Professor : Neilton Satel Aula de Matemática Professor : Neilton Satel 03 março de 2015 Boa aula!

A matemática pode ser mais divertida e facilitada pelo uso de softwares na realização de tarefas, uma vez que há sempre a possibilidade de maior interação e visualização dos processos efetuados. – prof. Neilton Satel – www.neiltonsatel.wordpress.com

Para Refletir... “ouço e esqueço, vejo e me lembro, faço e aprendo.” Provérbio Chinês

Conteúdos abordados nesta apresentação Média: ponto de equilíbrio do conjunto. Mediana: divide o conjunto em duas partes iguais. Moda: valor mais provável.

Aqui se trata de média simples 01. Define-se a média aritmética de n números dados como o resultado da divisão por n da soma dos n números dados. Calcule a média aritmética dos números 2,5; 1,4; 3,2 2,5. 2,5 b) 2,7 c) 2,4 d) 3,1 e) 3,0 Aqui se trata de média simples

Questão 01 modificada A próxima questão, é uma forma modificada da questão 01.

01. Define-se a média aritmética de n números dados como o resultado da divisão por n da soma dos n números dados. Sabe-se que 2,4 é a média aritmética de 2,5; 1,4; 3,2 e x. O número x é igual a: 2,5 3,1 3,7 5,1 6,0 Média x :

Aqui se trata de média ponderada e o número de empregados está no lugar dos pesos

Resposta: o salário médio x = R$ 360,00 Aqui se trata de média ponderada e o número de empregados está no lugar dos pesos Resposta: o salário médio x = R$ 360,00

TEORIA Nos slides a seguir, você poderá observar a teoria do conteúdo média mediana e moda.

→ Média Aritmética Ponderada Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média aritmética ponderada.     Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.

EXEMPLO: Francisco participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Francisco tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? Podemos obter essa média da seguinte forma: Média = 8,0 . 3 + 7,5 . 3 + 5,0 . 2 + 4,0 . 2 = 64, 5 = 6,45 3 + 3 + 2 + 2 10 Portanto a média de Francisco foi de 6,45. Essa média é conhecida como média aritmética ponderada e o número de vezes em cada disciplina se repete é denominado peso.

Média aritmética ponderada de dois ou mais valores é o valor obtido somando-se os produtos de cada valor pelo seu respectivo peso, e dividindo-se, a seguir, o resultado pela soma dos pesos. OUTRO EXEMPLO: O professor Augusto ministra aula de reforço para 25 alunos. As idades de seus alunos são conforme a tabela abaixo: Número de alunos Idade 6 9 anos 9 10 anos 10 12 anos

Qual é a média de idade dos alunos de Augusto? Observando a distribuição das idades de seus alunos, podemos obter essa média da seguinte forma: Média = 6 . 9 + 9 . 10 + 10 . 12 = 264 = 10,56 6 + 9 + 12 25 Portanto a média de idade dos alunos de Augusto é de 10,56 anos.

→ Mediana ■ Você sabe o que é uma Mediana? a mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor central desta distribuição.  → Para achar a Mediana é necessário colocar os dados em ordem crescente ou decrescente.

Exemplos: 1) As notas de um aluno em um semestre da faculdade, colocadas em ordem crescente, foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. São cinco notas. A mediana é o valor que está no centro das notas, ou seja, 5,0. Podemos afirmar que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0. 2) A quantidade de hotéis 3 estrelas espalhados pelas cidades do litoral de um determinado Estado é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10. Como o conjunto possui dez valores e, portanto, não há um valor central, calculamos a mediana tirando a média dos dois valores centrais:           

Observem esta sequência de números: 29, 33, 25, 20, 21, 26, 28, 19, 23, 23, 27 → Colocando esses números em ordem crescente, temos: 19 20 21 23 23 25 26 27 28 29 33 A sequência acima tem 11 números (ou seja quantidade ímpar de números). Então, a mediana será o valor central acima, que é o número 25. Mediana é o valor que ocupa exatamente o meio de uma série, quando seus valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Observem agora uma nova sequência de números: 19, 21, 21, 23, 27, 29, 29, 30 → Não há a necessidade de colocar esses números em ordem crescente, pois eles já estão, veremos: 19 21 21 23 27 29 29 30 A sequência acima tem 8 números (ou seja quantidade par de números). Então, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais: 23 + 27 = 25. 2 Observe que nesse caso, a mediana não é um número da sequência.

Número de amigos de César Observem as idades dos amigos de César: 11, 12, 11, 13, 14, 11, 15, 13, 12, 13, 11, 15, 14, 12, 13, 13, 11, 11, 12, 14. → Organizando as idades dos amigos de César, obtemos a tabela abaixo: Moda é o valor que mais se repete em uma série estatística. Idade Número de amigos de César 11 6 12 4 13 5 14 3 15 2 Observem que 11 é a idade que aparece o maior número de vezes (aparece 6 vezes). Dizemos que 11 é a moda dessa série de números.

OBSERVAÇÃO: O conjunto de valores de um certo número de dados pode ter uma só moda, duas modas, três modas, etc., ou não ter nenhuma moda (série amodal). Observe a tabela abaixo: Dados Moda (s) 1,2,2,3,3,3,5,7 3 1,2,2,2,3,4,4,4,5 2 e 4 1,2,3,4,5,6,7,8 não tem → 1 moda → 2 modas (bimodal) → amodal (sem moda)

Mediana (quantidade de valores ímpar)

Mediana (quantidade de valores par)

f(ímpar)= 7 + 8 +9 = 24 f(ímpar)= 24/50 = 12/25

02 (Fuvest – SP) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é: a)16 b) 20 c) 50 d) 70 e) 100 Média x :