Agentes Baseados em Utilidade

Parte I: Decisões Simples “Como um agente deve tomar decisões de modo que, em média, ele consiga o que quer”

Decision Theoretic Agent Agente capaz de ... Tomar decisões racionais baseado no que acredita e deseja Diferentemente de um agente lógico Pode tomar decisões em ambientes com incertezas e objetivos conflitantes Possui uma escala contínua de medida de qualidade sobre os estados Valores associados a cada estado (utilidade) indicando a “felicidade” do agente ! Funções de Utilidade associam um valor a um estado Indica o “desejo” por estar nesse estado U(S) = utilidade estado S de acordo com o agente Ex. BBB: s1 = {rico, famoso}, s2 = {pobre, famoso} U(s1) = 10 U(s2) = 5

Funções de Utilidade Resulti(A): Todos os possíveis estados de saída de uma ação não-determinista A Para cada saída possível é associada uma probabilidade: P (Resulti(A) | Do(A), E) Onde, E resume a evidência que o agente possuí do mundo Do(A) indica que a ação A foi executada no estado atual Utilidade esperada de uma ação A dado a evidência do mundo E: EU(A|E) = i P(Resulti(A)|Do(A),E) U(Resulti(A)) Principio da Maximização da Utilidade: agente racional deve escolher ação que maximiza sua utilidade esperada !!!

Exemplo: Cálculo da Utilidade Esperada Robô deve transportar uma caixa E = caixa é de metal a1 = Chutar: s1, caixa no destino 20% U(s1) = 10 s2, caixa no meio do caminho 30% U(s2) = 5 s3, caixa longe destino 50% U(s3) = 0 a2 = Carregar: s1, caixa no destino 80% U(s1) = 10 s2, caixa na origem 20% U(s2) = 0 EU(a1) = 0,20 x 10 + 0,30 x 5 + 0,50 x 0 = 3,5 EU(a2 ) = 0,80 x 10 + 0,20 x 0 = 8

Preferências Racionais Funções de Utilidade representam preferências! Utilidade(Fusca75) > Utilidade(BMW2014) O agente que maximiza tal utilidade continua sendo racional O modelo de racionalidade mais utilizado é aquele que maximiza EU Notação (Relações de Preferência): A  B: A é preferível a B A ~ B: agente indiferente entre A e B A  B: agente prefere A à B ou é indiferente Para ações não-deterministas: A e B são loterias, i.e., distribuições probabilísticas sobre um conjunto de estados de saída L = {p1.S1; p2. S2; ...; pn.Sn}

Restrições Sobre Preferências Racionais Principio da Utilidade: Preferências que satisfaçam os axiomas garantem a existência de uma função real U, tal que: U(A) > U(B)  A > B U(A) = U(B)  A ~ B U (p1.S1; ... ; pn.Sn) = i pi U(Si) Axiomas da Teoria da Utilidade: Ordenabilidade: (A > B)  ( B > A)  (A ~ B) Transitividade: (A > B)  (B > C)  (A > C) Continuidade: A > B > C  p [p.A; 1 - p.C] ~ B Substitutabilidade: A ~ B  [p.A; 1 – p.C] ~ [p.B; 1 – p.C] Monoticidade: A > B  ( p  q  [p.A; 1 – p.B]  [q.A; 1 – q.B] ) Decomposabilidade: [p.A; 1 – p. [q.B; 1 – q.C] ] ~ [p.A; (1 – p)q.B; (1 – p)(1 – q). C]

Exemplo: Restrições Sobre Preferências Racionais Violação das restrições podem levar a comportamentos irracionais Exemplo: agente com preferências estritas não transitivas pode ser induzido a dar todo o seu dinheiro: Se B > C, então um agente que possuí C pagaria 1 centavo para obter B C B 1 c Se A > B, então um agente que possui B pagaria 1 centavo para obter A C B 1 c A Se C > A, então um agente que possuí A pagaria 1 centavo para obter C C B 1 c A

Exemplo: A Utilidade do Dinheiro Um jogador ganhou um prêmio de R$ 1.000.000 em um programa de TV Apresentador oferece uma aposta: Se ele jogar a moeda e aparecer cara  jogador perde tudo Se aparecer coroa  jogador ganha R$ 3.000.000 O Valor Monetário Esperado da aposta é: 0.5 (R$ 0) + 0.5 (R$ 3.000.000) = $ 1.500.000 O Valor Monetário Esperado de recusar a aposta é de R$ 1.000.000 (menor) Isso indica que seria melhor aceitar a aposta ?

