GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Recta com Plano II © antónio de campos, 2009

INTERSECÇÃO DE RECTAS COM PLANOS MÉTODO GERAL Conduz-se pela recta um plano auxiliar que a contenha (em geral um plano projectante, mas não necessariamente). Determina-se a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar. O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado. x xz xy α v2 r2 fα v v2 F r2 fρ fρ fα I2 F2 F1 I I2 ρ (v1) ≡ I1 H2 H1 r x hρ (v1) ≡ I1 H r1 ≡ hα hα ≡ r1 hρ

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante). F2 F1 fα fθ F x xz xy r2 r2 θ i2 fθ i2 i α r I2 I2 I1 I fα H2 H1 x I1 H hα r1 ≡ hθ ≡ i1 r1 ≡ hθ ≡ i1 hα

Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 4 cm de afastamento, e tem o seu traço frontal com 3 cm de cota. Uma recta oblíqua r contém o ponto A (4; 2), e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. O traço horizontal da recta r tem –1 cm de afastamento. Determina as projecções do ponto de intersecção I, entre a recta r e o plano ρ. fα Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano: 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical α que contenha a recta r; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar α; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado ρ. i2 r2 fρ F2 F1 I2 I1 A1 A2 H2 H1 x H’2 ≡ H’1 hρ r1 ≡ hα ≡ i1

Um plano oblíquo α tem os seus traços coincidentes, e o seu traço frontal concorre com o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa, fazendo com o eixo x um ângulo de 45º (a.e.). Uma recta oblíqua r contém o ponto A (0; 4; 4), e tem as suas projecções paralelas entre si, sendo a sua projecção frontal perpendicular ao traço frontal do plano α. Determina as projecções do ponto de intersecção I, entre a recta r e o plano α. fγ y ≡ z r2 i2 Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano: 1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical γ que contenha a recta r; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar γ; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α. fα ≡ hα A1 A2 I2 I1 H2 H1 x F2 F1 r1 ≡ hγ ≡ i1

Um plano oblíquo α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, e são concorrentes com o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Uma recta horizontal h contém o ponto A (-1; 3; 1), e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções do ponto de intersecção I, entre a recta h e o plano α. y ≡ z Utilizar o método geral de intersecção de uma recta com um plano: 1. Conduzir pela recta h um plano auxiliar horizontal ν que contenha a recta h; 2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada h são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar ν; 3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada h com o plano dado α. fα h2 ≡ (fν) ≡ i2 A2 A1 I2 I1 F2 F1 x i1 hα h1