Programação Linear Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN Programação Linear Benedito C. Silva

Programação Linear É técnica de otimização mais empregada na área de Recursos Hídricos, devido às seguintes razões: Flexibilidade para adaptação a uma grande variedade de problemas Maior Facilidade de entendimento, comparada com outras técnicas Capacidade de tratar problemas de grande porte, comuns em recursos hídricos Disponibilidade de pacotes computacionais, em nível comercial, para pronta utilização

Linear: refere-se à necessidade de haver relações lineares entre as variáveis. Ou seja, o problema é descrito por equações lineares Programação: refere-se ao planejamento de atividades

Vamos imaginar o seguinte problema: Deseja-se cultivar milho e feijão em uma propriedade de área igual a 100 ha, onde a água para irrigação é fornecida por um reservatório através de um sistema de bombeamento A receita líquida por unidade de área cultivada é de, Milho: 100 R$/ha Feijão: 80 R$/ha Pergunta: Considerando que não há restrição hídrica, qual a área a ser cultivada de cada cultura para que o agricultor maximize sua receita?

As variáveis de decisão são: X1 = área da cultura de milho X2 = área da cultura de feijão R = receita obtida com as duas culturas O problema pode ser escrito como: Função Objetivo Principais restrições Restrições de não negatividade

este é o formato da Programação Linear

Métodos de Solução Métodos Geométricos Vamos supor que desejamos determinar os pontos que satisfazem a: X2 (0,100) X1+X2 ≤ 100 X1 + X2 = 100 região factível X1 ≥ 0 X1 (100,0) X2 ≥ 0

Os pontos da área hachurada obedecem às restrições Os pontos da área hachurada obedecem às restrições....mas o máximo ou mínimo da Função Objetivo (FO) está nos vértices do plano definido pelas diversas restrições do problema: X1 + X2 = 100 X2 X1 região factível (0,100) (100,0)

Teorema muito importante: O Máximo ou um Mínimo de uma PL, se existir, irá ocorrer necessariamente num vértice (corner point) da região de soluções viáveis ou factíveis, dado pelo conjunto de restrições Qual o ponto de máximo rendimento para o problema?

X2 X1 Para o ponto A temos X1 = 20 e X2 = 50 R=100.20 + 80.50 = 6000 Para o ponto B (X1=0 e X2=100), R=8000 Para o ponto C (X1=100 e X2=0), R=10000 (máximo) X2 B (0,100) Direção de crescimento da FO A (20,50) R=10.000 Ponto de máxima receita R=8.000 R=6.000 X1 C (100,0)

Problema 2: Introdução da limitação do volume d’água O consumo de água por unidade de área para as culturas é, Milho: 3,0 dam3/ha Feijão: 1,5 dam3/ha A disponibilidade de água no reservatório para o período de estiagem é 240 dam3 A formulação do problema fica: (limite de área total) (limite de volume disponível)

Solução gráfica X2 X1 D (0,160) Reta da FO, coef. inalterados R=9.200 B (0,100) 3X1+1,5X2=240 Novo ponto de máxima receita F (60,40) X1+X2=100 X1 E (80,0) C (100,0)

Problema 3: Introdução da cobrança pelo uso da água A aquisição de água no reservatório terá um custo unitário igual a R$ 20/dam3 A receita passa ser calculada por: R = 100 X1 – 20 (3 X1) + 80 X2 – 20 (1,5 X2) R = 40 X1 + 50 X2 A formulação do problema fica:

Solução gráfica X2 X1 D (0,160) 3X1+1,5X2=240 B (0,100) Novo ponto de máxima receita R=5000 Reta da FO, coef. alterados X1+X2=100 X1 E (80,0) C (100,0)

Comparação das Soluções Enquanto a água não tinha limite (PL1) ou custo zero (PL2): X1> X2 na solução ótima, embora o milho exija mais água Quando houve custo para a água (PL3): X2>X1 na sol.ótima

O método gráfico é de fácil aplicação, mas só é viável de ser utilizado quando: se existirem duas ou no máximo três variáveis de decisão; se existirem poucas equações de restrição (um problema com muitas restrições possui muitos vértices para serem testados!)