Exemplo: A Utilidade do Dinheiro Utilidade Esperada para cada uma das duas ações: EU (Aceitar) = 0.5 U(Sk) + 0.5 U(Sk+3.000.000) EU (Rejeitar) = U(Sk+1.000.000) Onde, Sk = riqueza atual do jogador Deve-se atribuir valores de utilidade para cada estado de saída: Sk = 5; Sk+3.000.000 = 10; Sk+1.000.000 = 8 Ação racional: rejeitar ! Conclusão: Utilidade não é diretamente proporcional ao valor monetário Utilidade (mudança no estilo de vida) para o primeiro R$ 1.000.000 é muito alta

Utilidade do Dinheiro Fonte: AIMA, 3rd ed, p 617

Funções de Utilidade Multi-Atributo Como tratar funções de utilidades com várias variáveis X1, ..., Xn ? Ex.: Construir aeroporto, Variáveis: Segurança, Custo, Poluição sonora U (Segurança, Custo, Poluição sonora) = ? Existem basicamente dois casos: Dominância: decisões podem ser tomadas sem combinar os valores dos atributos em um único valor da utilidade Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-atributo: utilidade resultante da combinação dos valores dos atributos pode ser especificada concisamente

Dominância Total (de Pareto) Se um estado S1 possui valores melhores em todos seus atributos do que S2, então existe uma dominância total de S1 sobre S2  i Xi(S1)  Xi(S2) (e portanto U(S1)  U(S2)) Ex.: Local S1 para Aeroporto custa menos e é mais seguro que S2 Dominância total raramente acontece na prática !!!

Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-Atributo Supondo que existem n atributos com d possíveis valores: No pior caso, serão necessários dn valores (preferência sem regularidade!) A Teoria da Utilidade Multi-atributo assume que preferências de agentes possuem certa regularidade (estrutura) Abordagem básica é tentar identificar essas regularidades! Agentes com uma certa estrutura em suas preferências terá uma função: U(x1 ... Xn) = f[ f1(x1) ..... f2(x2) ] Onde espera-se que f seja uma função simples!

Estrutura de Preferência X1 e X2 são preferencialmente independente de X3 se, e somente se: Preferência entre {x1, x2, x3} e {x1’, x2’, x3} não depende em x3 Independência total: todos os atributos são preferencialmente independente com relação aos demais Ex.: Segurança, Custo, Poluição sonora Sob a premissa de independência total, o comportamento preferencial do agente pode ser descrito como uma maximização da função aditiva: V (x1 ... xn) = i Vi(xi)

Modelos Gráficos para Decisão sob Risco Modelos gráficos básicos para decisão sob risco Árvores de decisão Redes de Decisões ou Diagramas de Influência Arborescência que representa um problema de decisão sob risco Representa as diferentes sequências possíveis de decisões e acontecimentos (ou estados) Redes de decisão Representação mais compacta e intuitiva para problemas de decisão No entanto os aspectos temporais de uma decisão são menos explícitos Computacionalmente, árvores de decisão e redes de decisão são equivalentes

Árvores de decisão Três tipos de vértice: Decisão: representados por quadrados, correspondem a etapas de decisão. Chance: representados por círculos, correspondem às realizações dos estados. Terminais: indicam se os resultados possíveis do processo de decisão; associamos a cada vértice terminal o valor do critério de avaliação para a situação obtido a partir das decisões e dos eventos associados ao caminho que vai dar raiz a este vértices Decisão Chance Terminal

Árvores de decisão Dois tipos de arestas: As arestas que saem de vértices “decisão” representam as diferentes ações possíveis As arestas que saem dos vértices de “chance” representam a possibilidade de realização dos estados da natureza ou do ambiente. Esses arcos podem ser eventualmente valorados pela probabilidade de ocorrência do estado associado p11 pxx são probabilidades p11 + p12 + p13 = 1 p21 + p22 + p23 = 1 p12 Ação 1 p13 p21 Ação 2 p22 p23

Árvores de decisão Cenário Caminho da árvore partindo da raiz até um vértice terminal. Ele é definido por uma decisão tomada a cada “nó decisão” e a realização de um estado observado a cada “nó de chance”. p11 p12 Ação 1 p13 Cenário: foi tomada a Ação 1 e ocorreu o evento com probabilidade p13 p21 Ação 2 p22 p23

Exemplo Ao aproximar-se o fim do ano, um atacadista de lembrancinhas de empresas prepara sua estratégia de comercialização. Ele considera duas reações possíveis de sua clientela: r1: reação favorável r2: reação mista Chamaremos de p a probabilidade de observar a reação r1. O atacadista estima que em caso de reação mista, o lucro líquido realizado será de um montante x. Ele deverá ser 3 vezes mais alto no caso de reação favorável. O atacadista se pergunta então sobre a oportunidade de efetuar uma campanha publicitária. O custo desta campanha é estimado também em x. Considera-se que uma campanha publicitária permitirá dobrar o lucro previsto em caso de reação favorável (r1). Ela não terá nenhum efeito em caso de reação mista (r2). Desenhe uma árvore de decisão que represente o problema de escolha de uma estratégia de comunicação Considerando um critério de MEU do lucro, obtenha o valor mínimo de p que torna preferível lançar a campanha de publicidade.

