Define-se: Variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios dos elementos da amostra.

Cálculo da Variância:  

Exemplo: Júlio: César:

Conclusão Por esse processo, as notas de Júlio são menos dispersas que as notas de César. Quanto menor a variância, menos dispersas são as notas. Logo, Júlio teve um desempenho mais regular.

III – Desvio Padrão . É o valor obtido na raiz quadrada da variância  

Assim temos:  

Conclusões Logo, por esse processo, as notas de Júlio são menos dispersas que as notas de César. Quanto menor for o desvio padrão, menos dispersas são as notas. Conclusão: Júlio é sempre melhor que César.

Exercício Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:

Turma Número de Alunos Média Desvio Padrão A 15 6,0 1,31 B 3,51 C 14 2,61

Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média.

Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

(1) Verdadeira. Como o desvio padrão dessa turma é o mais alto, as notas são as mais dispersas, portanto mais heterogêneas. (2) Verdadeira. Cada turma tem um desvio padrão diferente, logo as variações são diferentes.

(3) Falsa. Como o desvio padrão dessa turma é o menor, suas notas são menos dispersas. OPÇÃO D

ENEM 2010

Marco, pois a média e a mediana são iguais. Marco, pois obteve o menor desvio padrão. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 pontos em Português. Paulo, pois obteve a maior mediana. Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

Resposta certa letra.... B

FUVEST-SP A distribuição dos salários de uma empresa é dada na tabela a seguir: Salário(em Reais) Número de Funcionários 500,00 10 1.000,00 5 1.500,00 1 2.000,00 5.000,00 4 10.500,00 Total 31

a) Calcule a média, a mediana e a moda dos salários dessa empresa?   b) Suponha que sejam contratados dois novos funcionários com salários de R$2.000,00 cada, A variância da nova distribuição de salários ficará menor, igual ou maior que a anterior? Justifique.

Solução:a) A média (aritmética) é o quociente entre o produto das variáveis pela frequência em que ocorreram e o total de dados:

A mediana é o elemento que ocupa a posição que divide os valores ordenados em subconjuntos de mesma quantidade. Como há 31 dados. A Mediana ocupará a 16ª posição ou seja, R$1.500,00. Moda= R$500,00 e Moda =R$2.000,00(BIMODAL)

Como os dois novos funcionários tem salário igual a média, no cálculo da nova variância, o valor do numerador não se altera, uma vez que os dois novos valores,(x-média), são iguais a zero e o denominador aumenta, de 31 para 33. Logo a variância diminui.