Redes de Decisões Formalismo para expressar e resolver problemas de decisão: estende Redes Bayesianas adicionando ações e utilidades Composto de: Nós de Chance (ovais): representam variáveis como nas redes Bayesianas Nós de Decisão (retângulo): pontos onde agente deve escolher uma ação Nós de Utilidade (diamantes): representam as funções de utilidade do agente Algoritmo de avaliação: Atribuir os valores das variáveis para o estado corrente; Calcular o valor esperado do nó de utilidade dado a ação e os valores das variáveis; Retornar a ação com maior Utilidade Máxima Esperada

Exemplo: Redes de Decisões Info. sobre estado atual Local do Aeroporto Info. sobre estado futuro Trafego aéreo Construção Litigação Barulho Segurança Custo U

Teoria do Valor da Informação Problemas anteriores assumiam que todas as informações estavam disponíveis O que acontece quando elas não estão? Cabe ao agente buscar as informações necessárias ... No entanto ... Obtenção de informações tem um custo associado Ex.: solicitação de um exame por parte de um medico A Teoria do Valor da Informação permite que o agente escolha quais informações adquirir

Cálculo do Valor da Informação: Exemplo Suponha que uma empresa de petróleo pretenda comprar o direito de perfuração de poços de um de n blocos a serem postos à venda. Suponha, ainda, que exatamente um dos blocos contenha óleo avaliado em $ C, enquanto os outros não contém nada. O preço de cada bloco é C/n dólares. Suponha agora que um geólogo oferece à empresa os resultados de uma pesquisa referente ao bloco 3, que indica com certeza se o bloco contém óleo. Quanto a empresa deve estar disposta a pagar pela informação? Solução: Sem a informação, a esperança do lucro ao comprar é 0: 1/n*C – C/n A maneira de responder a essa pergunta é examinar o que a empresa faria se tivesse a informação: Com probabilidade 1/n, a pesquisa irá indicar que há óleo no bloco 3. Neste caso, a empresa vai comprar o bloco 3 por C/n e vai faturar C – C / n = (n – 1)C / n Com probabilidade (n – 1)/n, a pesquisa vai mostrar que o bloco 3 não contém petróleo, o que fará a empresa comprar outro bloco. Agora a probabilidade de encontrar óleo em um dos outros blocos é 1/(n-1), então a esperança do lucro é C / (n-1) – C/n = C / n(n-1) Então o lucro esperado com a informação é 1 𝑛 × 𝑛−1 𝐶 𝑛 + 𝑛−1 𝑛 × 𝐶 𝑛 𝑛−1 = 𝐶 𝑛

Cálculo do Valor da Informação: Exemplo Suponha que uma empresa de petróleo pretenda comprar o direito de perfuração de poços de um de n blocos a serem postos à venda. Suponha, ainda, que exatamente um dos blocos contenha óleo avaliado em $ C, enquanto os outros não contém nada. O preço de cada bloco é C/n dólares. Suponha agora que um geólogo oferece à empresa os resultados de uma pesquisa referente ao bloco 3, que indica com certeza se o bloco contém óleo. Quanto a empresa deve estar disposta a pagar pela informação? Solução: Sem a informação, a esperança do lucro ao comprar é 0: 1/n*C – C/n A maneira de responder a essa pergunta é examinar o que a empresa faria se tivesse a informação: Com probabilidade 1/n, a pesquisa irá indicar que há óleo no bloco 3. Neste caso, a empresa vai comprar o bloco 3 por C/n e vai faturar C – C / n = (n – 1)C / n Com probabilidade (n – 1)/n, a pesquisa vai mostrar que o bloco 3 não contém petróleo, o que fará a empresa comprar outro bloco. Agora a probabilidade de encontrar óleo em um dos outros blocos é 1/(n-1), então a esperança do lucro é C / (n-1) – C/n = C / n(n-1) Então o lucro esperado com a informação é 1 𝑛 × 𝑛−1 𝐶 𝑛 + 𝑛−1 𝑛 × 𝐶 𝑛 𝑛−1 = 𝐶 𝑛 Logo, se essa informação custar menos que C/n, vale a pena pagar! Veja que a informação vale tanto quanto o preço cobrado por um bloco!

Parte 2: Decisões Sequenciais “Métodos para decidir o que fazer hoje, dado que nós poderemos ter que decidir de novo amanhã”

Problemas de Decisões Seqüenciais Anteriormente estávamos lidando com problemas de decisão episódicos: Utilidade de cada resultado de uma ação conhecido! Problemas de decisões seqüenciais: Utilidade do agente depende de uma seqüência de decisões Envolvem utilidades, incertezas e percepção

Exemplo: Ambiente 4x3 Interação termina quando agente alcança um dos estados finais (+1 ou -1) Ações disponíveis: Up, Down, Left e Right Ambiente totalmente observável Agente sabe onde está! Ações não confiáveis Locomoção estocástica Se agente bater em uma parede permanecerá no mesmo quadrado Em cada estado s agente recebe uma Recompensa R(s): R(s) = -0.04 para todos estados não terminais Dois estados finais R(s) = +1 ou R(s) = -1 Por enquanto, utilidade pode ser dada pela soma das recompensas recebidas! 1 2 4 3 INÍCIO -1 +1 0.8 0.1

Processo de Decisão de Markov (PDM) Especificação de um problema de decisão seqüencial em um ambiente totalmente observável com um modelo de transição de Markov e recompensas aditivas Definido pelos seguintes componentes: Estado Inicial: S0 Modelo de Transição: T(s,a,s’) Probabilidade de chegar a s’ como resultado da execução da ação a no estado s Função de Recompensa: R(s) Utilidade a curto prazo do estado s para o agente Hipótese de transições Markovianas: Próximo estado depende apenas da ação atual e do estado atual, não dependendo de estados passados

Como são as soluções desse problema? Uma solução deve especificar o que o agente deve fazer em qualquer estados em que possa chegar Seqüência fixa de ações não o resolvem: Ações não confiáveis não geram estados deterministicamente Solução: construir uma Política (Policy):  (s) = ação recomendada para estado s Assim, o agente sabe como atuar em qualquer estado Utilidade esperada de uma política é dada pelas seqüências de ações que ela pode gerar Política Ótima *: Política que produz a mais alta utilidade esperada 1 2 4 3   -1 +1 

Solução 1: Algoritmo Value Iteration Idéia: calcular a utilidade dos estados e utilizá-las para escolher uma ação ótima Utilidade de cada estado definida em termos da utilidade das seqüências de ações que podem se seguir a partir dele R(s): recompensa a “curto prazo” por se estar em s U(s): recompensa total a “longo prazo” a partir de s Utilidade de um estado é dada pela recompensa imediata para aquele estado mais a utilidade esperada descontada do próximo estado, assumindo que o agente escolhe a ação ótima Utilidade de um estado é dado pela equação de Bellman: U(s) = R(s) +  maxa s’ T(s,a,s’) U(s’)

Algoritmo Value Iteration Exemplo: U(1,1) = -0.04 +  max { 0.8 U(1,2) + 0.1 U(2,1) + 0.1 U(1,1), (Up) 0.9 U(1,1) + 0,1 U(2,1), (Left) 0.9 U(1,1) + 0.1 U(2,1), (Down) 0.8 U(2,1) + 0.1 U(1,2) + 0.1 U(1,1) } (Right) Equações de Bellman são a base do algoritmo Value Iteration para resolver PDMs U(s) = R(s) +  maxa ∑s’ T(s,a,s’).U(s’)

Algoritmo Value Iteration Inicializar utilidades com valores arbitrários (ex.: 0) Calcular o lado direito da equação para cada estado Atualizar valor da utilidade de cada estado Continuar até atingir um equilíbrio 1 2 4 3 0.812 0.762 0.705 0.918 0.660 -1 +1 0.655 0.611 0.388 Value Iteration Applet: http://www.cs.ubc.ca/~poole/demos/mdp/vi.html

Algoritmo Policy Iteration Idéia: se uma ação é claramente melhor que outras, então a magnitude exata da utilidade de cada estado não necessita ser precisa Alterna entre dois passos, iniciando a partir de uma política inicial 0 qualquer: Avaliação da Política: dada política i , calcular Ui = U  i Melhora da Política: calcular nova política i+1 , baseado em Ui

Algoritmo Policy Iteration Enquanto não (mudouPolítica) Para cada estado s se ( maxa s’ T(s,a,s’) U[s’] ) > ( s’ T(s,  i(s),s’) U[s’]) então [s] = argmaxa s’ T(s,a,s’) U[s’] mudouPolítica = true; Algoritmo encerra quando passo Melhora da Política não produz nenhuma mudança nas utilidades

Algoritmo Policy Iteration Mais simples para Avaliar a Utilidade de um estado: Policy Iteration: Ui(s) = R(s) +  s’ T(s, i(s), s’) Ui(s’) Value Iteration: U(s) = R(s) +  maxa s’ T(s,a,s’) U(s’) Exemplo: Ui (1,1) = 0.8 Ui(1,2) + 0.1 Ui(1,1) + 0.1 Ui(2,1) 1 2 4 3   -1 +1 

Referência Bibliográfica AIMA, Stuart Russel Cap. 16 e Cap. 17